◇設(shè)計/周 志 評析/胡重光

一 運算方法的選擇

“20 以內(nèi)的退位減法” 是一年級下冊教材（人教版）的教學內(nèi)容，教材中介紹了兩種運算方法。以15-9 為例。一是把被減數(shù)分成10 和5，用10 減去9 得1，再將1 加5 就得6 （通常叫作“破十法”）。二是利用減法是加法的逆運算：因為9+6=15，所以15-9=6(通常叫作“想加算減”)。這兩種方法各有什么優(yōu)點或不足，教材中沒有給出評價，只是在練習中說明 “用你喜歡的方法計算”。其意圖顯然是：不必分出優(yōu)劣。

這兩種方法差別很大，令人覺得有必要對其進行對比和分析。

第一種方法的思路是設(shè)法簡化運算，將復雜的新運算轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學過的簡單運算。第二種方法則沒有做減法，而是做了一道加法題，再根據(jù)減法是加法的逆運算，直接得出減法的結(jié)果。第一種方法是化繁為簡，分步計算,沒有新的思維方式。第二種方法則包含兩種新的思維方式：

第一，這種方法把加法和減法這兩種不同的運算聯(lián)系了起來。 用聯(lián)系的觀點看問題對于兒童的學習極為重要。 曾任美國聯(lián)邦教育署長的當代著名教育家歐內(nèi)斯特·L·博耶曾引用馬克·范·多琳（Mar

k Van Doren）的話：“找出各種事物之間的聯(lián)系是教育家們竭盡全力思考的問題……當學生能夠用相互聯(lián)系的觀點看待各種事物的時候，他們的學習生涯就開始了。我建議把發(fā)現(xiàn)事物之間的聯(lián)系當作基礎(chǔ)學校（即小學——引者注）課程的首要目標?！盵1]

第二，這種方法利用了逆運算。這一點也很重要。 美國數(shù)學教育家J·W·海敦斯教授指出：“逆運算概念是基本數(shù)學結(jié)構(gòu)的一個重要概念，它對理解初等數(shù)學是必須的?！盵2]

隨之而來的問題是，一年級的學生能否理解和運用第二種方法包含的思維方式呢？

事實上，在一年級上冊的教材中已經(jīng)使用了第二種方法包含的思維方式。例如，教材（人教版）在第53 頁安排了這樣的練習：

圖1

還出現(xiàn)了許多如圖2 所示的“分與合”的問題：（第21 頁）

圖2

這類問題也包含逆運算思維。

經(jīng)過這兩類問題的學習，兒童應(yīng)該對加法和減法之間的聯(lián)系有所認識，初步具備了根據(jù)逆運算的關(guān)系“想加算減”的能力。因此，選擇第二種運算方法是順理成章的。

二 運算方法的教學

（一）感悟。

讓學生進行以下兩個操作活動。

活動1：湊數(shù)游戲。同桌兩人玩，每人準備十幾根小棒（或扣子、圍棋子等）。雙方約定一個要湊的數(shù)（教師要求最好是十幾），比如15。然后由甲方拿出幾根小棒（少于15 根）擺在課桌上；再由乙方出小棒，所出小棒與桌上的小棒加起來要恰好等于15。如果出對了，那么桌子上的小棒都歸乙；如果出錯了，則桌子上的小棒都歸甲。

活動2：猜數(shù)游戲。也是同桌兩人用小棒玩。先拿出十幾根小棒擺在桌子上，接著甲從中拿走若干根，但不讓乙看見是幾根；然后乙要根據(jù)桌子上剩下的小棒猜出甲拿走了幾根。 猜對了，則剩下的小棒都歸乙；猜錯了，就都歸甲。

這兩個活動的目的是讓學生通過實物操作來感悟加法和減法的關(guān)系及逆運算概念，既可復習20以內(nèi)的進位加法，又可為“想加算減”的方法打下基礎(chǔ)。采用實物操作，并設(shè)計為游戲活動，符合處于具體運算階段的兒童的認知特點，具有較強的趣味性。

