◇陳思怡

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，結(jié)合小學(xué)生的認(rèn)知水平，將培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的任務(wù)落實(shí)在日常課堂教學(xué)中，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。本文以“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)為例，探討如何根據(jù)課程內(nèi)容的特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、探索發(fā)現(xiàn)圖形特征，培養(yǎng)抽象概括能力

“平行四邊形的認(rèn)識(shí)” 屬于幾何概念教學(xué)的內(nèi)容，要求學(xué)生經(jīng)歷“從平行四邊形的特例中發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)屬性并將其分離出來(lái)—將其分離出來(lái)的屬性推廣到一類對(duì)象中，實(shí)現(xiàn)本質(zhì)屬性的普適化—用數(shù)學(xué)語(yǔ)言或符號(hào)進(jìn)行表征”等過(guò)程，從而把握平行四邊形的特征，形成平行四邊形的概念，促進(jìn)學(xué)生抽象概括能力的發(fā)展。

1.通過(guò)觀察、猜想，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的特征。

培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，首先應(yīng)為學(xué)生提供可觀察或操作的直觀題材，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)直觀事物的觀察和思考，借助聯(lián)想、猜想等思維活動(dòng)，直觀感悟事物的本質(zhì)屬性，為抽象、驗(yàn)證提供思考的方向和抽象的內(nèi)容。在“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，教師出示課題后，讓學(xué)生觀察一個(gè)平行四邊形，并猜一猜平行四邊形有什么特征。通過(guò)觀察，有的學(xué)生認(rèn)為它的對(duì)邊相等，有的學(xué)生認(rèn)為它的對(duì)邊平行，還有學(xué)生認(rèn)為它的對(duì)角相等。通過(guò)這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生不僅體驗(yàn)了猜想的過(guò)程，而且直觀地發(fā)現(xiàn)了平行四邊形的特征。

2.動(dòng)手操作驗(yàn)證平行四邊形的特征。

受小學(xué)生認(rèn)知水平的限制，小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何結(jié)論往往通過(guò)舉例或?qū)嵺`操作等方式加以驗(yàn)證，這體現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)幾何的特點(diǎn)。學(xué)生通過(guò)觀察、猜想，發(fā)現(xiàn)了平行四邊形的一些特征，然后教師引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位，通過(guò)動(dòng)手操作的方式加以驗(yàn)證。例如，若學(xué)生猜想到平行四邊形具有對(duì)邊平行、對(duì)邊相等、對(duì)角相等等特征，這時(shí)，可以用“平行四邊形真的具有這些特征嗎？ 你們的猜想正確嗎”等作為問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，并隨之出示3 個(gè)平行四邊形（編為1 號(hào)、2 號(hào)、3 號(hào)），學(xué)生分小組自主選擇1 個(gè)進(jìn)行驗(yàn)證。就驗(yàn)證的內(nèi)容而言，有的組選擇驗(yàn)證平行四邊形的對(duì)邊是否平行，有的組選擇驗(yàn)證平行四邊形的對(duì)邊（對(duì)角）是否相等。就驗(yàn)證的方法來(lái)看，有的利用“延長(zhǎng)平行四邊形的對(duì)邊，看是否相交”的方法驗(yàn)證對(duì)邊是否平行，有的利用“先在對(duì)邊之間畫一組垂線段，再測(cè)量這組垂線段是否相等”的方法驗(yàn)證對(duì)邊是否平行，有的（較多數(shù)）利用測(cè)量法驗(yàn)證對(duì)邊（對(duì)角）是否相等。由此看出，這樣的操作活動(dòng)不僅是學(xué)生驗(yàn)證猜想是否正確的過(guò)程，更是學(xué)生感悟、認(rèn)識(shí)平行四邊形本質(zhì)屬性的過(guò)程。

3.通過(guò)展示、交流，感受圖形特征的普適性。

上述動(dòng)手操作驗(yàn)證，無(wú)論是內(nèi)容還是方法，都帶有一定的特殊性和局限性，也就是說(shuō)，學(xué)生只認(rèn)識(shí)到他們研究的某個(gè)平行四邊形具有某些特征，怎樣讓學(xué)生感受所有的平行四邊形都具有這樣的特征（本質(zhì)屬性）呢？這就需要將發(fā)現(xiàn)的特征推廣到同類圖形中去，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些特征具有普適性。為此，在學(xué)生動(dòng)手操作驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，還應(yīng)組織學(xué)生對(duì)動(dòng)手操作驗(yàn)證的內(nèi)容和方法進(jìn)行分類，并進(jìn)行有序的展示與交流。一方面，可以按1 號(hào)、2 號(hào)、3 號(hào)圖形的順序，讓學(xué)生分別展示驗(yàn)證方法和驗(yàn)證結(jié)果。另一方面，當(dāng)學(xué)生展示、交流后，不但要讓其他學(xué)生對(duì)驗(yàn)證情況進(jìn)行質(zhì)疑與評(píng)價(jià)，還應(yīng)讓其他學(xué)生交流他們對(duì)該圖形的驗(yàn)證結(jié)果，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：對(duì)同一個(gè)平行四邊形，無(wú)論采用哪種驗(yàn)證方法，驗(yàn)證的結(jié)果都是一樣的；不論是哪個(gè)平行四邊形（1 號(hào)、2 號(hào)、3 號(hào)或者其他的），都具有對(duì)邊平行、對(duì)邊（對(duì)角）相等等特征，從而讓學(xué)生在思想上將這些特征推廣到所有的平行四邊形中去，感受平行四邊形特征的普適性。

