徐小琴

[摘 ?要] 函數(shù)定義是高中核心概念教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn). 初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的“變量式”定義，在復(fù)習(xí)初中函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，通過學(xué)生熟知的“乘2”“平方減1”“倒數(shù)”等初等運(yùn)算自然地引出“對應(yīng)關(guān)系”，從而習(xí)得高中函數(shù)的定義，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)符合學(xué)生的一般認(rèn)知規(guī)律.

[關(guān)鍵詞] 認(rèn)知沖突;函數(shù)定義;教學(xué)設(shè)計(jì)

函數(shù)定義是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)問題，是歷來研究者們熱門的話題. 朱文芳老師認(rèn)為，函數(shù)概念教學(xué)難在多余非本質(zhì)屬性的干擾，本質(zhì)屬性越多的概念，形成越容易;非本質(zhì)屬性越多，概念形成難度越大[1]. 高中函數(shù)概念是反映集合之間對應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式[2]. 由于高中函數(shù)定義中含有大量非本質(zhì)屬性概念和符號，如集合、非空集合、數(shù)集、A、B，加之受大腦工作記憶容量“7±2”的限制，所以函數(shù)是一個(gè)較難形成的概念. 本文擬建立在初中函數(shù)概念（形式邏輯）的基礎(chǔ)上，通過問題“y=1是否為函數(shù)”，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，再通過“對應(yīng)關(guān)系”建構(gòu)新的概念意義（辯證邏輯）.

認(rèn)知沖突理論概述

新知識的建構(gòu)無非是通過順應(yīng)和同化而得.當(dāng)新知識與學(xué)習(xí)者已有知識經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，并能夠相互融合時(shí)，學(xué)習(xí)就是以經(jīng)濟(jì)的同化方式進(jìn)行;當(dāng)新知識與學(xué)習(xí)者原有知識經(jīng)驗(yàn)難以建立某種聯(lián)系甚至相悖逆時(shí)，學(xué)習(xí)就需要以順應(yīng)的方式進(jìn)行.教育心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為，認(rèn)知發(fā)展過程是“平衡——不平衡——新的平衡”.當(dāng)新知識與已有知識能夠通過相互轉(zhuǎn)化和融合時(shí)，學(xué)習(xí)的方式就是通過簡單的同化習(xí)得.

當(dāng)新的外界信息輸入時(shí)，原有認(rèn)知基礎(chǔ)不能通過同化的方式進(jìn)行加工，從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突，繼而需要建立新的平衡以適應(yīng)信息輸入.認(rèn)知沖突是指人們意識到認(rèn)知結(jié)構(gòu)與外在信息或者認(rèn)知結(jié)構(gòu)各個(gè)成分之間存在矛盾的一種知覺狀態(tài)[3]. 此時(shí)也是激發(fā)學(xué)習(xí)者求知欲的最佳時(shí)期，也達(dá)到了古人所說的“悱憤”狀態(tài)，進(jìn)而通過順應(yīng)的方式學(xué)習(xí).

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)，知識不是放之各種情境皆準(zhǔn)的教條，而是處于不斷發(fā)展之中，在不同情境中，它們需要被重新建構(gòu)[4]. 從函數(shù)概念的發(fā)展史來看，正是從“變量學(xué)說”到“映射學(xué)說”的不斷“打破平衡——新的平衡”的過程.學(xué)生正是由于認(rèn)識概念過程中的認(rèn)知沖突，才發(fā)展到從初中所學(xué)“形式邏輯”到高中“辯證邏輯”的突破.

教學(xué)情況分析

1. 教材分析

函數(shù)定義是人教A版高中數(shù)學(xué)（必修1）第一章第二節(jié)的內(nèi)容，是高一學(xué)生學(xué)習(xí)了集合概念之后，運(yùn)用集合語言刻畫函數(shù)概念的一個(gè)重要內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)中的首個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容，更是影響學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性的一座大山.

