王娟

[摘 要]運算律貫穿于整個小學(xué)數(shù)學(xué)，也將運用于今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，可以有效地幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，促進學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)展。在運算律教學(xué)中，教師可通過以形相助、以形相輔、以形助思，促進學(xué)生把握運算本質(zhì)，幫助學(xué)生變通思維，提升思維深度。

[關(guān)鍵詞]運算律;數(shù)形結(jié)合;思考

[中圖分類號] G623.5[文獻標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）29-0025-02

在小學(xué)階段，運算律貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。比如，在看圖列式或解決問題中加法交換律和乘法交換律就得到了廣泛應(yīng)用;進位加法中利用湊十法進行計算也需要加法結(jié)合律的支撐，除表內(nèi)乘法及整十整百數(shù)以外的乘法計算也都離不開乘法分配律的幫助。小學(xué)階段的運算律學(xué)習(xí)大致可分為三個階段。第一階段，學(xué)生結(jié)合具體的生活實例初步感受運算律，同時在解決問題和計算中不自覺地對運算律加以應(yīng)用。第二階段，也就是四年級，將會系統(tǒng)地學(xué)習(xí)五個基本的運算律，探索并了解運算律。第三階段，將運算律及其運算法則遷移到小數(shù)和分?jǐn)?shù)中進行應(yīng)用。在北師大版四年級教材中，五個運算律的編排結(jié)構(gòu)基本一致，即“觀察算式—仿寫算式—解釋規(guī)律—表述規(guī)律—應(yīng)用規(guī)律”。但學(xué)生在做題時對乘法結(jié)合律和乘法分配律的應(yīng)用經(jīng)常出錯，說明學(xué)生對運算律的掌握僅僅停留在模仿階段，所以教師需要為學(xué)生提供合適的學(xué)習(xí)素材，比如圖形、實物、有趣的活動情境、適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法等，讓學(xué)生有所觀、有所感、有所悟、有所思，親身經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展過程，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)中有一些重要內(nèi)容、方法、思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長的認(rèn)識過程，逐步理解和掌握的，如分?jǐn)?shù)、函數(shù)、概率、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、模型思想等。”這就明確了數(shù)形結(jié)合思想對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要作用。小學(xué)階段是數(shù)形結(jié)合思想形成的啟蒙和發(fā)展階段，因此，筆者思考：能不能利用數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生理解運算律的本質(zhì)，進而合理有效地運用運算律呢？

一、以形相助，把握運算本質(zhì)

以加法交換律和乘法交換律為例，教材把它們放在一起呈現(xiàn)，例如出示幾組算式：

先讓學(xué)生觀察算式，仿寫算式，發(fā)現(xiàn)問題，然后舉出事例，說明解釋，確認(rèn)發(fā)現(xiàn)。然而，能寫出100個這樣的算式，是不是就可以得出結(jié)論？筆者認(rèn)為還是要結(jié)合加法的運算本質(zhì)來說。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)源于數(shù)?！奔臃▽嶋H是數(shù)數(shù)的高級形式。在一年級的學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常會遇到這樣的題目：如下圖，一共有多少根小棒？

加法的本質(zhì)就是把多個數(shù)量合起來，因此有學(xué)生從左邊開始數(shù)起，列式為4+2=6，有學(xué)生從右邊開始數(shù)起，列式為2+4=6。不管從哪邊開始數(shù)，都是把這兩堆小棒合在一起，小棒的總數(shù)不變。如果小棒的堆數(shù)比較多，還可以進行結(jié)合，這就出現(xiàn)了加法的結(jié)合律。教材要求學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、得出猜想后再列舉生活中的事例驗證猜想，這是本末倒置的。仿寫的算式都符合規(guī)律，就代表所有的式子都符合規(guī)律了嗎？筆者認(rèn)為，教材可以調(diào)整編排順序，把一年級的看圖寫算式放在前面，讓生活事例緊跟其后。算式只是表面現(xiàn)象，是表現(xiàn)形式，其本質(zhì)上還是如何數(shù)數(shù)。教材在加法結(jié)合律的編寫中也是同樣的問題，在這里就不多加贅述。

