宋現(xiàn)印

[摘 ?要] 向量是高中數(shù)學(xué)的基本概念之一，是與代數(shù)、函數(shù)、幾何知識(shí)建立聯(lián)系的紐帶，基于該特性可將向量作為一種解題工具應(yīng)用于數(shù)學(xué)問(wèn)題中，并且有著良好的解題效果. 文章結(jié)合實(shí)例深入探討向量法在函數(shù)運(yùn)算、解析幾何、立體幾何三大知識(shí)領(lǐng)域的應(yīng)用，總結(jié)技巧與方法.

[關(guān)鍵詞] 向量法;函數(shù);解析幾何;立體幾何

向量是高中數(shù)學(xué)需要掌握的重要知識(shí)內(nèi)容，需要指出的是向量同樣是一種重要的解題工具，利用向量的代數(shù)與幾何的雙重特性，可以簡(jiǎn)化問(wèn)題，降低思維難度，有效提升解題效率. 向量法在高中數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，如在函數(shù)求值、解析幾何、立體幾何等領(lǐng)域可以適當(dāng)使用.

函數(shù)運(yùn)算問(wèn)題

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)研究的重點(diǎn)內(nèi)容，包括函數(shù)的性質(zhì)、圖像、單調(diào)性、求導(dǎo)方法等，涉及多種類(lèi)型的題目，具有多種研究方法. 其中向量是研究函數(shù)運(yùn)算類(lèi)問(wèn)題較為常用的工具之一，如利用向量的數(shù)量積定理來(lái)轉(zhuǎn)化函數(shù)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系的直觀簡(jiǎn)潔化.

1. 一般函數(shù)

例1：已知函數(shù)f（x）= + ，若設(shè)函數(shù)f（x）的最大值為M，函數(shù)的最小值為m，試求 的值.

解析：本題屬于函數(shù)求值題，相對(duì)較為簡(jiǎn)單，常規(guī)的思路是利用函數(shù)的性質(zhì)，但考慮到題干函數(shù)具有根號(hào)，直接分析有一定的難度，可以考慮從向量角度出發(fā)，利用向量法來(lái)求解.首先需要結(jié)合圖形構(gòu)造出向量，然后根據(jù)向量的性質(zhì)求值，具體如下：

構(gòu)造向量a=（1，1），b=（ ， ） （-3≤x≤1），則函數(shù)f（x）可以表示為f（x）=a·b，根據(jù)向量數(shù)量積可得f（x）=a·b·cos〈a，b〉=2 cos〈a，b〉，構(gòu)建圖1所示的直角坐標(biāo)系，則向量b的終點(diǎn)軌跡方程為x2+y2=4（x≥0，y≥0），則其軌跡為圓在第一象限的 圓弧上，很容易可得〈a，b〉的角度范圍為0， ，則cos〈a，b〉的取值范圍為 ，1，所以f（x）的最小值m為2，最大值M為2 ，進(jìn)一步可得 = .

方法與技巧：在函數(shù)求值中使用向量法，需要結(jié)合函數(shù)的表達(dá)式構(gòu)建相應(yīng)的向量，然后用向量之間的運(yùn)算加以表示，并確定向量參數(shù)的取值范圍，如上述 + ？圳（1，1）·（ ， ）. 而在求值分析時(shí)可以適當(dāng)?shù)亟Y(jié)合向量圖，利用圖像的直觀性分析.

2. 三角函數(shù)

例2：已知△ABC，頂點(diǎn)A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中∠A為最大角，∠B和∠C為銳角，已知 = + ，試證明 = = .

解析：本題為三角形中向量關(guān)系的證明題，需要利用三角形的幾何性質(zhì)來(lái)構(gòu)建關(guān)于線段長(zhǎng)的關(guān)系，可以在三角形中作垂線，則垂直線段的向量數(shù)量積為零，然后以此為條件展開(kāi)推導(dǎo)，具體如下：

過(guò)點(diǎn)A作BC上的垂線，垂足為點(diǎn)D，如圖2所示，設(shè)∠DAC=α，則 · =（ + ）· = · + · =0，即 · ·cos（90°+B）+ · ·cosα=0，其中α=90°-C，所以csinB-bsinC=0，即 = ，同理可得 = ，所以 = = ，證畢.