從內(nèi)容上看，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中明確提出“在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念”[5]. 高中函數(shù)定義是對初中函數(shù)定義的重構(gòu)，是對學(xué)生認(rèn)知的突破，此過程必然產(chǎn)生認(rèn)知沖突.

從教材安排上看，高中函數(shù)定義是繼初中函數(shù)定義、集合概念等相關(guān)知識之后，用集合和對應(yīng)的關(guān)系來刻畫函數(shù)定義的.在函數(shù)定義學(xué)習(xí)之后將學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的圖像以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等幾種重要的函數(shù).函數(shù)定義在知識結(jié)構(gòu)上有著重要的承上啟下的過渡作用.

2. 學(xué)情分析

通過初中函數(shù)概念、簡單函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生基本掌握了特殊的正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等具體函數(shù)，初步認(rèn)識“形式化定義”的函數(shù)，并且認(rèn)識到函數(shù)刻畫了兩個(gè)變量的對應(yīng)關(guān)系.在函數(shù)定義學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了集合的相關(guān)內(nèi)容，為函數(shù)定義用集合表示奠定了一定知識基礎(chǔ).

但是，集合作為新概念，學(xué)生認(rèn)識能力有限，還難以將其作為數(shù)學(xué)語言（基本語言）去刻畫新的概念.

3. 教學(xué)目標(biāo)分析

（1）知識與技能目標(biāo)：理解函數(shù)的概念，會用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，認(rèn)識函數(shù)符號f（x），會求函數(shù)值.

（2）過程與方法目標(biāo)：通過對幾個(gè)對應(yīng)關(guān)系的分析，引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)概念的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.

（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成積極思考、勇于探索的良好習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

4. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

（1）教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)定義的理解，對符號f（x）的理解.

（2）教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)定義的理解.

設(shè)計(jì)思想

課程設(shè)計(jì)體現(xiàn)新課程理念，堅(jiān)持學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在知識建構(gòu)中的積極作用，以問題驅(qū)動(dòng)生成.基于認(rèn)知沖突理論及函數(shù)定義的教學(xué)地位，制定了函數(shù)定義的“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)，即“導(dǎo)”“疑”“示”“概”“定”“譯”“釋”“用”. 通過y=1是否為函數(shù)引發(fā)學(xué)生在新舊知識之間產(chǎn)生認(rèn)知沖突;借鑒并改進(jìn)教材[6]示例，利用學(xué)生熟知的“乘2”“平方減1”“取倒數(shù)”三種初等運(yùn)算，理解函數(shù)本質(zhì)——對應(yīng)關(guān)系;提煉共同特征，認(rèn)識函數(shù)的“一對一，多對一”關(guān)系;給出函數(shù)定義，建立新的認(rèn)知平衡.

函數(shù)定義的“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)，主要是指“導(dǎo)”→“疑”→“示”→“概”→“定”→“譯”→“釋”→“用”的八個(gè)教學(xué)過程，教學(xué)設(shè)計(jì)流程如圖1所示.

“導(dǎo)”是指復(fù)習(xí)引入. 新知識建立在學(xué)生已有知識基礎(chǔ)之上，有利于學(xué)生建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而減少工作記憶負(fù)擔(dān).

“疑”是指提出問題（設(shè)疑）. 通過問題“y=1是否為函數(shù)”設(shè)疑，使學(xué)生形成新舊知識之間的認(rèn)知沖突.

“示”是指展示案例.利用學(xué)生熟知的“乘2”“平方減1”“倒數(shù)”三種初等運(yùn)算，理解函數(shù)本質(zhì)——對應(yīng)關(guān)系.

“概”是概括本質(zhì)特征. 通過對示例的本質(zhì)特征的概括，即滿足“一對一，多對一”的對應(yīng)關(guān)系.

“定”是科學(xué)定義. 通過對應(yīng)關(guān)系給出函數(shù)的科學(xué)定義.

