嚴(yán)長進

[摘 ?要] 數(shù)列是數(shù)的重要研究內(nèi)容，以其內(nèi)容為基礎(chǔ)命制的綜合題也是高考的?？碱}目，用以考查學(xué)生對數(shù)列基礎(chǔ)知識、關(guān)聯(lián)知識的掌握情況，以及綜合問題的轉(zhuǎn)化分析能力. 而對于數(shù)列綜合題有多種轉(zhuǎn)化策略，文章結(jié)合實例深入探討數(shù)列問題的四種轉(zhuǎn)化策略，并提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)列;轉(zhuǎn)化;方程;函數(shù);不等式;思想

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)較為特殊的知識模塊，融合了代數(shù)、函數(shù)、不等式等知識內(nèi)容，因此高考對其考查常從知識的聯(lián)系點切入命制綜合題，對學(xué)生的解題要求較高，需要采用一定的技巧和方法，求解綜合性數(shù)列問題最為有效的策略為數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化，下面將基于不同的思想方法，講解幾種轉(zhuǎn)化策略.

基于方程思想，構(gòu)建代數(shù)方程

方程是求解代數(shù)問題十分常用的方法，在數(shù)列問題中使用時需要基于數(shù)列的通式，結(jié)合對應(yīng)條件，構(gòu)建相應(yīng)的方程，嚴(yán)格按照方程求解的步驟、要求來完成. 一般常用于求解數(shù)列中的常見量，如首項、公差、公比等.

例1：若Sn表示等差數(shù)列{an}的前n項和，已知該數(shù)列的第4項和第5項之和為24，且S6=48，試求該數(shù)列的公差.

解析：題干表明{an}為等差數(shù)列，給出了相關(guān)項之和，則可以根據(jù)條件構(gòu)建相應(yīng)的代數(shù)方程，通過解方程的方式求解，具體如下：

對應(yīng)轉(zhuǎn)化：“第4項和第5項之和為24”→2a1+7d=24，“S6=48”→6a1+15d=48;

構(gòu)建對應(yīng)方程組：2a1+7d=24，6a1+15d=48，從而可解得d=4，即等差數(shù)列{an}的公差為4.

評析：在數(shù)列問題中構(gòu)建方程，一般需要利用數(shù)列的相關(guān)通式，涉及基本式、前n項之和表達(dá)式等，如上述問題就是兩者的綜合，其構(gòu)建的關(guān)鍵是設(shè)定關(guān)鍵參數(shù)為未知量，根據(jù)所求未知量的個數(shù)構(gòu)建數(shù)列組.雖然該方程組與常規(guī)的方程組稍有不同，但其實質(zhì)是不變的，因此在求解時只需要按照對應(yīng)的步驟求解即可.

基于函數(shù)思想，利用函數(shù)性質(zhì)

函數(shù)不僅是高中數(shù)學(xué)重要的知識，還是一種有效的求解方法，解題時可以利用函數(shù)的性質(zhì)來分析，如利用函數(shù)的單調(diào)性、最值等來求解相關(guān)的極限問題.在數(shù)列中一般利用函數(shù)法來求數(shù)列相關(guān)的最值問題，解題突破時需要基于函數(shù)思想對數(shù)列進行合理變形，將數(shù)列轉(zhuǎn)化為特定的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)分析.

例2：已知數(shù)列{xn}滿足如下要求：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1） （n∈N+），試證明：當(dāng)n∈N+時，2xn+1-xn≤ .

解析：分析可知xn>xn+1，可進一步得xn+1·xn=x +xn+1·ln（1+xn+1），則有xnxn+1-4xn+1+2xn=x -2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1），根據(jù)上式構(gòu)建函數(shù)：令f（x）=x2-2x+（x+2）ln（1+x） （x≥0），求其導(dǎo)函數(shù)f′（x）= +ln（1+x），分析可知f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，因此當(dāng)x=0時f（x）可以取得最小值，即f（x）≥f（0）=0.

因此有x -2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）= f（xn+1）≥0，變形可得2xn+1-xn≤ ，證畢.

