[摘 ?要] “三角形相似的判定復(fù)習(xí)課”設(shè)計思路立足于“讓學(xué)生的數(shù)學(xué)自然而然地生長”. 根據(jù)學(xué)生自身的掌握情況,由學(xué)生來添加條件推理出相應(yīng)的結(jié)論,滿足學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”. 并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行相應(yīng)的難度提升和知識拓展,小步地鞏固和提高,最終完成相似三角形判定的知識掌握和熟練運用.
[關(guān)鍵詞] 生長數(shù)學(xué);最近發(fā)展區(qū);復(fù)習(xí)課;三角形相似
教材分析
“相似三角形的判定復(fù)習(xí)課”是北師大版九年級上冊第四章第四節(jié)的內(nèi)容. 是學(xué)生學(xué)習(xí)了“平行線分線段成比例”“探索三角形相似的條件”等知識后的一個復(fù)習(xí)內(nèi)容,為后面利用三角形相似解決實際問題以及九年級下冊三角函數(shù)、研究圓中比例線段的學(xué)習(xí)做了鋪墊,在平面幾何的學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用,因此須熟練掌握三角形相似的判定并靈活運用. 本節(jié)課以“生長式”的方法進(jìn)行教學(xué)設(shè)計,讓學(xué)生通過觀察和思考達(dá)到知識的拔節(jié).
學(xué)情分析
初三年級的學(xué)生,他們的思維已處于理論型邏輯思維階段,具備一定的抽象思維能力和演繹推理能力,他們的思維相對活躍,動手操作能力逐漸成熟,能主動參與課堂的操作、探究.
教學(xué)任務(wù)分析
1. 教學(xué)目標(biāo)分析
(1)通過學(xué)習(xí),學(xué)生進(jìn)一步鞏固“三角形相似的判定定理”,認(rèn)識基本圖形,學(xué)會從復(fù)雜圖形中整理出基本圖形,能分析其中的基本元素及對應(yīng)關(guān)系并解決數(shù)學(xué)問題.
(2)在解決問題的過程中,讓學(xué)生感受圖形的運動變化,能動態(tài)地看問題,感受數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.
(3)學(xué)生通過思考與交流,提高學(xué)習(xí)相似三角形知識的興趣和積極性,通過相互協(xié)作嘗試解決問題,樹立學(xué)習(xí)的自信心,在解決問題中體驗數(shù)學(xué)的價值.
2. 教學(xué)重點分析
根據(jù)已有條件,進(jìn)一步添加或者尋找新的條件得出三角形相似,并運用相似關(guān)系找出線段之間的數(shù)量和位置關(guān)系等.
3. 教學(xué)難點分析
在動態(tài)中分類討論三角形相似的多種情況,并由此進(jìn)行相關(guān)運算;在學(xué)習(xí)過程中能根據(jù)條件找出或者構(gòu)造如“一線三等角”等模型.
教法與學(xué)法分析
數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué),是師生之間、學(xué)生之間交往互動、共同發(fā)展的過程. 遵循這一原則,再結(jié)合初三年級的思維和心理特征,本節(jié)課采用情境——問題教學(xué)法. 具體做法是:設(shè)置情境——教師提出問題——師生共同解決問題——數(shù)學(xué)應(yīng)用. 這種教學(xué)方法能激發(fā)學(xué)生的求知欲,調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,使學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)實踐活動,讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下以獨立思考和相互交流的形式,發(fā)現(xiàn)問題、分析和解決問題.
教學(xué)過程分析
1. 溫故知新
問題1:如圖1,在△ABC中,D,E分別是AB,AC上的兩個點,請你另添加一個條件,使△ABC和△ADE相似,并說明添加條件的理由.
設(shè)計意圖 ?為了突破傳統(tǒng)的提綱式、背誦式、無懸念的復(fù)習(xí)套路,轉(zhuǎn)而由學(xué)生自主添加條件得到相應(yīng)的知識,使得絕大多數(shù)學(xué)生都能根據(jù)自己所掌握的知識完成相應(yīng)難度和層次的任務(wù),使得復(fù)習(xí)能夠覆蓋大多數(shù)學(xué)生,讓其掌握的知識自然而然地生長,并為下一個環(huán)節(jié)的說理做好了鋪墊.
問題2:在第一個環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上連接DC,BE相交于點O. 看一看,議一議,兩個圖中各有幾對三角形相似?
我們知道,對于圖2,學(xué)生根據(jù)所添加的平行線就可以得到同位角、內(nèi)錯角相等,繼而推出△ADE∽△ABC和△DOE∽△COB. 而對于圖3,很多學(xué)生可能僅僅因為添加的一組角相等只能得到△ADE∽△ACB. 但事實上圖4中能推導(dǎo)出4組相似,每推出一個相似,都可作為下一個相似的條件.
