曹建軍 王紅權(quán)

摘 ? ?要：不同版本教材對(duì)于勾股定理逆定理的證明，采用了不同的處理方式，體現(xiàn)了對(duì)行為動(dòng)詞“探索”的不同理解.圖形性質(zhì)的探索要注重“探索發(fā)現(xiàn)”和“演繹證明”的有機(jī)結(jié)合.眾多證明方法中，“同一法”體現(xiàn)間接證法的價(jià)值和探索過程的完整性，發(fā)展學(xué)生的推理素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：圖形性質(zhì);探索;證明;推理素養(yǎng)

近日，杭州市青年教師核心組研討了《探索勾股定理逆定理》這一課時(shí).在對(duì)比不同版本教材時(shí)，發(fā)現(xiàn)浙教版對(duì)于定理的證明是“略”，而人教版是用“同一法”進(jìn)行了證明.那么，不同版本教材的編寫為什么會(huì)有這么大的差異？廣大教師應(yīng)該如何正確處理呢？

經(jīng)過分析，大家一致認(rèn)為這一問題的關(guān)鍵在于如何正確理解“探索”這一教學(xué)要求，即 “探索”圖形的性質(zhì)的教學(xué)目標(biāo)是什么？課堂教學(xué)如何設(shè)計(jì)才能真正實(shí)現(xiàn)“探索”的目標(biāo)？

通過研讀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》），發(fā)現(xiàn)在“圖形的性質(zhì)”中，比較多地使用了“探索”的表述，如：探索并證明平行線的判定定理、性質(zhì)定理;探索并證明三角形的內(nèi)角和定理;探索并證明角平分線的性質(zhì)定理;探索勾股定理及其逆定理;探索并了解點(diǎn)與圓的關(guān)系;探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系;等等.可以說，大部分重要幾何定理都是這樣的教學(xué)要求.因此，我們有必要先了解什么是“探索”，為什么要“探索”，怎么“探索”.

一、關(guān)于“探索”

（一） “探索”及其內(nèi)涵

“探索”是指獨(dú)立或與他人合作參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)對(duì)象的特征及其與相關(guān)對(duì)象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得一定的理性認(rèn)識(shí)[1].

“探索”是描述過程目標(biāo)的行為動(dòng)詞.《課標(biāo)》中有兩類行為動(dòng)詞.一類是描述結(jié)果目標(biāo)的行為動(dòng)詞，包括“了解”“理解”“掌握”“運(yùn)用”等;另一類是描述過程目標(biāo)的行為動(dòng)詞，包括“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”“探索”等.

“探索”是描述過程目標(biāo)的級(jí)別最高的行為動(dòng)詞.在三個(gè)學(xué)段中，認(rèn)識(shí)同一個(gè)或同一類圖形的要求有明顯的層次性：從“辨認(rèn)”到“初步認(rèn)識(shí)”，再?gòu)摹罢J(rèn)識(shí)”到“探索并證明”.例如，對(duì)于平行四邊形，第一學(xué)段要求“辨認(rèn)”，第二學(xué)段要求“認(rèn)識(shí)”，第三學(xué)段要求“探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理”.又如，對(duì)于直角三角形，第二學(xué)段要求“認(rèn)識(shí)”，第三學(xué)段要求“探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理，探索勾股定理及其逆定理”.顯然，這種層次性體現(xiàn)的既是研究圖形性質(zhì)的方法與手段的不斷豐富，更是對(duì)推理能力培養(yǎng)的逐漸提升.

（二）“探索”的必要性

首先，“探索”是過程性教學(xué)的要求.《課標(biāo)》在“課程目標(biāo)”中，不僅使用了刻畫結(jié)果目標(biāo)的行為動(dòng)詞，還使用了刻畫過程目標(biāo)的行為動(dòng)詞，充分凸顯了對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過程的關(guān)注.關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，是數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)使然，是數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)實(shí)所需.

讓學(xué)生真正經(jīng)歷概念的實(shí)際背景與形成過程，不僅有助于他們感受數(shù)學(xué)概念定義的自然性和合理性，加深對(duì)概念本質(zhì)內(nèi)在聯(lián)系的理解，而且也能有效地培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的概括能力和合情推理能力，進(jìn)而使學(xué)生記憶深刻、理解到位、應(yīng)用靈活.數(shù)學(xué)公理、定理、性質(zhì)、公式、法則等數(shù)學(xué)命題可以看成是由若干數(shù)學(xué)概念組成的命題，反映了數(shù)學(xué)概念之間的特定聯(lián)系.它是對(duì)數(shù)學(xué)原理所涉及的各概念提供的信息進(jìn)行重新組織、轉(zhuǎn)換，提出概念間關(guān)系的種種假設(shè)、猜想，進(jìn)行多次反復(fù)檢驗(yàn)，再得出診斷的過程.讓學(xué)生經(jīng)歷命題的發(fā)現(xiàn)過程的教學(xué)，就是要把重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生探究命題的發(fā)現(xiàn)過程、證明思路的猜測(cè)過程、證明方法的嘗試過程上，讓學(xué)生親自通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、探究、推理、歸納的過程，達(dá)到“知其然，知其所以然”的境界，在此過程中不斷發(fā)展學(xué)生的推理素養(yǎng).