總之，以“形”助“數(shù)”，可促進學(xué)生有效把握數(shù)的本質(zhì)，加深數(shù)與形之間的聯(lián)系與溝通。

二、以形相輔，幫助思維變通

如果說加法是相同對象的運算，那么乘法就是不同對象之間的運算。雖然現(xiàn)在淡化了乘法意義的教學(xué)，比如3個6寫成兩個乘法算式：3×6，6×3;6個3也可以寫成3×6，6×3。雖然兩個式子的計算結(jié)果一樣，但表示的意義卻不一樣。因此，筆者認(rèn)為僅僅觀察算式，仿寫算式就得出結(jié)論是不恰當(dāng)?shù)模€是要借助圖形或者實物來理解。教材出示了數(shù)椅子的情景圖：

在這里，乘法又回到了“數(shù)”，不管橫著看還是豎著看，椅子的總數(shù)不變，只是每個人數(shù)數(shù)的習(xí)慣不一樣。在解決問題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先從數(shù)的方面去分析，進行抽象思維，再從形的方面去研究，進行形象思維。用“數(shù)”來表示“形”，以把握“形之屬性”，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，可有效發(fā)展學(xué)生的邏輯思維。

三、以形助思，提升思維深度

乘法分配律歷來是教學(xué)中的重點和難點。前面學(xué)習(xí)的運算律僅僅是同一種運算，而乘法分配律就涉及了加法和乘法兩種運算。

乘法分配律的字母表達式（a+b）×c=a×c+b×c很抽象，也很難理解，需要借助圖形和大量的生活例子幫助學(xué)生理解，促進學(xué)生自然構(gòu)建知識體系，只有這樣才能避免學(xué)生只會機械模仿，面對變式無從下手。教材創(chuàng)設(shè)了“貼了多少塊瓷磚？”這一情境，出示了兩組算式“3×10+5×10=（3+5）×10;4×8+6×8=（4+6）×8”，提出問題：觀察算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

筆者認(rèn)為，這一情境可以分兩步呈現(xiàn)給學(xué)生，而且要結(jié)合乘法的意義來說明。先呈現(xiàn)給學(xué)生正面的墻面：

學(xué)生可以很直觀地看出瓷磚有藍色和白色兩種顏色，列算式的方法有很多種：

方法一：3×6+5×6=48，白色瓷磚每行有6塊，共3行，所以3×6表示3個6;藍色瓷磚每行有6塊，共5行，所以5×6表示5個6;3個6加上5個6就是8個6。

方法二：（3+5）×6=48，表示白色瓷磚有3行，藍色瓷磚有5行，一共有8行瓷磚。

方法三：8×6=48，瓷磚一共有8行，每行有6塊，所以就有8個6。

看來這三種方法都表明瓷磚的總數(shù)可以用8個6表示。引發(fā)學(xué)生思考：能不能寫出這樣的等式：（3+5）×6=3×6+5×6=8×6=48？在學(xué)生有所感悟的基礎(chǔ)上再出示側(cè)面的墻壁。

側(cè)面墻壁的瓷磚數(shù)量和正面墻壁的瓷磚數(shù)量的計算方法一樣。

方法一：3×4+5×4=32，白色瓷磚每行有4塊，共3行，所以3×4表示3個4;藍色瓷磚每行有4塊，共5行，所以5×4表示5個4;3個4加上5個4就是8個4。

方法二：（3+5）×4=32，白色瓷磚有3行，藍色瓷磚有5行，一共有8行瓷磚。

方法三：8×4=32，瓷磚一共有8行，每行有4塊，所以就有8個4。

引導(dǎo)學(xué)生思考：是不是也可以寫出等式（3+5）×6=3×6+5×6=48呢？單靠這兩組算式還不足以得出乘法分配律的公式，還需要大量生活事例的支撐才能抽象出乘法分配律的公式。但是通過這些式子，學(xué)生可以感受到，當(dāng)出現(xiàn)相同乘數(shù)時都可以利用乘法的意義，最后歸結(jié)于求出幾個幾的運算。然后在學(xué)生有所感的前提下再要求他們應(yīng)用“學(xué)校要給28個人的合唱隊買服裝，請算算買服裝要花多少錢？”，繼續(xù)思考能否寫出一組等式。

在大量素材的積累下，學(xué)生深刻理解了乘法分配律。可見，利用數(shù)形結(jié)合可以幫助學(xué)生化抽象為直觀，進而建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，為學(xué)生的再創(chuàng)造和應(yīng)用做好準(zhǔn)備。

數(shù)形結(jié)合有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。正所謂“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休”，“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的重要方式。

（責(zé)編 黃春香）