楊登科

(中國(guó)鐵路設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司,天津 300142)

0 引 言

GPS時(shí)間序列中存在因突變和剔除粗差而引起的數(shù)據(jù)不連續(xù),而快速傅里葉變換(FFT)譜分析和小波分析等要求數(shù)據(jù)均勻采樣,因此在利用譜分析和小波分析對(duì)GPS時(shí)間序列進(jìn)行分析時(shí),需要對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行插值.

當(dāng)前,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)不同插值方法對(duì)時(shí)間序列的影響進(jìn)行了對(duì)比分析.如李靖[1]對(duì)比了最鄰近插值、三次多項(xiàng)式插值、三次樣條插值對(duì)GPS坐標(biāo)時(shí)間序列的插值效果,并得出三次多項(xiàng)式插值效果最好的結(jié)論;田慧[2]利用拉格朗日、三次樣條和正交多項(xiàng)式擬合三種插值方法對(duì)缺失點(diǎn)進(jìn)行插值,結(jié)果表明:拉格朗日和三次樣條插值方法適合缺失點(diǎn)較少的情況,而正交多項(xiàng)式可用于缺值點(diǎn)較多的情況;武艷強(qiáng)等[3]提出了多點(diǎn)三次樣條插值的方法,在一定條件下可以解決時(shí)間序列中較多數(shù)據(jù)的缺失問(wèn)題;張恒璟等[4]采用正交多項(xiàng)式作最小二乘擬合插補(bǔ)缺值點(diǎn),與三次樣條插值效果對(duì)比,并得出三次樣條插值當(dāng)缺失歷元較多時(shí)易發(fā)生扭曲,高次正交多項(xiàng)式擬合易發(fā)生擾動(dòng),一般二次或三次即可達(dá)到很好擬合效果的結(jié)論.由于缺乏對(duì)各種插值方法系統(tǒng)詳盡的對(duì)比分析,并欠缺對(duì)GPS坐標(biāo)時(shí)間序列建模插值方法的研究,因此對(duì)GPS坐標(biāo)時(shí)間序列建模插值及各種常用插值方法的插值效果及適用范圍進(jìn)行研究極為必要.

本文的研究目的在于利用缺值不同的GPS時(shí)間序列,采用多種類(lèi)的插值方法研究不同插值方法對(duì)GPS時(shí)間序列的影響,并就其插值效果進(jìn)行分析,從而得出有意義的結(jié)論.

1 GPS數(shù)據(jù)介紹及數(shù)據(jù)分析

1.1 數(shù)據(jù)介紹

本文使用斯克里普斯軌道和永久陣列中心(SOPAC)提供的7個(gè)數(shù)據(jù)完整性較好的IGS基準(zhǔn)站2001.0014-2005.9986的坐標(biāo)時(shí)間序列,并按照缺值情況分為以下6種方案:

方案1:連續(xù)缺值1、2、3、4、5個(gè),對(duì)應(yīng)缺值較少的情況；

方案2:連續(xù)缺值15個(gè)(半個(gè)月)；

方案3:連續(xù)缺值30個(gè)(一個(gè)月)；

方案4:連續(xù)缺值60個(gè)(兩個(gè)月)；

方案5:連續(xù)缺值90個(gè)(三個(gè)月)；

方案6:連續(xù)缺值180個(gè)(約半年).

各IGS基準(zhǔn)站時(shí)間序列相關(guān)信息如表1所示.

1.2 插值方法介紹

選擇最鄰近插值、線性插值、三次多項(xiàng)式插值、三次樣條插值、拉格朗日插值和建模插值共6種插值方法對(duì)GPS時(shí)間序列進(jìn)行插值,并就擬合效果進(jìn)行對(duì)比分析.其中最鄰近插值、線性插值、三次多項(xiàng)式插值、三次樣條插值和拉格朗日插值方法均為較為常用的數(shù)據(jù)插補(bǔ)方法,這里就不再詳細(xì)論述其原理.現(xiàn)將建模插值方法進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹.

通過(guò)對(duì)GPS時(shí)間序列建立如式(1)所示的參數(shù)模型[5],以達(dá)到插值的目的.

y(ti)=a+bti+csin(2πti)+dcos(2πti)+

H(ti-Thj)+vti,

(1)

式中:ti為GPS站點(diǎn)單日歷元,以年為單位;a為橫軸截距;b為線速度;c、d和e、f分別表示年周期和半年周期項(xiàng)的系數(shù);gi表示跳變振幅；Thj表示發(fā)生跳變的歷元;n為跳變個(gè)數(shù),H為Heaviside階梯函數(shù),在發(fā)生跳變前H值為0,跳變后H值為1;vti為觀測(cè)噪聲.