“譯”是編碼定義及符號. 函數(shù)定義中包含大量的非本質(zhì)屬性的概念和符號，需要對其進(jìn)行編碼記憶，同時(shí)理解哪些是本質(zhì)屬性，哪些是非本質(zhì)屬性.同時(shí)對函數(shù)的定義域、值域有新的認(rèn)識.

“釋”是解決問題（釋疑）. 通過函數(shù)定義的學(xué)習(xí)，解答課堂伊始提出的問題，達(dá)到順應(yīng)的認(rèn)知過程.

“用”是應(yīng)用. 布魯姆認(rèn)知目標(biāo)分類層次中將應(yīng)用水平放在知識與理解的更高水平. 學(xué)以致用，應(yīng)用不僅是學(xué)習(xí)的目標(biāo)也是對鞏固新知識的重要方式.

基于認(rèn)知沖突理論的函數(shù)定義“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)

第一步：“導(dǎo)”

回顧初中所學(xué)函數(shù)定義：如果在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量，例如x和y，對于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與之對應(yīng)，我們就說x是自變量，y是因變量，此時(shí)也稱y是x的函數(shù)[7].

設(shè)計(jì)意圖：影響學(xué)習(xí)的重要內(nèi)部因素是學(xué)習(xí)者原有的知識基礎(chǔ)[8]. 從初中所學(xué)函數(shù)定義過渡，既是對舊知的復(fù)習(xí)鞏固，也是新知講授的“先行組織者”.同時(shí)，也是為下一環(huán)節(jié)引發(fā)認(rèn)知沖突做好知識準(zhǔn)備.

第二步：“疑”

問題1：應(yīng)用初中函數(shù)的定義判斷y=1是否為函數(shù).

分析：運(yùn)用初中函數(shù)的定義，y=1中只有一個(gè)變量y，不滿足y隨x的變化而變化.然而，y=1是一個(gè)函數(shù)，需要對函數(shù)的概念有一個(gè)更準(zhǔn)確（完善）的認(rèn)識.

設(shè)計(jì)意圖：以問題情境引入課題，y=1是最簡單的函數(shù)，看似簡單，內(nèi)涵卻豐富，是數(shù)學(xué)“簡單美”的詮釋.運(yùn)用初中函數(shù)的定義難以判斷y=1是否為函數(shù)，從而激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突.初中函數(shù)的定義十分狹隘，迫切需要對函數(shù)的定義有新的認(rèn)識.上一節(jié)學(xué)習(xí)了集合的概念，集合是我們數(shù)學(xué)的基石，那么今天我們就站在集合這塊基石上來重新研究一下函數(shù)的概念.

第三步：“示”

下面先看兩個(gè)非空數(shù)集A，B的元素之間的一些對應(yīng)關(guān)系的例子，如圖2所示.

第四步：“概”

問題2：觀察它們有什么共同特征？

分析：其共同特征是，對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)，集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng).可以簡單表述為“一對一，多對一”，但不能是“一對多”.

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生熟知的“乘法”“求平方”“求倒數(shù)”等初等代數(shù)運(yùn)算，認(rèn)識函數(shù)定義中的對應(yīng)關(guān)系，自然地引出高中函數(shù)的定義，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.從學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)，建立關(guān)于“對應(yīng)關(guān)系”的認(rèn)知體驗(yàn)，搭建腳手架.

第五步：“定”

定義[9]：設(shè)A，B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系“f”，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（function），記作y=f（x），x∈A.

其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域（domain）;與x的值相對應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合（f（x）∈A}叫作函數(shù)的值域（range）. 顯然，值域是集合B的子集.

第六步：“譯”

問題3：理解函數(shù)定義時(shí)應(yīng)該注意些什么？

教師強(qiáng)調(diào)任意性和唯一性，任意性是指A中的任何一個(gè)數(shù)都對應(yīng)著B中的某個(gè)數(shù);唯一性是指A中的任意一個(gè)數(shù)對應(yīng)著B中唯一的一個(gè)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：分解定義中的難點(diǎn)，深化對函數(shù)定義本質(zhì)的理解.特別是任意性與唯一性的理解，可以舉例說明（正例和反例）.