評析：上述解題過程就是利用函數(shù)的單調(diào)性、最值來證明數(shù)列不等式，其本質(zhì)是數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)性：數(shù)列可視為一種特殊的函數(shù). 解題最關(guān)鍵的一步是對數(shù)列的轉(zhuǎn)化變形，構(gòu)造最合理的函數(shù)，這其中就需要關(guān)注數(shù)列關(guān)系式的特征，采用類比的方式構(gòu)建新的函數(shù)，一般利用函數(shù)單調(diào)性時需要嚴(yán)格遵守對應(yīng)原則，在合理的定義域內(nèi)加以分析，確保結(jié)果的有效性和正確性.

基于構(gòu)造思想，構(gòu)建基本數(shù)列

構(gòu)造思想是數(shù)列轉(zhuǎn)化題最常用的思想方法之一，包括上述構(gòu)造函數(shù)和方程.教材中將數(shù)列劃分為一般數(shù)列和基本數(shù)列，其中等差、等比為最基本的數(shù)列，在分析規(guī)律時有著一定的便利性.因此求解數(shù)列綜合題，對于一些特征不明顯、較為抽象的一般數(shù)列，可以通過添加輔助數(shù)列或代數(shù)變形的方式將其轉(zhuǎn)化為一般數(shù)列或一般數(shù)列的復(fù)合，從而降低分析難度.

例3：已知Sn表示數(shù)列{an}的前n項之和，已知2Sn=3n+3，試回答下列問題：

（1）試求數(shù)列{an}的通項公式;

（2）已知數(shù)列{bn}滿足如下條件：anbn=log3an，試求{bn}的前n項之和.

解析：第（1）問根據(jù)an=Sn-Sn-1（n≥2）即可求得. 關(guān)鍵是求第（2）問一般數(shù)列{bn}的前n項之和，題干給出了相應(yīng)的關(guān)系式，因此需要充分利用，適度變形. 根據(jù)第（1）問的結(jié)果，結(jié)合關(guān)系式可以求出b1= ;則當(dāng)n≥2時，有bn=（n-1）31-n，設(shè){bn}的前n項之和為Tn，則可將其細(xì)化為Tn= +[1×3-1+2×3-2+…+（n-1）×31-n]，則3Tn=1+[1×30+2×3-1+…+（n-1）×32-n]，采用錯位相減的方式可得：3Tn-Tn= +[30+3-1+3-2+…+32-n]-（n-1）×31-n，其中30+3-1+3-2+…+32-n顯然是首項為30，公比為 的等比數(shù)列的前n-1項之和，因此2Tn= - ， Tn= - ，即{bn}的前n項之和為 - .

評析：上述展示了利用數(shù)列錯位相減法求一般數(shù)列前n項之和的步驟，實際上就是利用相減變形的方式來構(gòu)建基本數(shù)列，如其中的等比數(shù)列，另外求解一般數(shù)列的前n項之和還可以采用倒序相加法、合并求和等方法. 需要注意的是對于一般數(shù)列的前n項之和表達(dá)式可以采用裂式的方式分析，即把其視為是多個代數(shù)式的組合，將其中具有一般規(guī)律的代數(shù)式歸為一類，從而簡化分析過程. 而對于一般數(shù)列還可以將其轉(zhuǎn)化為幾個基本數(shù)列的組合，從而采用分別求和的方式來完成解答.

基于不等關(guān)系，轉(zhuǎn)化數(shù)列不等式

另外數(shù)列與不等式之間存在著一定的關(guān)聯(lián)性，對于一些數(shù)列不等式問題同樣可以采用不等式轉(zhuǎn)化的策略，利用不等式常用的研究方法來求解，如不等式常用的放縮法、累加法等. 一般數(shù)列與不等式相結(jié)合的命題策略是以數(shù)列為背景，構(gòu)建不等關(guān)系或求數(shù)列的極值. 在實際解題時需要充分研究數(shù)列的性質(zhì)，細(xì)化為對應(yīng)的代數(shù)式，然后基于不等式的性質(zhì)和研究方法來加以分析.

例4：已知xn為曲線y=x2n+2+1在點（1，2）處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)，若設(shè)n∈N+，試回答下列問題：

（1）求數(shù)列{xn}的通項公式;

（2）如果設(shè)Tn=x x …x ，試證明Tn≥ .

解析：第（1）問求{xn}的通項公式，只需要基于切線與坐標(biāo)軸的交點求法即可完成，可求得xn= . 而第（2）問證明Tn≥ ，則需要基于題干給出的關(guān)系式，代入后將其轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的代數(shù)不等式，利用不等式的性質(zhì)來求解，具體如下：x = ?，當(dāng)n=1時，T =x = ，而當(dāng)n≥2時，有x = ?> = ，所以T > ?· · ·…· = .