方法與技巧：上述是利用向量數(shù)量積為零的幾何意義來(lái)求證正弦定理的具體過(guò)程，其中證明的關(guān)鍵是在幾何中構(gòu)建向量關(guān)系，并將其轉(zhuǎn)化為純代數(shù)的等式. 整個(gè)過(guò)程利用了向量投影形成的三角函數(shù)，也是證明三角形中邊角關(guān)系的重要策略.

解析幾何問(wèn)題

平面向量可融合數(shù)形為一體，故利用向量法分析解析幾何問(wèn)題有著極大的便利性，并且切合度很高. 在使用向量分析時(shí)往往需要充分利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)轉(zhuǎn)化幾何關(guān)系，從而將解析幾何中的數(shù)與形聯(lián)立在一起.

1. 角度類(lèi)問(wèn)題

例3：已知橢圓C的方程為 + =1，其焦點(diǎn)分別為F1和F2，已知點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接F1P，F(xiàn)2P，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，試求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍.

解析：本題需要研究橢圓內(nèi)所構(gòu)角為鈍角時(shí)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)取值，用常規(guī)的方法是利用兩直線的夾角，引入斜率來(lái)完成，但相對(duì)較為煩瑣，運(yùn)算量較大.對(duì)于解析幾何中涉及角度的問(wèn)題，可以考慮使用向量法，利用向量數(shù)量積來(lái)完成，具體如下：

由已知條件可確定兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)：F1（- ，0），F(xiàn)2（ ，0），設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，向量 和 所成向量數(shù)量積小于零，即 · =（x+ ，y）（x- ，y）=x2-5+y2<0，又已知 + =1，代入可得-

方法與技巧：利用 · <0來(lái)證明∠F PF 為鈍角，可以將幾何角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問(wèn)題，后續(xù)只需要研究坐標(biāo)代數(shù)運(yùn)算即可. 向量數(shù)量積的符號(hào)與其夾角有關(guān)，若小于零，則為鈍角;若大于零，則為銳角;等于零，則為直角，因此向量數(shù)量積的符號(hào)與幾何角有著緊密的聯(lián)系.

2. 直線方程類(lèi)問(wèn)題

例4：如圖3所示，點(diǎn)A（3，-1）是直線l上的一點(diǎn)，直線l與x軸相交于點(diǎn)B，與直線l1：y=2x相交于點(diǎn)C，已知BC長(zhǎng)是AB的2倍，試求直線l的方程.

解析：求解直線l的方程，常規(guī)的解法是求解其上的兩個(gè)點(diǎn)，利用待定系數(shù)法完成，考慮到本題給出了線段長(zhǎng)之間的關(guān)系，也可以引入向量來(lái)求解，具體如下：

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x1，y1），根據(jù)題意可將直線l的方程表示為y+1= ·（x-3），可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ，0，由BC=2AC可得 =3 ，代入坐標(biāo)可解得x1=1，所以整理可得直線l的方程為3x+2y-7=0.

方法與技巧：上述利用了BC=2AC？圳 =3 來(lái)轉(zhuǎn)化解析幾何中線段關(guān)系，是直線方程問(wèn)題中幾何條件向向量關(guān)系轉(zhuǎn)化的常用策略，也是構(gòu)建代數(shù)方程求解參數(shù)的有效方法，實(shí)際上利用了向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

立體幾何問(wèn)題

在立體幾何中同樣可以運(yùn)用向量法來(lái)分析求解，立體幾何的問(wèn)題類(lèi)型較多，大致可以分為幾何關(guān)系證明和數(shù)量關(guān)系分析，其中尤以二面角求值、平行垂直證明最為常見(jiàn).在使用向量法加以分析時(shí)主要有兩種思路：一是引入空間向量，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)完成;二是直接使用設(shè)定線段對(duì)應(yīng)的向量，分析向量關(guān)系.

1. 幾何關(guān)系問(wèn)題

例5：圖4所示為平行六面體ABCD-A1B1C1D1，已知六面體的上下底面為菱形，若∠C1CB=∠C1CD=∠BCD，試回答下面問(wèn)題：

（1）證明：C1C⊥BD;

（2）求值：當(dāng) 為何值時(shí)可以確保線段A1C⊥平面C1BD，請(qǐng)寫(xiě)出證明推導(dǎo)過(guò)程.

