馬永梅　王淑超

摘 要 在構(gòu)建GM（1，1）冪模型中，經(jīng)常利用一階非齊次線性方程的常數(shù)變易法求得GM（1，1）冪模型白化方程的解，再利用白化方程，在灰色系統(tǒng)信息覆蓋原理下經(jīng)過(guò)離散化處理推導(dǎo)出參數(shù)γ的計(jì)算公式，并利用最小二乘法求解參數(shù)a，b.但是在求解過(guò)程中由于離散化的處理，造成了時(shí)間響應(yīng)預(yù)測(cè)函數(shù)精度的下降。為了彌補(bǔ)精度下降的缺陷，對(duì)于預(yù)測(cè)模型利用PSO算法進(jìn)行了系數(shù)修正.案例對(duì)比研究發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的GM（1，1）預(yù)測(cè)效果最差，改進(jìn)的GM（1，1）冪模型預(yù)測(cè)效果最好.

關(guān)鍵詞 預(yù)測(cè);GM（1，1）冪模型;白化方程; PSO算法;參數(shù)優(yōu)化

中圖分類號(hào) N941.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Abstract In the construction of GM（1，1） power model， the solution of whitening equation of GM（1，1） power model is often obtained by constant variation method of firstorder nonhomogeneous linear equation. Then， by using whitening equation， the calculation formula of parameters is deduced by discretization under the principle of information coverage of grey system， and the parameters are solved by least square method. In order to compensate for the defect of decreasing precision， the PSO algorithm is used to modify the coefficients of the prediction model. A case study shows that the traditional GM （1，1） model has the worst prediction effect and the improved GM （1，1） power model has the best prediction effect.

Key words Prediction; GM（1，1） power model; Whitening equation; PSO algorithm; Parameter optimization

1 引 言

GM（1，1）冪模型是一類非線性灰色模型，其背景值與灰導(dǎo)數(shù)成分能夠滿足平射關(guān)系。隨著γ取值的不同，該模型適用于不同的原始序列模型.GM（1，1）冪模型的應(yīng)用非常廣泛，特別是在“小樣本、貧信息”的不確定系統(tǒng)或者缺乏數(shù)據(jù)的情況下，獲得了較為成功的應(yīng)用，在預(yù)測(cè)和決策領(lǐng)域中占有一定的重要地位.

之前的研究多集中在GM（1，1）冪模型的應(yīng)用上，例如曾亮和駱世廣（2015）[1]針對(duì)傳統(tǒng)灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)模型維數(shù)確定困難、適用范圍小和預(yù)測(cè)精度不高等局限性，提出了一種能處理復(fù)雜序列的動(dòng)態(tài)

的最佳維數(shù)GM（1，1）冪模型，以我國(guó)居民收入的基尼系數(shù)為研究樣本做了預(yù)測(cè)分析;郭曉君等（2015）[2]針對(duì)因發(fā)展變化受眾多因素影響而具有飽和增長(zhǎng)趨勢(shì)或單峰特性的原始波動(dòng)序列，為了提高預(yù)測(cè)精度，以灰色GM（1，1）冪模型為基礎(chǔ)，構(gòu)建了自憶性原理與優(yōu)化GM（1，1）冪模型的耦合預(yù)測(cè)模型，最后以我國(guó)高中升學(xué)率的數(shù)據(jù)為例驗(yàn)證了所構(gòu)建模型的優(yōu)越性和有效性。黃躍華和陳海山（2016）[3]通過(guò)優(yōu)化冪指數(shù)研究了在港口吞吐量的預(yù)測(cè)問(wèn)題，郭毅和高建民（2016）[4]根據(jù)凍脹區(qū)高速鐵路軌面不平順的發(fā)展特征，應(yīng)用灰色系統(tǒng)理論，建立以凍脹區(qū)高速鐵路軌面不平順檢測(cè)，張思俊和陳淑燕（2016）[5]針對(duì)灰色GM（1，1）冪模型存在的缺陷，從背景值和初始條件兩個(gè)方面對(duì)GM（1，1）冪模型進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。但是前期研究成果對(duì)于模型構(gòu)建的詳細(xì)步驟研究不夠，雖然王正新等（2009）[9]對(duì)冪模型的求解有介紹，但是過(guò)程并不完整，因此系統(tǒng)完善地給出GM（1，1）冪模型的構(gòu)建方法是有必要的.