綜上可知，對于任意的n∈N+，總有Tn≥ .

評析：上述所展示的是數(shù)列不等式的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化分析策略，即從不等式角度出發(fā)，利用不等式的相關(guān)性質(zhì)突破.其中不等式的放縮是最為常見也是十分有效的變形方法，可以實現(xiàn)代數(shù)式的重組和簡化，但需要注意的是：在對不等式進行放縮的過程中需要充分考慮放縮的合理性，適當(dāng)運用常見的不等關(guān)系式，提升解題效率.

思考與建議

上述展現(xiàn)了高中數(shù)列綜合題的四種轉(zhuǎn)化求解策略，也是常見考題最為有效的突破方法，實際上這些策略的構(gòu)建是基于數(shù)列與關(guān)聯(lián)知識之間的聯(lián)系性，以其聯(lián)系點進行的方法衍生，因此采用不同策略開展解題突破時需要遵循對應(yīng)的解題要求和步驟，而在教學(xué)或?qū)W習(xí)中有如下幾點建議.

1. 關(guān)注數(shù)列的本質(zhì)內(nèi)容

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)較為特殊的內(nèi)容，其特殊之處在于既具有代數(shù)共性，又具有一定的函數(shù)規(guī)律性，這在之前是學(xué)生所從未接觸的，因此在學(xué)習(xí)時若不能把握其中的內(nèi)涵，則學(xué)生會陷入學(xué)習(xí)的誤區(qū)，造成很大的學(xué)習(xí)障礙，對于后續(xù)數(shù)列綜合問題的分析也極為不利. 在教學(xué)中需要教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)列的概念，理解何為數(shù)列，掌握數(shù)列通式的基本求法.可以由基本數(shù)列入手，使學(xué)生掌握數(shù)列首項、公差、公比的具體含義，從而形成對數(shù)列的基本認(rèn)識.

2. 關(guān)注數(shù)列的關(guān)聯(lián)內(nèi)容

數(shù)列是具有規(guī)律性特殊數(shù)的組合，同時具有代數(shù)、函數(shù)等知識特性，與不等式之間也具有很強的聯(lián)系，這也是數(shù)列綜合題的命題基礎(chǔ)和解法基礎(chǔ). 如上述所展示的幾道數(shù)列綜合題的解題過程中利用了代數(shù)變形、函數(shù)性質(zhì)、不等關(guān)系等知識. 從本質(zhì)上來講，數(shù)列也是一種數(shù)，必然具有數(shù)的所有特性，而學(xué)生在解題學(xué)習(xí)時就需要聯(lián)合數(shù)的前后知識，基于不同的數(shù)學(xué)思想來對其加以研究. 教師在教學(xué)中也應(yīng)該重視聯(lián)系性的講解，不單純地以數(shù)列運算作為教學(xué)重點，適當(dāng)?shù)匾牒瘮?shù)性質(zhì)、代數(shù)變形法，拓展學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生思維的寬度.

3. 關(guān)注數(shù)列的解題思想

上述展示了數(shù)列綜合題的四種不同策略，需要指出的是每一種策略均是在對應(yīng)思想下完成構(gòu)建的，如基于方程思想構(gòu)建數(shù)列的代數(shù)方程，利用函數(shù)思想構(gòu)建函數(shù)分析數(shù)列問題的思路等，因此可以說數(shù)列綜合題的解題本質(zhì)就是利用不同的數(shù)學(xué)思想開展問題探究. 數(shù)學(xué)思想是一種較為抽象的東西，雖無法直接接觸，但深入數(shù)學(xué)精髓，通過體會解題過程可以逐步感受，同時也是數(shù)學(xué)的精華所在. 因此開展數(shù)列問題的轉(zhuǎn)化策略探究就應(yīng)關(guān)注數(shù)列的解題思想，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想構(gòu)建解題思路的意義所在. 實際教學(xué)中教師可以從數(shù)列知識的本質(zhì)內(nèi)涵入手，指導(dǎo)學(xué)生明晰其思想方法與數(shù)列的知識內(nèi)容密不可分，然后通過特定的習(xí)題求解來強化思想方法解題的思路和技巧，充分提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).