設(shè)計意圖 ?絕大多數(shù)學(xué)生可以迅速從圖3中由平行得到2組相似,這個比較簡單. 而要從圖4中得到4組相似是需要認(rèn)真思考和推理的. 這樣的設(shè)計對于學(xué)生全面掌握相似的判定及靈活運用是非常有幫助的. (具體分析見圖5、圖6)
問題3:進(jìn)一步追問圖4中,△OBD與△OCE是否相似?
DE∥BC?圯 = 是對的,但要證明△OBD∽△OCE,DO,EO,CO,BO四條對應(yīng)線段的對應(yīng)關(guān)系不對,必須是 = 才行,所以此問題無法證得,因此無法判斷.
而對于圖5中的4組相似三角形,學(xué)生只有熟練掌握了相似三角形的判定,才能全部推導(dǎo)出來,這個要求相對高一些. 這也是通過數(shù)學(xué)知識的生長,提高學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的水平高度.
2. 思維拓展
問題4:在圖6中,如果AB=8 cm,AC=10 cm,點P從A點出發(fā),以2 cm/s的速度向B點移動,點Q從C點出發(fā),以1 cm/s的速度向A點移動. 當(dāng)其中一點到達(dá)端點時,另一點也隨之停止運動. 設(shè)運動時間為t s,那么t為何值時,△APQ與△ABC相似?
問題5:在圖7中,如果AB=AC,點P(不與B,C重合)繼續(xù)在BC邊上運動,點Q在AC邊上運動,保持∠APQ=∠C. 請問有哪些三角形相似?
問題6:你在圖8中,能發(fā)現(xiàn)特殊的結(jié)論嗎?如果∠ABC是30°、45°、60°的情況呢?
設(shè)計意圖 ?在前面的溫故知新后,要求學(xué)生能夠合理運用自己所掌握的知識解決問題. 因此在圖1的基礎(chǔ)上進(jìn)行了動態(tài)問題的設(shè)計,但仍然和溫習(xí)的知識有充分聯(lián)系. 而圖7是動點運動到BC邊出現(xiàn)的“一線三等角”的情況,也為接下來圖8“一線三等角”模型的拓展埋下伏筆,課堂上自然生長到含特殊角如45°、60°、90°的“一線三等角”模型.
3. 交流探討
問題7:如圖9,在等腰三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,點D是BC邊上的一個動點(不與B,C重合),在AC上取一點E,使∠ADE=45°.
(1)探索△ABD和△DCE是否相似?
(2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式x的取值范圍.
(3)求出當(dāng)BD為何值時AE取得最小值.
(4)當(dāng)AE取最大值時,請判斷△ADE的形狀.
設(shè)計意圖 ?交流探討的問題對思維拓展問題中涉及的“一線三等角”的情況進(jìn)行了補充,并設(shè)計了函數(shù)和最值問題. 這種設(shè)計既考慮了學(xué)生本身的知識儲備情況,又能讓學(xué)生在已有知識的層面上進(jìn)一步拓展思路,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維和知識遷移的能力.
4. 課后作業(yè)
問題8:如圖10,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,點D在邊AB上,DE⊥AB,點E在邊BC上. 又點F在邊AC上,且∠DEF=∠B.
(1)求證:△FCE∽△EBD;
(2)當(dāng)點D在線段AB上運動時,是否有可能使S =4S . 如果有可能,那么求出BD的長,如果不可能請說明理由.
5. 總結(jié)歸納
(1)請梳理本節(jié)課的知識點有哪些?
(2)請總結(jié)本節(jié)課的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)模型.
簡述教學(xué)設(shè)計總體思路
這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計思路主要在以下幾點:
1. 注意了新舊知識點之間的邏輯聯(lián)系
根據(jù)學(xué)生的原有認(rèn)知基礎(chǔ)、認(rèn)知水平、認(rèn)知規(guī)律,站在學(xué)生的角度去設(shè)計教學(xué),達(dá)到學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的心理認(rèn)知.
2. 重視學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的重建
也就是我們常常提到的“生長數(shù)學(xué)”. 例如相似判定的回顧和運用之間用同一個母圖(圖1)加強聯(lián)系,讓學(xué)生在課堂上親自參與“知識再發(fā)現(xiàn)”的過程,經(jīng)歷探索新知的過程. 在拓展運用中也不是隨意找題目,而是在母圖中加入了運動元素,使得題目和思維運動了起來.
3. 加強數(shù)學(xué)思想方法的滲透
所有的設(shè)計,從圖2到圖10都是在最初圖1學(xué)生添加的那兩個條件中變化出來的. 所以整個設(shè)計以“精心提煉、著意滲透、反復(fù)孕育、經(jīng)常應(yīng)用、小步推進(jìn)、分層達(dá)到”去實施數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).
4. 加強數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練
學(xué)生的思維是從問題開始的,設(shè)計的問題難度有坡度,能讓不同層次的學(xué)生都能夠得到能力的發(fā)展. 本節(jié)課以“生長式”的教學(xué)設(shè)計使得學(xué)生進(jìn)行充分思考,進(jìn)而實現(xiàn)對學(xué)生的思維鍛煉,自然而然地促進(jìn)知識生長,將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透在整節(jié)課當(dāng)中.