4.歸納概括提煉平行四邊形的特征。

一般而言，對(duì)于數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果，應(yīng)當(dāng)用精確化、簡(jiǎn)約化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，形成數(shù)學(xué)概念或命題，雖然這對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)具有一定的難度，但這是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象概括能力十分重要的措施。為此，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)探索平行四邊形特征的過(guò)程、體驗(yàn)、感悟等進(jìn)行反思與梳理，幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征平行四邊形的特征，形成抽象化、概括化、符號(hào)化的平行四邊形概念，實(shí)現(xiàn)對(duì)平行四邊形的理性認(rèn)識(shí)。例如，當(dāng)學(xué)生展示完他們的驗(yàn)證結(jié)果后，教師隨即提出：“通過(guò)剛才的猜想、驗(yàn)證，你們發(fā)現(xiàn)不同的平行四邊形有哪些共同的特征？什么樣的圖形叫平行四邊形？”學(xué)生通過(guò)反思、梳理、歸納，最后得出平行四邊形具有“對(duì)邊分別平行、對(duì)邊分別相等、對(duì)角分別相等”的特征，認(rèn)為“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形”。當(dāng)然，學(xué)生用語(yǔ)言進(jìn)行歸納概括的過(guò)程不可能是十分順暢、完整的，也不一定是十分精確和簡(jiǎn)約的，但我們相信，經(jīng)常讓學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)這樣的歸納概括活動(dòng)，定將促進(jìn)學(xué)生抽象概括能力的逐步發(fā)展。

二、兩種推理結(jié)合，發(fā)展推理能力

在“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合對(duì)平行四邊形特征的探索活動(dòng)，讓學(xué)生通過(guò)猜想與驗(yàn)證、歸納與概括、應(yīng)用與判斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)，提升推理能力。

1.在獲得概念的過(guò)程中培養(yǎng)歸納推理能力。

歸納推理是以個(gè)別事實(shí)為前提得出一般性結(jié)論的推理形式。比如，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有時(shí)根據(jù)個(gè)別對(duì)象具有的特征推出一類事物都具有這一特征，或通過(guò)對(duì)對(duì)象的直覺(jué)判斷發(fā)現(xiàn)一類事物的共同特征等推理形式，都屬于歸納推理?！按竽懖孪?、縝密驗(yàn)證、歸納總結(jié)、推廣應(yīng)用”是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中比較典型的思維方式，也是培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力常用的教學(xué)路徑。在“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課中，學(xué)生先觀察一個(gè)平行四邊形，再憑直覺(jué)猜想它的特征，隨后對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，最后發(fā)現(xiàn)每個(gè)平行四邊形都具有“對(duì)邊分別平行、對(duì)邊（對(duì)角）分別相等”的特征，于是歸納概括平行四邊形的本質(zhì)特征，獲得平行四邊形的概念。

2.在應(yīng)用概念過(guò)程中提升演繹推理能力。

演繹推理是從已知的、較為一般性的前提出發(fā)，推導(dǎo)出一個(gè)特殊性結(jié)論的推理形式。演繹推理不僅是驗(yàn)證猜想是否正確的方法，也是將某些隱藏在一般結(jié)論中的具體命題（結(jié)論）找出來(lái)，將未知轉(zhuǎn)化成已知的重要思維方法。在“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課中，在得到平行四邊形的特征、構(gòu)建起平行四邊形的概念后，可讓學(xué)生在應(yīng)用中進(jìn)一步鞏固知識(shí)。例如，判斷圖1 中哪些圖形是平行四邊形，并說(shuō)明理由。在判斷時(shí)，學(xué)生的思維過(guò)程就是一個(gè)演繹推理的過(guò)程：因?yàn)閮山M對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，而①②⑤這三個(gè)圖形的兩組對(duì)邊是分別平行的，所以它們是平行四邊形。

圖1

3.在表達(dá)和交流中增強(qiáng)邏輯表達(dá)能力。

建立數(shù)學(xué)概念，得出數(shù)學(xué)命題，做出數(shù)學(xué)判斷，探索或表述數(shù)學(xué)論證過(guò)程等，都需要有邏輯的表達(dá)與交流。例如，驗(yàn)證平行四邊形的對(duì)邊是否平行的學(xué)生，在全班展示時(shí)進(jìn)行了這樣的表達(dá)與交流：“我們驗(yàn)證的是1 號(hào)圖形，用的是畫垂線的方法，在上、下這兩條線間畫2 條垂直線段，量出長(zhǎng)度都是2 厘米，所以上、下兩條線段互相平行；在左、右對(duì)邊之間畫2 條垂直線段，量出它們的長(zhǎng)度都是3 厘米，所以左、右這組對(duì)邊也是互相平行的。”

