江西

(作者單位：江西省九江市濂溪區(qū)第一中學江西省九江市第一中學)

建構與應用模型是物理學最重要的研究方法之一

電磁感應現(xiàn)象中的雙棒問題是一類十分典型的問題，其綜合性強、能力要求高、難度大。該類問題涉及力學中的受力情況及其作用效果(安培力、合外力、安培力的沖量、安培力做功等)與運動情況(運動性質(zhì)、速度-時間圖象、相對位移或雙棒間距變化等)的分析；涉及電磁學中電路(電路結構、電動勢、電流、電荷量、焦耳熱等)與磁路(磁通量、磁通量變化量、磁通量變化率等)的分析。以下分析4類典型模型及其應用。

一、電磁感應現(xiàn)象中雙棒模型建構

1.等長雙棒運動模型

如圖1所示，足夠長的水平光滑金屬導軌，分布著方向垂直導軌平面向上的勻強磁場，磁感應強度大小為B。已知棒1、2質(zhì)量均為m，長度均為l，電阻均為r，其余部分電阻不計；棒1以速度v0向右運動，棒2無初速度；除磁場作用外，雙棒沿導軌方向無其他外力作用。

圖1

(1)運動分析

由于棒1切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢，在閉合回路中產(chǎn)生感應電流。由右手定則可確定感應電流的方向，由左手定則可確定雙棒所受安培力的方向。分析可知，棒1做減速運動，棒2做加速運動。全過程雙棒運動的速度-時間圖象如圖2所示。

圖2

(2)電流分析

(3)動量分析

說明：①若對棒2建立動量定理方程，所得結果相同。

(4)能量分析

整個回路中，電流發(fā)熱。全過程雙棒系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱可由能量守恒定律得到，即

2.等長雙棒受力模型

如圖3所示，棒1無初速度、受水平恒定外力F作用；棒2無初速度，除磁場作用外，沿導軌方向無其他外力作用。其余條件與等長雙棒運動模型所給條件相同。

圖3

該模型分析所使用的思維方法與上述模型相同。以下僅對運動情況及電流兩方面進行分析。

由受力分析及牛頓運動定律可以確定，在開始運動的一段時間內(nèi)，棒1做加速度不斷減小的變加速運動，棒2做加速度不斷增大的變加速運動。

圖4

圖5

3.非等長雙棒運動模型

如圖5所示，足夠長的水平光滑金屬導軌，分布著方向垂直導軌平面向上的勻強磁場，已知磁感應強度大小為B。若棒1、2質(zhì)量分別為m1、m2，長度分別為l1、l2，電阻分別為r1、r2，其余部分電阻不計；棒1以速度v0向右運動，棒2無初速度；除磁場作用外，雙棒沿導軌方向無其他外力作用。

全過程雙棒運動的速度-時間圖象如圖6所示。

圖6

圖7

4.非等長雙棒受力模型

如圖7所示，棒1初速度為零、受水平恒定外力F作用；棒2無初速度，除磁場作用外，沿導軌方向無其他外力作用；其余條件與非等長雙棒運動模型所給條件相同。

全過程雙棒運動的速度-時間圖象如圖8所示。

圖8

二、電磁感應現(xiàn)象中雙棒模型應用

1.等長雙棒運動模型應用

【例1】如圖9所示，水平放置的兩根平行光滑金屬導軌固定在平臺上，導軌間距為1.0 m，處在磁感應強度為2.0 T、方向豎直向下的勻強磁場中，平臺離地面的高度為h=3.2 m。初始時刻，質(zhì)量為2.0 kg的桿ab與導軌垂直且處于靜止，距離導軌邊緣為d=2.0 m，質(zhì)量同為2.0 kg的桿cd與導軌垂直，以初速度v0=15 m/s進入磁場區(qū)域，最終發(fā)現(xiàn)兩桿先后落在地面上，已知兩桿的電阻均為r=1.0 Ω，導軌電阻不計，兩桿落地點之間的距離s=4.0 m(整個過程中兩桿始終不相碰)。

圖9

(1)求ab桿從磁場邊緣射出時的速度大小；

(2)當ab桿射出時，求cd桿運動的距離；

(3)在兩根桿相互作用的過程中，求回路中產(chǎn)生的電能。

【分析】設ab、cd桿從磁場邊緣射出時的速度分別為v1、v2。設ab桿落地點的水平位移為x，cd桿落地點的水平位移為x+s，則有

由動量守恒定律有

mv0=mv1+mv2

解得v2=10 m/s，v1=5.0 m/s

(2)ab桿運動的距離為d，對ab桿由動量定理有

(3)由能量守恒，電路中產(chǎn)生的焦耳熱等于系統(tǒng)損失的機械能

【點評】本題以雙桿在導軌上的變速運動及平拋運動為背景，考查等長雙棒運動模型的應用。理解電流回路中，兩個電動勢反向連接，學會從多種角度分析雙桿問題。試題側重理解能力及推理能力的考查。