（二）內(nèi)化。

前面的兩個活動都是通過操作實物進行的，學生的認知依賴于具體事物，所獲得的知識是經(jīng)驗型的。 因此還需經(jīng)過內(nèi)化形成系統(tǒng)的理論知識。內(nèi)化活動可通過以下兩個層次的練習進行。

1.筆算。讓學生進行以下各類運算：

（1）7+8=15 15-7= 15-8=

5+9=14 14-5= 14-9=

……

（2）11-7=4 11-4= 7+4=

13-5=8 13-8= 5+8=

……

（3）15-9=6 15-□=9 □+6=15

12-4=8 12-□=4 □+8=12

……

（4）6+5=11 □-5=6 □-6=5

8+4=12 □-4=8 □-8=4

……

這些計算要求學生獨立完成，但可以操作小棒等學具或利用數(shù)軸輔助計算。如果發(fā)現(xiàn)學生出現(xiàn)錯誤，教師可以引導他們通過操作學具來發(fā)現(xiàn)和糾正。通過大量各種類型的題目的計算，兒童最終完成減法是加法的逆運算的知識建構(gòu)。

2.口算。由同桌兩人合作進行，一人出題，另一人回答。每次練習以上四組題中的一組，出題人從自己的筆算題中隨機抽取題目。例如，先約好做第二組題，甲先報“11-7=4”，然后問“11-4等于幾？7+4 等于幾”，乙回答時，不能看自己的筆算答案?；卮鹫_，甲給乙一件獎品（小星星、小紅旗之類，由教師先發(fā)給每名同學）。二人輪流出題、答題，四組題都練完后，看誰的獎品多。

三 思維的拓展

（一）整理。

教師將表1（教材一年級下冊第24 頁）發(fā)給每一名學生：

表1

學生將表1 填完整，得到20 以內(nèi)的全部退位減法算式，如表2。

表2

在這里，看起來學生只做了簡單的填表工作，與運算似乎沒有什么關(guān)系。但是這種表將20 以內(nèi)的退位減法做了有序排列，形成了結(jié)構(gòu)，這可能會對學生以后的成長發(fā)揮很大的作用。 偉大的哲學家、數(shù)學家笛卡兒說：所謂方法，就是把我們應(yīng)注意的事物進行適當?shù)恼砗团帕小？梢?，笛卡兒將這一工作作為了所有科學研究最基本的方法。因此，從小學開始，我們就應(yīng)該訓練學生掌握這種方法，并引導他們自覺地運用這種方法。

（二）計算。

學生計算表2 中的每一個算式，并將結(jié)果填入表中（如表3）。

表3

（三）找規(guī)律。

引導學生橫著、豎著仔細觀察表3，找出其中有規(guī)律性的聯(lián)系。學生自由發(fā)言，先在小組里說，然后各組派代表說出本組的發(fā)現(xiàn)。 一年級的學生表達能力不強，教師可以讓他們盡量用算式表示。在學生充分發(fā)言后，教師歸納出以下規(guī)律：

1.豎著看。從第一列（減9）可以發(fā)現(xiàn)：11-9=1+1，12-9=2+1，13-9=3+1，…，18-9=8+1，即差總是比被減數(shù)的個位大1； 再讓學生觀察第二列（減8），又可發(fā)現(xiàn)：差總比被減數(shù)的個位大2；以此類推。

（2）橫著看。從第一行（11 減幾）可以發(fā)現(xiàn)：11-9=1+1，11-8=2+1，11-7=3+1，…，11-2=8+1，即差總等于減數(shù)的補數(shù) （減數(shù)的補數(shù)指10 減去減數(shù)所得的數(shù)）加1；再讓學生觀察第二行（12 減幾），又可發(fā)現(xiàn)：差總等于減數(shù)的補數(shù)加2；以此類推。

