莫靜波

【摘要】教育部《普通高中數(shù)學課程標準》修訂組組長王尚志教授指出：考試要著眼于能力，不能變成考技巧.讓平時拼命刷題、反復復習、機械操練的考生占不了便宜.高考出的題目要有彈性，要出一些體現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)的“背景題”.這些高考“背景題”，從形式上跳出已學知識的舊框框，在試卷中臨時定義新背景、新知識，對于這類問題大多考生有霧里看花的感覺，往往在考試中給我們的學生帶來很大的阻力.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學;核心素養(yǎng);背景題

有人做過統(tǒng)計，一套高考數(shù)學試卷擁有的文字量，通常要求命題者控制在2 000個印刷符號，在一般情況下，考生能以每分鐘閱讀300～400個印刷字符的速度審題，這樣讀完一套試卷需要花費5～7分鐘，考慮到有的題目冷僻晦澀，需要反復閱讀，多次體悟才能斷明題意，實際閱讀完一套數(shù)學試卷需12分鐘左右.書寫主要用于解答題，一份試卷完整寫出解答過程，大約需要寫3 000個印刷字符.通常情況下，學生書寫速度是每分鐘150個符號，這樣書寫時間大約需要20分鐘，因此我們看清并理解意思后，直接抄寫標準答案花去將近32分鐘，于是，留給我們探究思索、發(fā)現(xiàn)思路、估值計算、文字組織和復查檢驗的時間約88分鐘.通常每套試卷擁有20～23道題，最后幾道題設(shè)置一般不止給出一個問題，因此整個試卷就會有26～30個問題.因此，我們解答每個問題平均時間只有3分鐘.那么完全依靠在考場中的3分鐘時間來解決一道“背景題”是有很大難度的，這種強度的時間要求，對我們解答這類題目是個考驗.然而，這些“背景題”并不是無源之水，都是有根可尋.我們可通過對下面題目的認識，來洞察高考出題的“背景點”.讓學生在日常復習中感受這些的“背景”，提高他們解決“背景題”的能力.

引例1 設(shè)x∈R，記不超過x的最大整數(shù)為[x]，令{x}=x-[x]，則5+12，5+12，5+12是（）.

A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列

B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列

C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

答案 B

題目分析 本題屬于新定義題，其中定義的新函數(shù)f（x）={x}，對多數(shù)學生來說對它知之甚少，{x}表示x的非負純小數(shù)，其實它的核心是考查函數(shù)y=[x]（[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)）稱為高斯（Guass）函數(shù)或取整函數(shù)，在各級競賽中可謂?？?所以，此題創(chuàng)新點是在競賽背景下的題目創(chuàng)新，高斯函數(shù)為背景的題目既有創(chuàng)新點，考查知識又不“超綱”，可謂創(chuàng)新的絕佳點.

背景解析 這道以競賽中?？透咚购瘮?shù)為背景的題目，不是出題人隨意而出的題目，而是在我們教材中有蹤可尋的.在普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學1》中P25B組3題：函數(shù)f（x）=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[-3.5]=-4，[2.1]=2.當x∈（-2.5，3]時，寫出函數(shù)解析式，并作出函數(shù)的圖像.高斯函數(shù)將是以后一個階段出創(chuàng)新題的熱點.

函數(shù)y=[x]，（[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)）的基本信息：

（1）y=[x]的定義域為R，值域為Z.

（2）函數(shù)的圖像：階梯線.

（3）對任意實數(shù)x，都有[x]≤x<[x]+1，x-1<[x]≤x.

（4）y=[x]是不減函數(shù)，即若x1≤x2則[x1]≤[x2].

（5）[x+m]=m+[x]（m∈Z）.

（6）[x+y]≥[x]+[y]，[xy]≥[x]·[y].

（7）設(shè)m與n為正整數(shù)，在1，2，3，…，n中，m的倍數(shù)為nm個.

引例2 一質(zhì)點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài).已知F1，F(xiàn)2成60°的角，且F1，F(xiàn)2的大小分別是2和4，則F3的大小是（）.

A.12

B.22

C.2

D.2

答案 D

題目分析 此題背景點是物理現(xiàn)象，數(shù)學解釋.物理中的力可用數(shù)學中的向量來刻畫，進而用向量的知識來解決力的問題.此題立意看似比較常見，但卻隱含著一類創(chuàng)新題的方向，隨著課程改革的不斷推進和教學改革的不斷深入，作為工具性學科的數(shù)學與其他學科的聯(lián)系將更為密切，數(shù)學知識與其他知識的交叉整合將是一個十分重要的研究課題，在高考中也會用相應地體現(xiàn).而這又是出題的很好的背景.