2.等長雙棒受力模型應用

【例2】如圖10所示，兩根足夠長的平行金屬導軌固定在傾角θ=30°的斜面上，導軌電阻不計，間距為L，空間分布著勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向與導軌平面垂直且向上，將兩根金屬棒a、b垂直放置在導軌上，并將a用輕繩通過定滑輪和小物塊c連接。已知兩棒的長度均為L，電阻均為R，質(zhì)量均為m，小物塊c的質(zhì)量也為m，不考慮其他電阻，不計一切摩擦，重力加速度大小為g。

圖10

(1)將b鎖定，釋放a，求a的最終速度v；

(2)讓a沿斜面向上、c豎直向下以2v的速度運動，同時釋放b，求三個物體最終運動的速度；

(3)在(2)問中，若a、b、c從開始運動經(jīng)時間t到達最終狀態(tài)，求該過程中a、b產(chǎn)生的總焦耳熱。

【分析】(1)a最終勻速上升，設其所受安培力為F，分析a受力FT=mgsinθ+F，分析c受力FT=mg。

由法拉第電磁感應定律有E=BLv

安培力大小F=BIL

(2)a、b、c最后做勻速運動，設a的速度為v1，b的速度為v2，此時a、b所受安培力大小均為F′。

分析b受力F′=mgsinθ；分析a受力F′+mgsinθ=FT；分析c受力FT=mg。

解得v1-v2=v

a、b、c組成的系統(tǒng)，沿運動方向上合外力為零，系統(tǒng)動量守恒，即4mv=2mv1+mv2

(3)已知a、b、c從開始運動到最終狀態(tài)所用時間t，雙棒速度取平均值，對b由動量定理，有

由能量守恒定律，有

【點評】本題以雙棒在傾斜導軌上的運動為背景，考查等長雙棒受力模型的應用。理解電流回路中，兩個電動勢反向連接，學會選擇不同的研究對象分析問題。試題側重理解能力及分析綜合能力的考查。

3.非等長雙棒運動模型應用

【例3】如圖11所示，兩條電阻可以忽略不計且寬度不等的金屬長直導軌固定在一個水平面上，互相平行。圖中左側導軌寬度為2l，右側導軌寬度為l。已知兩根長度分別為2l、l，質(zhì)量分別為2m、m，電阻分別為2r、r的導體棒a、b可以在導軌上無摩擦地左右滑動。在討論的空間范圍內(nèi)存在著豎直向上的勻強磁場，磁感應強度大小為B。t=0時刻，右側的導體棒具有向右的初速度2v0，左側的導體棒具有向左的初速度v0。左側、右側導體棒均在各自導軌上運動。求：

圖11

(1)流過兩根導體棒的電流以及各自所受的安培力；

(2)從t=0開始至兩根導體棒中有一根先停止運動，該過程中流過導體棒橫截面的電荷量及回路中磁通量的變化量；

(3)經(jīng)足夠長時間，達到穩(wěn)定狀態(tài)時雙棒各自的速度大小及全過程中導體棒a產(chǎn)生的焦耳熱；

(4)在同一坐標系中，定性畫出自t=0始到穩(wěn)定狀態(tài)過程中雙棒運動的速度-時間圖象(不要求分析)。

【分析】(1)t=0時，雙棒各自產(chǎn)生電動勢，兩電動勢同向。由閉合電路歐姆定律有

(3)達到穩(wěn)定狀態(tài)時，棒a、b的速度分別為va、vb，對棒a、b分別由動量定理，有

達到穩(wěn)定狀態(tài)時，回路電流為零。由閉合電路歐姆定律有B(2l)va=Blvb。聯(lián)立解得

雙棒產(chǎn)生的焦耳熱等于系統(tǒng)動能的減少，即

(4)速度-時間圖象如圖12所示。圖中t1對應棒a速度減為零的時刻，t2對應達到穩(wěn)定狀態(tài)時刻。t1時刻棒b的速度為v0可由棒a、b的動量定理方程求出。

圖12

【點評】本題涉及多個物理量的分析與計算，力求從不同的視角考查非等長雙棒運動模型的應用。題中在進行電流分析時，雙棒產(chǎn)生的電動勢開始同向加強，最后反向削弱。關于磁通量的分析，也可以從磁通量的定義出發(fā)，仿照上文所述方法求得。試題重點考查分析綜合能力及應用數(shù)學處理物理問題的能力。

4.非等長雙棒受力模型應用

圖13

(1)電路達到穩(wěn)定狀態(tài)時，回路中的電流；

(2)電路達到穩(wěn)定狀態(tài)時，回路中總電阻的發(fā)熱功率。

達到穩(wěn)定狀態(tài)時，回路中的電流恒定，變化率為零，有

解得2a1=3a2。

對ef棒、gh棒，分別由牛頓運動定律，有

F-2ILB=2ma1；3ILB-f=ma2

(2)達到穩(wěn)定狀態(tài)時，回路中總電阻的發(fā)熱功率為

P=I2(R+2R)。