李永革

[摘 ?要] 統(tǒng)計學(xué)的特點是數(shù)據(jù)的變異性和背景的重要性，其目的是探索數(shù)據(jù)的內(nèi)在數(shù)量規(guī)律性，為制定決策提供依據(jù). 統(tǒng)計學(xué)的核心思想主要包括：樣本估計總體的思想，統(tǒng)計推斷——估計的基本思想，回歸分析的基本思想，假設(shè)檢驗的基本思想. 在統(tǒng)計思想的指導(dǎo)下掌握統(tǒng)計學(xué)的研究方法，形成正確的統(tǒng)計思維.

[關(guān)鍵詞] 統(tǒng)計學(xué);核心概念;核心思想;核心方法

問題的提出

統(tǒng)計學(xué)是高中數(shù)學(xué)重要的知識模塊，與實際生活聯(lián)系十分緊密，作為高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力的重要知識載體，但實際教學(xué)的效果不盡人意. 學(xué)生對統(tǒng)計學(xué)產(chǎn)生的歷史背景、研究的對象、目的和意義不甚了解，對統(tǒng)計學(xué)的核心觀念、基本思想、研究方法理解不深，導(dǎo)致統(tǒng)計部分教學(xué)常停留在套公式計算、圖表繪制的低水平層次，學(xué)生的數(shù)據(jù)收集能力、統(tǒng)計推斷能力，對統(tǒng)計圖表的析圖、評圖能力不強(qiáng). 統(tǒng)計思維沒有得到很好的發(fā)展，經(jīng)常受到確定性思維的干擾，最終影響學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的形成和發(fā)展. 導(dǎo)致這些現(xiàn)象的一個重要原因是中學(xué)一線教師概率統(tǒng)計知識的儲備不足，對部分概率統(tǒng)計基本概念的認(rèn)識處于模糊狀態(tài)，對大多數(shù)統(tǒng)計思想理解深度不夠. 鑒于此，筆者認(rèn)真研究了課標(biāo)、教材和相關(guān)文獻(xiàn)，試圖探明統(tǒng)計學(xué)的學(xué)科本質(zhì)、核心思想、研究方法與學(xué)科價值.

統(tǒng)計學(xué)核心概念、核心思想的梳理

1. 統(tǒng)計的意義

（1）統(tǒng)計學(xué)是一門關(guān)于收集、整理和分析數(shù)據(jù)的方法科學(xué)，其目的是探索數(shù)據(jù)的內(nèi)在數(shù)量規(guī)律性，為制定決策提供依據(jù).

（2）統(tǒng)計學(xué)的學(xué)科特點：統(tǒng)計學(xué)的第一個特點是數(shù)據(jù)的變異性. 統(tǒng)計學(xué)源于無處不在的變異現(xiàn)象，統(tǒng)計問題的解決和決策的制定必須依賴于對數(shù)據(jù)變異性的理解、解釋和量化. 數(shù)據(jù)變異性的來源有很多：測量產(chǎn)生的變異（同一個體的多次重復(fù)測量值各不相同），自然變異（與生俱來的變異，如人天生有不同的身高、體重），取樣變異（選取樣本時產(chǎn)生的樣本變異），誘導(dǎo)變異（如采用不同的肥料種植同一種植物所引起的植物生長情況的變異），等等. 統(tǒng)計學(xué)的另一個特點是背景的重要性，統(tǒng)計學(xué)中的數(shù)據(jù)并不僅是數(shù)，而是帶有背景的數(shù). 在數(shù)據(jù)分析中，數(shù)學(xué)模式的獲得依賴于問題背景，背景提供了實際意義.

（3）獲取數(shù)據(jù)的基本途徑：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確提出了獲取數(shù)據(jù)的基本途徑包括統(tǒng)計報表和年鑒、社會調(diào)查、試驗設(shè)計、普查和抽樣、互聯(lián)網(wǎng)等.

2. 樣本估計總體的思想

（1）抽樣的意義：統(tǒng)計學(xué)的基本特征之一是通過部分的數(shù)據(jù)來推測全體數(shù)據(jù)的性質(zhì)，就是從總體中抽出一部分個體進(jìn)行分析，判斷整個系統(tǒng)的狀態(tài)，這就是抽樣. 抽樣的意義在于，現(xiàn)實世界的事件和現(xiàn)象大量而多樣，人們不可能做出完全的觀察，而且有時考察還帶有破壞性，所以“我們只能滿足于抽樣”. 統(tǒng)計學(xué)這種“由局部到整體”“由特殊上升到一般”的研究方法，是歸納法在數(shù)學(xué)上的特殊應(yīng)用.

（2）如何提高樣本的效度？應(yīng)該承認(rèn)，我們不能只憑抽取的樣本而確切地得到總體的某個特征，但好的樣本能夠提高估計的精確度，這就需要樣本有好的代表性. 抽樣的代表性是指，被調(diào)查的對象能夠反映其他未被調(diào)查的對象的性質(zhì). 為保證樣本的代表性，一般從三個方面對抽樣過程提出要求：？搖①抽樣的規(guī)模應(yīng)當(dāng)盡可能地大;②抽樣的范圍應(yīng)當(dāng)盡可能地廣;③樣本的選取應(yīng)當(dāng)是隨機(jī)的，即總體中每一個個體被抽到的可能性相等. 高中階段要求學(xué)生掌握三種隨機(jī)抽樣方法：簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣. 學(xué)生應(yīng)該根據(jù)問題的特點恰當(dāng)?shù)剡x擇抽樣方法.

（3）如何對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析？①用直觀圖表進(jìn)行數(shù)據(jù)分析;②用數(shù)字特征進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，主要包括反映數(shù)據(jù)集中趨勢的參數(shù)——平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);反映數(shù)據(jù)離散程度的參數(shù)——標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差.