解析：本題為常見(jiàn)的垂直類(lèi)問(wèn)題，需要證明六面體中的線線垂直、分析線面垂直時(shí)的滿足條件，實(shí)際上可以歸結(jié)為角度問(wèn)題.分析求解時(shí)可以引入向量，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)完成，具體如下：

（1）證明：設(shè) =a， =b， =c，根據(jù)平行六面體的性質(zhì)可知a=b，且 ， ， 兩兩向量所形成的夾角相等，設(shè)為θ，則有 = - =a-b， · =c·a-c·b=c·acosθ-c·b·cosθ=0，所以線段C1C與BD垂直，即C1C⊥BD，證畢.

（2）分析A1C⊥平面C1BD時(shí) 的值，如果要使A1C⊥平面C1BD，根據(jù)線面垂直的判定定理，需要使A1C與平面C1BD上的兩條相交線垂直，即須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1，由 · =（ + ）·（ - ）=（a+b+c）·（a-c）=a2+a·b-b·c-c2=a2-c2+b·acosθ-b·c cosθ=0，可知當(dāng)a=c時(shí)有A1C⊥DC1;同理可證當(dāng)a=c時(shí)有A1C⊥BD. 所以當(dāng) =1時(shí)可以確保線段A1C⊥平面C1BD.

方法與技巧：垂直問(wèn)題的證明與分析難點(diǎn)在于線面關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的互化，上述證明兩直線的垂直利用的是a⊥b？圳a·b=0，具體證明時(shí)只需要分析兩直線對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積是否為零，其關(guān)鍵還是分析線段的夾角問(wèn)題，需要注意的是區(qū)分條件中的幾何角與向量夾角.

2. 二面角求值問(wèn)題

例6：圖5所示為四棱柱ABCD-A1B1C1D1，已知其底面ABCD為一梯形，且AB∥CD，AD⊥DC，若CD長(zhǎng)為2，DD1，DA，AB的長(zhǎng)度均為1，現(xiàn)作CC1，C1D1的中點(diǎn)，分別設(shè)為點(diǎn)P和Q，試求二面角B-PQ-D的大小.

解析：求解立體幾何中的二面角問(wèn)題，較為簡(jiǎn)捷的方法為引入空間向量.首先根據(jù)圖中的垂直關(guān)系來(lái)構(gòu)建空間坐標(biāo)系，包括原點(diǎn)位置和三條軸的方向，然后確定關(guān)鍵點(diǎn)的空間坐標(biāo)，推導(dǎo)相關(guān)向量的坐標(biāo)，接著求解兩個(gè)平面的法向量，利用法向量的夾角來(lái)求得兩平面所形成的平面角大小. 具體如下：

建立如圖所示的空間坐標(biāo)系D-xyz，確定點(diǎn)坐標(biāo)：B（1，1，0），P0，2， ，A（1，0，0），Q（0，1，1），推導(dǎo)關(guān)鍵向量 =（1，0，0）， =-1，1， ， =（-1，0，1）.

分析可知 是平面PDQ的法向量，設(shè)面BPQ的法向量n=（x，y，z），則有n⊥ ，n⊥ ，對(duì)應(yīng)的向量數(shù)量積應(yīng)為零：n· =0，n· =0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算構(gòu)建對(duì)應(yīng)的方程組，可求得BPQ的法向量n=（2，1，2），所以cos〈n， 〉= = ，觀察圖中可知二面角B-PQ-D應(yīng)為銳角，則〈n， 〉= arccos ，所以B-PQ-D的大小應(yīng)為arccos .

方法與技巧：利用向量法求解兩平面所形成的夾角，需要首先求其法向量，利用法向量與平面夾角的關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化，若m和n分別是平面α和β的法向量，則對(duì)應(yīng)二面角的計(jì)算公式為γ= （其中γ為兩個(gè)法向量的夾角），需要注意的是要觀察圖中二面角的角度大小，若為銳角或直角，則為γ;若為鈍角，則為π-γ.

總之，利用向量法解題首先需要理解向量的概念，掌握向量的運(yùn)算定理，強(qiáng)化對(duì)向量的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，并從聯(lián)系性角度學(xué)習(xí)向量的關(guān)聯(lián)知識(shí)，尤其是向量運(yùn)算與幾何性質(zhì)的關(guān)系. 利用向量法解題實(shí)際上是向量坐標(biāo)運(yùn)算的“數(shù)”與“形”互化的體現(xiàn)，是一種新型的解題思維和視角，可以極大地降低思維難度，提升解題效率，也是新課改所大力提倡的. 教師在平時(shí)的解題教學(xué)中可以合理地滲透向量解題的思想方法，使學(xué)生獲得終生受益的知識(shí)技能.