◇蔡寶桂

一 “作為整數(shù)相除的結(jié)果”的分?jǐn)?shù)意義

有關(guān)分?jǐn)?shù)意義的研究，不論中外學(xué)者如何區(qū)分建構(gòu)意義的種類，都少不了“商”的意義，即對(duì)應(yīng)于小學(xué)數(shù)學(xué)教材中分?jǐn)?shù)意義之分類“作為整數(shù)相除的結(jié)果”。

首先，平均分情境是“總量÷單位數(shù)＝單位量”，如“3 個(gè)比薩平均分給4 個(gè)人，每人得到個(gè)比薩”，從問題記錄而言，除法算式表征為“3÷4=3 4 ”；反之以乘法算式表征則為“（）×4=3”，也就是“平均每個(gè)人分得個(gè)比薩，4 個(gè)人一共可分得3 個(gè)比薩”。因此其分?jǐn)?shù)意義體現(xiàn)在“單位分量”上，對(duì)數(shù)概念的認(rèn)知?jiǎng)t發(fā)展為部分－整體關(guān)系，如圖1。

圖1：平均分情境下3÷4 的圖形表征

其次，測(cè)量情境即為包含除，也就是“總量÷單位量＝單位數(shù)”，如長(zhǎng)7 厘米的緞帶，每4 厘米剪一段，可以剪一段剩下3 厘米，以段為單位這3 厘米又可以稱為段，所以算式可以寫成7÷4=1，意義溝通為7 是4 的1倍，也可以換成假分?jǐn)?shù)，而理解此學(xué)習(xí)活動(dòng)須具備 “分?jǐn)?shù)倍”的概念，認(rèn)知發(fā)展涉及“比例思維”，如圖2。

圖2：測(cè)量情境下7÷4 的圖形表征

二 學(xué)生學(xué)習(xí)所需具備的知識(shí)基礎(chǔ)

因此，四年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)整數(shù)相除的結(jié)果為分?jǐn)?shù)的意義前，須具備將分物視為“單位分量”的分?jǐn)?shù)意義，也就是要從原本的“分幾份取幾份”的“部分-整體”的分?jǐn)?shù)意義，對(duì)照整體量“1”這一單位，將每個(gè)單位分?jǐn)?shù)都視為一個(gè)獨(dú)立可計(jì)數(shù)的量，建立單位分量的分?jǐn)?shù)概念，如圖3。

圖3：從“部分-整體”擴(kuò)展到“單位分量”

因此，教師教學(xué)時(shí)建議給定明確的大小單位，如大單位“1 張”、小單位“1 片”，讓學(xué)生在對(duì)應(yīng)原有“部分-整體”的圖示表征（如圖4）中，最終發(fā)現(xiàn)小單位擺放的位置并不影響小單位的大小，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到即使脫離1 張，仍然是可被獨(dú)立計(jì)數(shù)的單位分量。此時(shí)，學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)才由“分幾份取幾份”的描述詞，進(jìn)展到對(duì)計(jì)數(shù)單位的認(rèn)識(shí)，也才能以此作為分?jǐn)?shù)數(shù)詞序列計(jì)數(shù)的基礎(chǔ)。

圖4：形成單位分量之“片”于“張”的操作流程圖

三 數(shù)學(xué)臆測(cè)教學(xué)案例摘要

以下分別從林碧珍(2018)的數(shù)學(xué)臆測(cè)教學(xué)模式中所提出的五階段分別進(jìn)行說明。（“分?jǐn)?shù)作為兩數(shù)相除的結(jié)果”的內(nèi)容安排在四年級(jí)）

（一）造例。

1.造例設(shè)計(jì)。

（1）利用學(xué)生不等分組的組內(nèi)人數(shù)(b)與限時(shí)分割彩紙張數(shù)(a)，達(dá)到全班造出多種分母(b)和分子(a)的分?jǐn)?shù)。