三、圍繞圖形展開(kāi)想象，發(fā)展直觀想象能力

在“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，應(yīng)組織學(xué)生圍繞圖形展開(kāi)想象，發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力。

1.借助觀察、猜想，發(fā)現(xiàn)圖形特征。

猜想是一種直覺(jué)或直觀判斷，需要借助已有表象或直觀想象來(lái)完成，它是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)或發(fā)明的重要思維方式，也是把握事物本質(zhì)屬性的開(kāi)始。在“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，教師在黑板上展示一個(gè)平行四邊形，并讓學(xué)生思考：“為什么給它取名為平行四邊形？”學(xué)生通過(guò)觀察圖形，借助直觀，運(yùn)用聯(lián)想、猜想等手段進(jìn)行合情推理。有的學(xué)生可能會(huì)在大腦里想象出四邊形的樣子，從而認(rèn)為平行四邊形是由四條邊組成的四邊形；也有學(xué)生可能在大腦里想象出平行線，從而猜想出平行四邊形具有“對(duì)邊分別平行”的特征；等等。這樣的活動(dòng)不但增強(qiáng)了學(xué)生探究新知的好奇心，獲得了數(shù)學(xué)猜想的體驗(yàn)，而且在猜想中強(qiáng)化了四邊形、平行線的表象，初步感悟到平行四邊形的特征。

2.想象圖形形狀，強(qiáng)化圖形特征。

借助表象想象圖形的形狀特征，想象圖形的位置關(guān)系，想象圖形的運(yùn)動(dòng)等，都是發(fā)展空間觀念、培養(yǎng)直觀想象能力的具體方法。例如，小結(jié)完平行四邊形的特征后，讓學(xué)生閉上眼睛想象一個(gè)平行四邊形，再想象把兩組對(duì)邊分別無(wú)限延伸仍然不相交的情形，從而進(jìn)一步鞏固平行四邊形“兩組對(duì)邊分別平行”的特征。隨后出示一個(gè)平行四邊形，讓學(xué)生隨著如圖2 所示的動(dòng)態(tài)出示過(guò)程想象：“如果去掉一條邊，你還能想象出原來(lái)這個(gè)平行四邊形的樣子嗎？”“再去掉一條邊呢？”“再去掉一條邊呢？”讓學(xué)生根據(jù)平行四邊形的部分要素想象平行四邊形原來(lái)的形狀，在動(dòng)態(tài)想象中強(qiáng)化平行四邊形的特征和各條邊的位置關(guān)系。 特別是只剩一條邊時(shí)，讓學(xué)生根據(jù)它自由想象出一個(gè)平行四邊形，這時(shí)學(xué)生頭腦中可以想象出不同方位、不同形狀的平行四邊形，進(jìn)一步發(fā)展直觀想象能力。

圖2

3.想象圖形運(yùn)動(dòng)，豐富直觀想象。

當(dāng)面對(duì)一個(gè)圖形時(shí)，如果能借助想象將圖形進(jìn)行分解、組合或使其運(yùn)動(dòng)，讓圖形在學(xué)生頭腦中動(dòng)起來(lái)，將有助于學(xué)生直觀想象能力的發(fā)展。例如，在“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，可以設(shè)計(jì)如下問(wèn)題：如圖3，你能移動(dòng)一個(gè)三角形將下面的長(zhǎng)方形改拼成一個(gè)平行四邊形嗎？ 可以看出，學(xué)生要想解決該問(wèn)題，需要通過(guò)觀察、想象，在頭腦中將圖形進(jìn)行分解、組合并使其做平移運(yùn)動(dòng)。學(xué)生經(jīng)歷這樣的過(guò)程，對(duì)平行四邊形的認(rèn)識(shí)將更加深入，進(jìn)一步促進(jìn)直觀想象能力的發(fā)展。

圖3

除此之外，還應(yīng)在經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程中習(xí)得正確的數(shù)學(xué)思維方式，形成良好的數(shù)學(xué)思維品格及健全的人格。為此，在“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，應(yīng)注意讓學(xué)生感悟“從特例入手直觀獲得數(shù)學(xué)猜想—通過(guò)實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐、演繹等方法驗(yàn)證猜想—通過(guò)歸納概括得到一般結(jié)論” 的思維方式，獲得直接經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)直覺(jué)。同時(shí)，在數(shù)學(xué)化的過(guò)程中，還應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)濃厚的學(xué)習(xí)興趣、堅(jiān)韌的學(xué)習(xí)意志、良好的數(shù)學(xué)想象習(xí)慣等品格，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)漸進(jìn)發(fā)展。