注意：（1）A，B都是非空數(shù)集;（2）A對應(yīng)到B時(shí)，A中元素的任意性和B中元素的唯一性;（3）函數(shù)有三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

第七步：“釋”

解答問題1：y=1是函數(shù).因?yàn)槠涠x域?yàn)镽，值域?yàn)閧1}，對應(yīng)關(guān)系為y=1.定義域R中的任意一個(gè)數(shù)通過對應(yīng)關(guān)系，在值域中都有唯一的數(shù)1與它對應(yīng).

設(shè)計(jì)意圖：釋疑，使用函數(shù)定義解決課堂伊始的問題y=1是否為函數(shù)，有疑則釋疑.同時(shí)，在設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)上首尾呼應(yīng)，有問有答.

第八步：“用”

例1：已知函數(shù)f（x）= + .

（1）求函數(shù)的定義域;

（2）求f（-3），f 的值;

（3）當(dāng)a>0時(shí)，求f（a），f（a-1）的值.

學(xué)生先做，教師在PPT上給出過程.

設(shè)計(jì)意圖：布魯姆將學(xué)生的認(rèn)知目標(biāo)分為知識、理解、應(yīng)用、分析、綜合、評價(jià)六個(gè)層次[10]，應(yīng)用水平是在理解水平之上進(jìn)行的，只有將所學(xué)的內(nèi)容應(yīng)用于解決問題，才是學(xué)習(xí)的目的. 邊講邊練，將知識轉(zhuǎn)化為技能.在理解函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，能求函數(shù)的定義域和對應(yīng)函數(shù)值. 培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和運(yùn)算求解能力. 第（1）問，在求解定義域的問題中，根式與分式問題是重點(diǎn);第（2）問和第（3）問是函數(shù)求值的基本題型，從具體到抽象，由淺入深，設(shè)計(jì)符合認(rèn)知規(guī)律.

課堂小結(jié)

（1）知識：函數(shù)的定義、函數(shù)的三要素以及如何判斷函數(shù)相同.

（2）方法：回顧用集合的語言描述函數(shù)概念的過程，體會從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般、由感性到理性的數(shù)學(xué)方法.

作業(yè)布置

（1）復(fù)習(xí)本節(jié)課知識.

（2）P24習(xí)題1.2A組：1，2，3，4（必做題）;B組：3，4（選做題）.

設(shè)計(jì)反思

第一，本設(shè)計(jì)沒有使用教材的“圖表式、解析式、圖像式”的函數(shù)情境. 本設(shè)計(jì)從“y=1是否為函數(shù)”的問題引入，一方面借助初中所學(xué)函數(shù)的“腳手架”，另一方面考慮到函數(shù)是研究數(shù)集到數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系，一旦具備了現(xiàn)實(shí)背景就需要對量進(jìn)行抽象，如教材中的炮彈發(fā)射高度、恩格爾系數(shù)等都是數(shù)量關(guān)系，而不是函數(shù).

第二，高中函數(shù)定義是建立在理解對應(yīng)關(guān)系基礎(chǔ)之上的，因此，有必要先學(xué)習(xí)映射再進(jìn)行函數(shù)定義的教學(xué)，函數(shù)是特殊的映射，映射貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)全過程.

第三，關(guān)于函數(shù)的定義還存在諸多爭議，如一元與多元的問題[11]，且函數(shù)定義過于冗長、非本質(zhì)屬性多，迫切需要一種言簡意賅的函數(shù)定義方式.

第四，映射是函數(shù)的教學(xué)基礎(chǔ). 函數(shù)是一種特殊的映射，有映射概念作為基礎(chǔ)，函數(shù)定義更易理解，因此建議高中數(shù)學(xué)先學(xué)映射再學(xué)函數(shù)定義.

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