掌握了這兩條規(guī)律，就可以很快地寫出表中任意一個減法算式的結(jié)果。 這兩條規(guī)律是通過把20 以內(nèi)的全部退位減法算式按一定的順序排列起來而發(fā)現(xiàn)的，如果我們單個地或分開來教學，就不容易發(fā)現(xiàn)。

四 應(yīng)用

學習運算的主要目的是解決現(xiàn)實問題。因此，最后我們應(yīng)當提供一些應(yīng)用題讓學生解答，這些題目應(yīng)真正具有現(xiàn)實背景。例如：

學校舉行跳繩比賽，小強取得第11 名，小亮的名次比小強高3 個，小亮得了第幾名？

小明與小紅住在同一個單元，小明住在2 樓，小紅住在11 樓，從小明家到小紅家要上幾層樓？

昨天的最高氣溫是14℃，今天的最高氣溫是8℃，今天的最高氣溫比昨天低幾度？

公共汽車到站時下了4 人，上了12 人，車上的人是多了還是少了？多了或少了幾人？

東東把零用錢存起來準備買一本定價為15元的書，他已經(jīng)存了9 元，還差幾元？

還可以插入幾道20 以內(nèi)的進位加法應(yīng)用題，以免學生形成思維定式，例如：

學校舉行跑步比賽，小強取得第9 名，小亮的名次比小強低3 個，小亮得了第幾名？

電梯從1 樓開始，先上了8 層樓，接著又上了5 層樓，現(xiàn)在電梯在幾樓？

小明今年7 歲，大牛比小明大4 歲，大牛今年多少歲？

【評析】

我們通常比較注意單個課時的教學設(shè)計。其實，教材中的內(nèi)容一般是按單元分塊的，單元是教材的基本結(jié)構(gòu)，具有相對的獨立性和整體性。進行單個課時的教學設(shè)計前，應(yīng)首先進行單元的整體教學設(shè)計，單個課時的教學設(shè)計應(yīng)以單元的整體教學設(shè)計為基礎(chǔ)。

運算教學最忌為計算而計算，脫離思維訓練，脫離現(xiàn)實應(yīng)用，結(jié)果學生只獲得一點干巴巴的計算技能。本設(shè)計最大的特點是注重思維訓練，不但在運算方法的選擇和教法上體現(xiàn)了這一點，而且專門安排了“思維的拓展”和“應(yīng)用”兩個環(huán)節(jié)。

本設(shè)計的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是活動1 和活動2。這兩個活動讓學生通過實物操作感悟數(shù)量關(guān)系，具有形象性和具體性，符合兒童的認知特點和心理規(guī)律。起初學生可能算得慢，甚至需要數(shù)小棒，教師不要操之過急，應(yīng)給學生充分的時間進行活動。通過大量的練習，學生會越來越熟練。通過這兩個活動，應(yīng)該使學生達到脫口而出的熟練程度。有了這兩個活動作為基礎(chǔ)，學生就能順利完成后面的筆算練習。

讓學生觀察有序排列的算式表，找出其中的規(guī)律，能培養(yǎng)他們的數(shù)學觀察能力。通常認為觀察主要用于物理、化學、生物等自然學科之中，因而在數(shù)學教學中很少提及。其實，在數(shù)學中觀察也是重要的基本能力。 法國著名數(shù)學家埃爾米特就曾指出： 科學的歷史廣泛地證實了一個簡單的事實，即在數(shù)學家的思維過程中，觀察占有重要的地位，并且起著巨大的作用。

“應(yīng)用”這一環(huán)節(jié)列出了許多應(yīng)用題，這些題都具有兒童熟悉的現(xiàn)實背景。這一點具有重要意義。弗賴登塔爾獎獲得者梁貫成教授介紹的一項數(shù)學調(diào)查生動地說明了這一點。（如表4）

表4 5個小學生的計算測試結(jié)果