2.造例活動(dòng)。

為達(dá)到上述造例設(shè)計(jì)要求，班級(jí)學(xué)生的座位應(yīng)以不等組的方式安排，再加上考慮限定時(shí)間內(nèi)，讓每組得以操作體驗(yàn)“一回拿一張，一張分給幾個(gè)人”的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，所以每組須安排小幫手，負(fù)責(zé)提供彩紙，且同組的每張彩紙顏色都不同。組內(nèi)任務(wù)進(jìn)行步驟說明如下：（如圖5）

步驟一：小幫手將一張圓形彩紙交給組內(nèi)其中一人。

步驟二：先對(duì)折再剪開，并將每小片分給組內(nèi)除小幫手外的每一個(gè)人。

步驟三：拿到紙片的同學(xué)，需在每小片彩紙上寫出幾分之幾張。

步驟四：一張圓形彩紙平分完后，小幫手再發(fā)一張新的圓形彩紙給組內(nèi)另一個(gè)人。

圖5：造例活動(dòng)座位安排與角色分工示意圖

游戲結(jié)束后，可請(qǐng)學(xué)生數(shù)自己分得的彩紙，并讓其他組的學(xué)生從分得彩紙的結(jié)果，猜猜看：這組有幾個(gè)人在分彩紙？這組剛剛分下去幾張彩紙？作為引發(fā)學(xué)生進(jìn)行后續(xù)一連串深入探究的動(dòng)機(jī)。

3.造例匯總。

（1）請(qǐng)學(xué)生用算式記錄每一組分得彩紙的過程與結(jié)果，學(xué)生可能以乘法算式表示分得的結(jié)果，除法算式表示分的歷程或摘要記錄，如圖6。

圖6：算式記錄分得彩紙的過程或結(jié)果

（2）討論完每一組的算式記錄是過程還是結(jié)果后，教師再請(qǐng)學(xué)生“用一個(gè)算式把分彩紙的過程和結(jié)果記錄下來”，將學(xué)生對(duì)于造例活動(dòng)的算式表征，推進(jìn)到以一個(gè)除法算式摘要記錄的程度。

（3）由教師匯總?cè)嘣炖诤诎迳?，讓學(xué)生依此提出后續(xù)的數(shù)學(xué)猜想。

（二）提出猜想。

教師進(jìn)行個(gè)別觀察，并全班匯總后，發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)想法可分為以下幾類，舉例如下。

1.現(xiàn)象描述。（如圖7）

圖7

2.結(jié)果都是分?jǐn)?shù)。（如圖8）

圖8

3.算式中的數(shù)字關(guān)系。（如圖9）

圖9

4.被除數(shù)與分子相同。（如圖10）

圖10

5.除數(shù)與分母相同。（如圖11）

圖11

6.被除數(shù)與分子、除數(shù)與分母。（如圖12）

圖12

7.數(shù)字大小的比較。（如圖13）

圖13

8.單位分量描述。（如圖14）

圖14

9.關(guān)系的推論。（如圖15）

圖15

（三）效化猜想。

1.猜想語言描述的精確性。

（1）學(xué)生只描述上、下，經(jīng)討論后認(rèn)為應(yīng)該用分母和分子的語言來描述才能更精確地表示。（如圖16）

圖16

（2）答案還是“分?jǐn)?shù)”？

“答案是偶數(shù)”，有違學(xué)生在整數(shù)前提下進(jìn)行奇偶分類。因此，須修正為“答案中的分母都是偶數(shù)”。 （如圖17）

圖17

“答案有兩個(gè)數(shù)”，是指有兩個(gè)答案？可能是因?yàn)榇鸢赣梅謹(jǐn)?shù)表示，所以分?jǐn)?shù)線上下各有一個(gè)數(shù)，所以有“兩個(gè)數(shù)”。（如圖18）

圖18

2.修改或刪除錯(cuò)誤猜想。

（1）“有幾個(gè)吐司”應(yīng)該修正為“有幾個(gè)人來分吐司”，才能使猜想由錯(cuò)誤變正確。（如圖19）

圖19

（2）“除法的余數(shù)加回去”，雖然知道學(xué)生想表達(dá)的是不寫整數(shù)商和余數(shù)，而是直接寫用分?jǐn)?shù)商表示，但討論的當(dāng)下，學(xué)生覺得“加回去”這個(gè)詞有錯(cuò)，但又不知如何修正，所以這個(gè)猜想就被刪除了。（如圖20）