有研究表明，中學(xué)生對平均數(shù)的意義理解不夠，往往停留在把它看成一組數(shù)據(jù)相加再除以數(shù)據(jù)個數(shù)的算法層面，而缺乏為什么用、什么時候用、如何用的能力. 不知道平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)偏差之和為零，不知道如果數(shù)據(jù)中出現(xiàn)零，計算平均數(shù)時這個零必須考慮進(jìn)去，不知道平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的代表. 不能體會平均數(shù)對極端數(shù)據(jù)的敏感性，往往會偏向擁有極端值的一側(cè)，因此當(dāng)數(shù)據(jù)分布不對稱時用中位數(shù)或眾數(shù)能更好地概括這組數(shù)據(jù). 教學(xué)中必須加強(qiáng)訓(xùn)練，讓學(xué)生能在不同場合運用不同的統(tǒng)計量合理地反映數(shù)據(jù)的平均水平（集中趨勢）.

3. 統(tǒng)計推斷——估計的基本思想

（1）統(tǒng)計推斷是帶有概率性質(zhì)的一種推理方法.統(tǒng)計推斷是統(tǒng)計學(xué)的重要思想方法，它不同于數(shù)學(xué)中的演繹推理，是帶有概率性質(zhì)的一種推理方法. 比如有如下形式的結(jié)論：“在顯著水平為0.01的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系. ”就是在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān).

（2）抽樣推斷是統(tǒng)計推斷的集中體現(xiàn). 認(rèn)識的世界是無限的，如何利用已知的某些信息來推斷這個無限世界的一些規(guī)律和特征成為人們把握世界的一種方法. 規(guī)律所寓的對象是無窮無盡的，而我們所要觀察的群體總是有限的. 總結(jié)出的規(guī)律，對整體現(xiàn)象的判斷都是基于推斷的，是利用現(xiàn)有信息進(jìn)行的概率推斷，這就是樣本估計總體的實質(zhì).

（3）極大似然估計是統(tǒng)計推斷最常用的方法. 條件不同，選擇的統(tǒng)計推斷方法也不同，極大似然估計是統(tǒng)計推斷最常用的方法，它的理論依據(jù)是“概率最大的事件最容易在一次試驗中發(fā)生”這一原理.

4. 回歸分析的基本思想

（1）什么是回歸分析？通常稱對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法叫作回歸分析.

（2）掌握線性回歸分析的方法步驟：①明確事物間是相互聯(lián)系的，認(rèn)識現(xiàn)實生活中變量間存在的非確定性的相關(guān)關(guān)系，體會研究此類問題在現(xiàn)實生活中的重要性. ②作散點圖，并由此對變量間的正相關(guān)與負(fù)相關(guān)關(guān)系做出直觀判斷. ③經(jīng)歷描述兩個變量線性相關(guān)關(guān)系的過程，了解最小二乘法思想，能用回歸直線描述線性相關(guān)關(guān)系. ④了解任何模型只能近似描述實際問題.掌握模型擬合效果的分析工具：殘差分析和指標(biāo)R2.

（3）理解回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別：

（4）會將非線性回歸問題轉(zhuǎn)化成線性回歸問題.

5. 假設(shè)檢驗的基本思想

（1）什么是假設(shè)檢驗？為了對總體的分布做出推斷，首先對它們提出一個假設(shè)H0，然后在H0成立的條件下，通過選取恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量來構(gòu)造一個小概率事件，若在一次試驗中，小概率事件發(fā)生了，就完全有理由拒絕H0的正確性，否則，沒有充分的理由拒絕H0的正確性，從而接受H0，這就是假設(shè)檢驗的基本思想.

（2）假設(shè)檢驗的理論依據(jù). 假設(shè)檢驗的基本依據(jù)是小概率事件不可能性原理：概率很小的事件在一次試驗中是不可能發(fā)生的.

（3）假設(shè)檢驗的基本步驟：①提出假設(shè)檢驗問題;②選擇檢驗的指標(biāo);③根據(jù)檢驗指標(biāo)的含義確定拒絕域的構(gòu)造;④確定拒絕域中的臨界值;⑤給出推斷結(jié)果及其解釋.

感悟與反思

章建躍博士說過“理解數(shù)學(xué)是當(dāng)好數(shù)學(xué)教師的前提”. 教師對數(shù)學(xué)知識的理解水平?jīng)Q定了其對學(xué)生認(rèn)知具體內(nèi)容時的心理把握水平，所以作為教師一定要準(zhǔn)確地把握學(xué)科本質(zhì). 在此基礎(chǔ)上，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，選好內(nèi)容素材，確定好研究主題，設(shè)計好教學(xué)活動. 這樣才能讓學(xué)生在掌握相應(yīng)知識技能的同時形成本門學(xué)科特有的學(xué)科能力與素養(yǎng).

中小學(xué)教育是按學(xué)科進(jìn)行的，每門學(xué)科都有其特殊性. 中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科是由代數(shù)、幾何、三角、微積分、概率統(tǒng)計等分支組成的. 一門學(xué)科的本質(zhì)是一門學(xué)科的根本屬性，主要從以下幾個方面體現(xiàn)出來：一是學(xué)科的研究對象和基本問題;二是核心概念與范疇;三是基本的學(xué)科思想與方法，其核心是學(xué)科思維;四是核心的學(xué)科價值與精神. 統(tǒng)計學(xué)獨特的學(xué)科特點與學(xué)科思想是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力的良好載體，它所提供的解決問題特有的視角、思維的方式、獲得的經(jīng)歷與體驗是樹立統(tǒng)計思維的良好素材.