由表2看到，傳統(tǒng)的GM（1，1）模型預(yù)測(cè)結(jié)果的平均相對(duì)誤差2.51%，而GM（1，1）冪模型的預(yù)測(cè)結(jié)果更加接近原始數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)的平均相對(duì)誤差為0.29%，預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性已經(jīng)不錯(cuò).但是考慮到離散化處理造成的精度損失，引進(jìn)對(duì)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)引入修正系數(shù)的結(jié)果更為精確，由表2看到PSO改進(jìn)的冪模型平均相對(duì)誤差為0.26%，預(yù)測(cè)精度最高.因此改進(jìn)后的GM（1，1）冪模型可以更好地預(yù)測(cè)未來(lái)幾年石油的消費(fèi)量，代入公式預(yù)測(cè)2018、2019年的消費(fèi)量為（0）（9）=4664.77（百萬(wàn)噸），（0）（10）=4727.3（百萬(wàn)噸）.可見，未來(lái)兩年的石油消費(fèi)量仍呈現(xiàn)遞增的趨勢(shì).

6 結(jié) 論

20世紀(jì)80年代初，鄧聚龍?zhí)岢隽嘶疑到y(tǒng)理論.灰色理論研究對(duì)象以“貧信息”、“少數(shù)據(jù)”為主要特點(diǎn)，目前GM（1，1）模型已經(jīng)有較為成熟的研究成果，但是縱觀灰色理論研究成果，對(duì)于GM（1，1）冪模型的研究相對(duì)較少，尤其對(duì)于冪模型的參數(shù)求解問(wèn)題研究較少.利用等式轉(zhuǎn)換、信息覆蓋原理等方法在前期研究的基礎(chǔ)上給出了GM（1，1）冪模型的建模過(guò)程，推導(dǎo)出了模型參數(shù)的計(jì)算公式，計(jì)算過(guò)程相對(duì)于之前的研究結(jié)果更為簡(jiǎn)潔和系統(tǒng)，給模型參數(shù)的求解做了一定的完善和補(bǔ)充.最后結(jié)合全球近幾年石油的消費(fèi)進(jìn)行了模型精度預(yù)測(cè)對(duì)比分析，研究發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)精度比較低，一般預(yù)測(cè)值高于真實(shí)值. GM（1，1）冪模型的預(yù)測(cè)精度比較好，但是在離散化處理時(shí)會(huì)導(dǎo)致精度的損失，因此預(yù)測(cè)的效果也并不是最為理想.為了提高GM（1，1）冪模型的預(yù)測(cè)精度，通過(guò)PSO優(yōu)化算法對(duì)白化方程的解進(jìn)行優(yōu)化處理的預(yù)測(cè)結(jié)果最為準(zhǔn)確.另外，在白化方程求解中，?。?）（0）=x（0）（1），造成了對(duì)初值的依賴，如何避免仍需要進(jìn)一步深入研究.

參考文獻(xiàn)

[1] 曾亮，駱世廣.動(dòng)態(tài)的最佳維數(shù)GM（1，1）冪模型在基尼系數(shù)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2015，45（1）：88-95.

[2] 郭曉君，劉思峰，方志耕，吳利豐.融合自憶性原理的優(yōu)化GM（1，1）冪模型構(gòu)建及應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2015，37（1）：117-122.

[3] 黃躍華，陳海山.優(yōu)化的GM（1，1）冪模型在港口吞吐量預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].中國(guó)航海，2016，39（2）：131-134.

[4] 郭毅，高建敏.基于GM（1，1）冪模型的凍脹區(qū)高速鐵路軌面不平順發(fā)展預(yù)測(cè)[J].鐵道科學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2016，13（5）：791-799.

[5] 張思俊，陳淑燕.GM（1，1）冪模型的優(yōu)化方法及其應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程，2016，34（8）：154-158.

[6] 王正新，黨耀國(guó)，劉思峰，練鄭偉.GM（1，1）冪模型求解方法及其解的性質(zhì)[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2009，31（10）：2380-2383.

[7] 劉思峰.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社（第三版），2004：149-169.

[8] 劉帥.基于粒子群優(yōu)化的GM（1，1）冪模型電力負(fù)荷預(yù)測(cè)研究[D].北京：華北電力大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，2014.

[9] 崔傳智，吳忠維，李昱東，黃廣慶，李榮濤，金超林.應(yīng)用PSO-改進(jìn)GM（1，1）模型預(yù)測(cè)油田產(chǎn)量[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2018，48（17）：119-123.