圖20

3.避免使用否定詞或限制性詞語，如在數(shù)大小比較中有關(guān) “有一些算式的結(jié)果，分母比較大、分子比較小”，雖然可找到分母大于分子的例子，但因?yàn)檫@句話用了“有一些”后，無法因錯(cuò)誤而被推翻。所以，一開始就要反復(fù)提醒學(xué)生，這類詞不要出現(xiàn)在猜想中。

4.提出反例從而刪除猜想。

（1）如果討論的時(shí)間夠長(zhǎng)，可不可能分超過10 張以上？一組人數(shù)多一點(diǎn)，超過10 人以上，如20÷23=就可以推翻類似以下這樣的猜想：數(shù)大小比較的猜想“每個(gè)數(shù)都不比10 大”、現(xiàn)象描述的“算式中沒有0”、“答案中的分母都是偶數(shù)”的猜想。

（2）每個(gè)“算式都沒有0”是數(shù)字中有無0 之外，還包含0 可否當(dāng)被除數(shù)或除數(shù)，因此也可以以0÷3 舉反例，但對(duì)于學(xué)生而言，沒有東西卻要分給人，也是比較難以接受的，雖然它符合數(shù)學(xué)定義。

5.匯總猜想：在討論進(jìn)行猜想的分類、檢驗(yàn)與效化后，猜想大約被匯總為三大類：其中單位分量描述與關(guān)系的推論仍各為獨(dú)立的一類，前面7 項(xiàng)都被歸為一大類，并成為猜想一般化的討論題材。

（四）猜想一般化。

經(jīng)過學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行檢驗(yàn)、支持或應(yīng)用擴(kuò)充例子反駁的歷程后，最后提出一般化的猜想：所有整數(shù)除以整數(shù)(不包含0)，當(dāng)答案用真分?jǐn)?shù)或假分?jǐn)?shù)表示時(shí)，被除數(shù)會(huì)變成分子，除數(shù)會(huì)變成分母。

（五）證明猜想一般化。

有關(guān)單位分量與關(guān)系推論的猜想，是學(xué)生成功證明此一般化猜想的重要題材，再加上一開始造例活動(dòng)所提供的操作體驗(yàn)，學(xué)生提出以下論證的觀點(diǎn)來說服他人，這個(gè)一般化猜想一定是對(duì)的，也提升了對(duì)被除數(shù)、除數(shù)和商的分子與分母之間意義的理解。進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，雖然之前認(rèn)為被除數(shù)和分子、除數(shù)和分母都是相同的數(shù)，但這個(gè)一般化猜想中的“變”字，就點(diǎn)出了兩者之間意義的新解。

如被除數(shù)的“分幾張”，到了商的分子卻代表“分得幾個(gè)單位分量”，而除數(shù)的“分給幾人”，到了商的分母卻代表“被計(jì)數(shù)的單位分量”。（如圖21）

圖21

荷蘭學(xué)者斯特瑞夫蘭德(Streefland,1991)認(rèn)為，極度低估學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)的復(fù)雜性與機(jī)械化取向的分?jǐn)?shù)教育是分?jǐn)?shù)教學(xué)與學(xué)習(xí)問題的兩個(gè)源頭。杰羅姆·布魯納(Jerome Seymour Bruner,1966)也曾說過：“任何學(xué)科均能以某種智慧上真實(shí)的形式，有效地教給任何發(fā)展階段中的任何一個(gè)兒童?！敝灰獙?duì)應(yīng)學(xué)生數(shù)學(xué)概念發(fā)展，用對(duì)分?jǐn)?shù)意義的詮釋，加上學(xué)習(xí)者體驗(yàn)、表征，進(jìn)而邁入數(shù)學(xué)論證的學(xué)習(xí)模式，分?jǐn)?shù)將不再是阻礙孩子數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的夢(mèng)魘。