賈凌云

(廣東省惠州市黃岡中學惠州學校 516001)

一、教材地位與背景分析

2018年高考改革明確提出高中教學中增加復數(shù)的三角形式.通過引入復數(shù)三角形式,可以簡化復數(shù)乘除運算,徹底解決復數(shù)乘方開方運算,使復數(shù)知識的教學更完善,將復數(shù)與三角知識綜合,不但對三角公式能起到鞏固作用,并使某些知識如倍角、解方程等知識得到發(fā)展與深化,可以銜接高次方程的解法,使學生解方程的能力得到拓展.教師在引導學生進行復數(shù)三角形式的乘除運算的教學時,可以輕易得出棣莫弗定理,如果再適當介紹歐拉公式,得出復數(shù)指數(shù)形式,三角形式和指數(shù)形式可以形成順利對接!或者將二項式定理用于棣莫弗公式,實現(xiàn)復數(shù)與二項式定理的溝通,為學生展開了一副非常壯闊的數(shù)學前景,可以為學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成起到了引領的作用.

二、對教材內容操作的探究

能力的培養(yǎng)是教學活動的中心，理解教材是一個復雜的思維過程，為了便于學生準確地理解教材，正確思維，教師要善于運用比較、分析、綜合等邏輯思維方法和歸納、演繹等邏輯推理形式，來引導和組織學生的思維過程，讓學生在課堂中自己去觀察、去探索、去發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，為了達到這樣的教學目標，精心設計的教學思路就是一個老師對學生最好的幫助，下面是我的一個設想.

首先, 在復平面內將復數(shù)的代數(shù)形式轉化成三角形式，從而得復數(shù)的到三角形式的定義,即

其次，設z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),通過使z1=z2=z得到

z2=r2(cos2θ+isin2θ) ,再繼續(xù)推導出z3=r3(cos3θ+isin3θ),……

從而歸納出棣莫弗公式zn=rn(cosnθ+isinnθ).

再次,引導學生用數(shù)學歸納法對棣莫弗公式進行證明:

第四,介紹歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ,并代入z=r(cosθ+isinθ)得到復數(shù)的指數(shù)形式z=reiθ,在指數(shù)形式下再來證明棣莫弗定理：

證明：zn=rn(cosθ+isinθ)n=rn(eiθ)n=rneiθn=rn(cosnθ+isinnθ).

這個證明方法實在太漂亮了，哪個學生不會因此愛上數(shù)學？

對于多數(shù)學生而言,復數(shù)三角形式的教學到此完成一個段落,但是對于基礎好的學生,可以繼續(xù)拓展深化.

第五,將(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ的左邊用二項式定理展開得到

本文樣本來自《中國工業(yè)企業(yè)數(shù)據(jù)庫》，樣本時間區(qū)間為2002～2006年。剔除相關變量缺失、數(shù)據(jù)明顯錯誤(比如員工數(shù)量為0，資產小于0)樣本，最終形成時間范圍為2002～2006年的平衡面板數(shù)據(jù)，共計77 705家企業(yè)，所屬行業(yè)均為制造業(yè)。

在此，復數(shù)與二項式定理完美結合，為學生開啟了一扇領略數(shù)學之美的智慧之窗.

三、對教材其他模塊知識的深化

概念的掌握并不是一次完成的，它是一個由淺入深、由易到難的循序漸進的過程，學生學習了復數(shù)的三角形式后容易將一些含有三角符號的復數(shù)表達式混同于復數(shù)的三角形式.為使學生準確認識復數(shù)三角形式的結構，教師設計問題幫助學生區(qū)別其本質與非本質的屬性是必不可少的關鍵環(huán)節(jié).

例如：將復數(shù)z=1-cosθ+isinθ(0<θ<π)轉化為標準的三角形式.

此時復數(shù)z滿足了“模非負，角相同，余弦前，加號連”，是標準的三角形式.通過這個問題的分析，復數(shù)三角形式的本質特點清晰得呈現(xiàn)出來：“模非負，角相同，余弦前，加號連”.教學中通過將代數(shù)形式的復數(shù)轉化為三角形式，訓練了學生的思維能力，也深化和鞏固了三角函數(shù)，對數(shù)學必修四中三角誘導公式及三角恒等變形能力有很大的促進.

即eiπ+1=0，這個等式將數(shù)學中最常用的五個數(shù)聯(lián)系起來的，被稱為歐拉恒等式.

縱觀這節(jié)課的教學設計，緊緊圍繞復數(shù)的三角形式這一主題，依照學生的認識規(guī)律，由淺入深地剖析概念，用例題辨析易錯點，通過知識點間的新舊交融、步步設疑、點撥誘導、歸納類比、適度拓展的教學策略，啟發(fā)學生積極思考，不斷探索，用老師的教促進學生學，即教學生學！讓課堂成為學生思維活動展示的舞臺.數(shù)學教育的終極目標是“用數(shù)學的眼光觀察世界,用數(shù)學的思維思考世界,用數(shù)學的語言表達世界”.通過對復數(shù)三角形式的教學，我們可以向學生充分展示數(shù)學之美，是新課標中落實數(shù)學核心素養(yǎng)的絕好的載體.