背景解析 數(shù)學知識與其他學科知識有很多交叉的點，與物理聯(lián)系最為密切，近幾年考的比較多是的向量與力結(jié)合的問題，這類問題仍是我們復習的重點.但由于出題較多，那么新意也就降低了.隨著與力結(jié)合題目的新意降低，那么與光學原理有密切聯(lián)系的數(shù)學知識就可能成為新的創(chuàng)新點，那么哪塊知識會是結(jié)合的點呢？我們也要到教材中去尋找蹤跡.普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學1-1》（《數(shù)學2-1》）中2.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)中：例5，

如圖所示，一種電影放映燈泡的反射鏡面是一個旋轉(zhuǎn)的橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點F1上，片門位于另一個焦點F2上，由橢圓的一個焦F1發(fā)出的光線，經(jīng)旋轉(zhuǎn)的橢圓面反射后集中到另一個焦點F2.

已知BC⊥F1F2，|F1B|=2.8 cm，F(xiàn)1F2=4.5 cm，

試建立適當?shù)淖鴺讼?，求截口BAC所在橢圓的方程.

除此之外，在本章復習參考題中B組第4題再次設(shè)計關(guān)于圓錐曲線光學性質(zhì)的問題（題目略）.圓錐曲線具有很好的光學性質(zhì)，這類問題又在教材中反復出現(xiàn)，這恰好符合高考出創(chuàng)新題的條件.下面我們應了解圓錐曲線簡單的光學性質(zhì)：

（1）橢圓的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過橢圓周上反射后，反射都經(jīng)過橢圓的另一個焦點;

（2）雙曲線的光學性質(zhì)：如果光源或聲源放在雙曲線的一個焦點處，光線或聲波射到雙曲線靠近這個焦點的一支上，經(jīng)過反射以后，其反射線的反向延長線，必定經(jīng)過另一個焦點;

（3）拋物線的光學性質(zhì)：從拋物線的焦點發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過拋物線周上反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.

引例3 如圖所示，一個正五角星薄片（其對稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為S（t）（S（0）=0），則導函數(shù)y=S′（t）的圖像大致為（）.

A

B

C

D

答案 A

題目分析 此題最大的特色是把物體運動與函數(shù)圖像自然地融合在一起，實現(xiàn)了動與靜的交匯，考查學生的抽象概括、合情推理和運用運動變化的觀點分析問題的能力.這是一道運動中現(xiàn)本質(zhì)，思維上求創(chuàng)新的動態(tài)函數(shù)問題.

背景解析 現(xiàn)實世界中的許多運動變化現(xiàn)象都表現(xiàn)出變量之間的依賴關(guān)系，數(shù)學上我們用函數(shù)模擬描述這種依賴關(guān)系.因此，這類以動態(tài)為背景“動態(tài)函數(shù)型”題目，正好

擬合了函數(shù)刻畫運動現(xiàn)象的本質(zhì)及高中數(shù)學建模數(shù)學的核心素養(yǎng).因此，這類題目將持續(xù)是高考出題的背景.

引例4 《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖所示，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（）.

A.14斛 B.22斛

C.36斛 D.66斛

答案 B

題目分析 此題求解不難，但以數(shù)學史《九章算術(shù)》為背景的題目形式，給我以啟示，數(shù)學文化滲透到高考將成為高考出題的一個重要背景.

背景解析 數(shù)學文化是國家文化素質(zhì)教育的重要組成部分，其內(nèi)涵是一種理性思維方法在實踐過程中不斷探索、形成的數(shù)學史，數(shù)學精神及其應用.高考試題主要從數(shù)學史、數(shù)學精神、數(shù)學應用三個方面滲透數(shù)學文化.通過這種滲透，有效促進我們理性思維的發(fā)展.

這些類“背景題”題目以能力立意為指導，以考查能力和素質(zhì)為導向，特點是將知識、能力和素質(zhì)融為一體.結(jié)果是題不是很難，但“考倒”大批考生.原因在于，這類題目我們的學生大多感覺“非常規(guī)”，解題信心不足、方向不明，因而在考試中給我們帶來了很大的阻力.希望可以通過者四道引例及解析，讓我們有意識地認識“背景題”題目的“背景”，熟悉題目的立意點，減少陌生感，同時，我們要在日常復習中有意識地發(fā)現(xiàn)和訓練學生解決這些“背景題”試題，探索它的解決策略，增強高考中的解題信心和能力.

【參考文獻】

[1]沈傳龍.再談數(shù)學競賽中的圖論背景題及其解法[J].杭州教育學院學報，1991（4）：1-6.

[2]董朝芳.高中數(shù)學函數(shù)教學對數(shù)學思想方法的滲透[J].教育教學論壇，2014（21）：61-62.