2 不同插值方法效果比較

利用1.1節(jié)中的6種方案和1.2節(jié)中的插值方法,對(duì)選取的7個(gè)IGS基準(zhǔn)站坐標(biāo)時(shí)間序列進(jìn)行插值,將擬合值與真值進(jìn)行對(duì)比,并取其差值的均方根(RMS)作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn).

1)方案1

此方案針對(duì)缺值較少的情況(1～5個(gè)),各插值方法的插值效果如表2所示,限于篇幅,僅顯示N、U方向的擬合效果.

表2 方案1不同缺值情況下各插值方法的均方根mm

由表2可知,當(dāng)缺值較少時(shí),最鄰近插值、線性插值、三次多項(xiàng)式插值和建模插值效果相當(dāng),但在N方向最鄰近插值效果較差,建模插值效果最好,U方向線性插值和三次多項(xiàng)式插值效果較好;三次樣條插值僅適用于缺值偏少的情況(如1,2,3,4),但插值效果并不理想;拉格朗日插值效果最差,其均方根在每個(gè)缺值階段均很大,且隨著缺值數(shù)量的增多而增大.

限于篇幅,此方案中僅列出BOR1站連續(xù)缺值5個(gè)點(diǎn)的插值結(jié)果圖,如圖1所示(因拉格朗日插值效果太差,未顯示).

圖1 連續(xù)缺值5個(gè)點(diǎn)插值結(jié)果圖

由圖1可知,當(dāng)缺值數(shù)量為5時(shí),三次樣條插值方法擬合值偏離真值較遠(yuǎn),插值效果較差;其余插值方法擬合值均在真值附近,插值效果相當(dāng).

2)方案2～6

針對(duì)缺值較多的情況,缺值個(gè)數(shù)為15、30、60、90和180,對(duì)應(yīng)時(shí)間分別為半個(gè)月、一個(gè)月、兩個(gè)月、三個(gè)月及半年.不同缺值情況下各插值方法的均方根如表3所示.

表3 方案2～6不同缺值情況下各插值方法的均方根mm

缺值最鄰近NU線性NU三次多項(xiàng)式NU建模NU三次樣條NU拉格朗日NU151.46.91.35.71.46.21.25.64.219.1479411842 301.46.81.45.61.46.71.24.96.930.11078791034038 601.97.71.76.21.86.61.25.111.764.672548187166459768 901.99.21.48.81.99.71.35.521.2113.5213217401013780743799 1802.39.61.48.62.28.81.35.839.6213.914782444021913214512130662

由表3可知,當(dāng)缺值數(shù)據(jù)量逐步增大時(shí),最鄰近插值、線性插值和三次多項(xiàng)式插值效果逐漸變差;在每個(gè)缺值階段,建模插值效果均最好;三次樣條插值和拉格朗日插值效果最差,且有隨著缺值數(shù)量增多均方根逐步增大的趨勢(shì).

限于篇幅,此方案中僅列出BOR1站連續(xù)缺值180個(gè)點(diǎn)的插值結(jié)果圖,如圖2所示(因三次樣條和拉格朗日插值效果太差,未顯示).

圖2 連續(xù)缺值180個(gè)點(diǎn)插值結(jié)果圖

由圖2可知,當(dāng)缺值數(shù)量為180時(shí),建模插值與真值最為接近,為最佳插值方法,其余方法插值效果較差,U方向尤為明顯.

3 結(jié)束語(yǔ)

隨著GPS的快速發(fā)展,怎樣從大量觀測(cè)數(shù)據(jù)中提取那些與地球物理現(xiàn)象有關(guān)的信息,已成為GPS時(shí)間序列研究的熱點(diǎn)問(wèn)題,而譜分析和小波分析等卻需要對(duì)殘缺的時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行插值,因此進(jìn)行GPS時(shí)間序列的插值研究極為必要[15].本文通過(guò)對(duì)7個(gè)IGS基準(zhǔn)站在不同缺值情況下的坐標(biāo)時(shí)間序列進(jìn)行插值分析,得出以下結(jié)論:三次樣條插值和拉格朗日插值效果較差,在每個(gè)缺值階段其均方根均較大,且有隨著缺值數(shù)量增多而增大的趨勢(shì);最鄰近插值、線性插值和三次多項(xiàng)式插值僅適用于缺值較少的情況;建模插值在每個(gè)缺值階段的插值效果均較好,且隨著缺值數(shù)量的增加,這種優(yōu)勢(shì)更為明顯.