其次，“探索”是積累研究經(jīng)驗(yàn)的必然要求.圖形的性質(zhì)是對(duì)圖形中各種要素之間的關(guān)系，以及圖形之間關(guān)系的認(rèn)識(shí).為了更好地研究這些關(guān)系，就需要給出一些定義和基本事實(shí)，然后從定義和基本事實(shí)出發(fā)，去探索研究圖形的其他性質(zhì).

在一定的情境中，引導(dǎo)學(xué)生借助已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，借助圖形的直觀，通過操作、度量，運(yùn)用合情推理或圖形運(yùn)動(dòng)等方法，探索發(fā)現(xiàn)圖形可能具有的性質(zhì)，這與給出“已知、求證、證明”的方式研究圖形性質(zhì)是有區(qū)別的.兩者相比，前者更加有利于學(xué)生在獲取有關(guān)知識(shí)的過程中，不斷提高研究幾何圖形性質(zhì)的能力，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力.

（三）探索圖形性質(zhì)的方法

學(xué)生探索圖形性質(zhì)可以有以下方法：通過操作、觀察、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行歸納或類比，運(yùn)用合情推理發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì);通過圖形的運(yùn)動(dòng)，觀察圖形運(yùn)動(dòng)過程中變與不變的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì);通過演繹推理，發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)（如利用互逆關(guān)系）.

二、“探索”與“證明”之關(guān)系的探索

通過進(jìn)一步研讀《課標(biāo)》，發(fā)現(xiàn)《課標(biāo)》對(duì)圖形的性質(zhì)一般有五種不同的教學(xué)要求：

（1）了解（如了解平行于同一直線的兩條直線平行）;

（2）掌握（如掌握平行線的性質(zhì)定理）;

（3）探索（如探索勾股定理及其逆定理）;

（4）探索并掌握（如探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理）;

（5）探索并證明（如探索并證明三角形的內(nèi)角和定理）.

筆者認(rèn)為，“了解”就是既不要探索也不要證明，知道就行;“掌握”不僅知道還要簡(jiǎn)單會(huì)用（即在理解的基礎(chǔ)上，把對(duì)象用于新的情境）;“探索”便是要知道定理的來龍去脈，如果都探索清楚了，到底要不要掌握還分兩個(gè)層次，其實(shí)是沒有意義的，“探索”和“探索并掌握”沒有實(shí)質(zhì)上的區(qū)別.而“探索并證明”則好像不是那么容易把握.

對(duì)勾股定理逆定理的“探索”這一指標(biāo)的不同理解，特別是如何理解“探索”與“證明”的關(guān)系，事實(shí)上成為教材編寫差異的根源.估計(jì)人教版的作者認(rèn)為“探索”應(yīng)該包含探索發(fā)現(xiàn)的過程、演繹推理的過程;浙教版的作者認(rèn)為“探索”和“探索并證明”是有嚴(yán)格區(qū)別的，探索就是只需要“探”而不需要“證”.于是研究清楚“探索”與“證明”的關(guān)系就成了問題的關(guān)鍵.

事實(shí)上，文[2]對(duì)此已有如下的表述：探索活動(dòng)是進(jìn)行合情推理的過程，不僅有助于理清思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，而且有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神.探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)論必須通過演繹推理才能證明其正確性，證明的過程有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力.由此，《課標(biāo)》中所指的“探索”似乎主要指合情推理的發(fā)現(xiàn)過程，而“證明”主要指演繹推理的證明過程.

根據(jù)前面所述的“探索”的三種方式，勾股定理逆定理的探索可以根據(jù)互逆關(guān)系從命題→逆命題（性質(zhì)→判定）這樣的思路獲得;也可以設(shè)計(jì)情境歸納得到（如人教版的結(jié)繩打樁，構(gòu)建直角三角形）;或通過作圖→測(cè)量等實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，然后歸納猜想發(fā)現(xiàn).三者看起來都有探索，細(xì)致分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這樣的“探索”既講不清定理的來龍去脈，也得不到“證明”的方法，看來《課標(biāo)》區(qū)分“探索”和“探索并證明”的奧妙就在這里了.這樣“證明”就需要另起爐灶，顯然定理的“探索”和“證明”是分離的，“證明”就肯定是有一定難度的，《課標(biāo)》這樣處理的意思應(yīng)該就是這些定理的證明可以不作要求.人教版證明了，利用勾股定理和畫圖，本質(zhì)上是“同一法”，有一定的難度;而浙教版省略了證明過程，這樣的處理似乎也是有依據(jù)的.

那么“同一法”是否有必要學(xué)習(xí)呢？

三、“同一法”學(xué)習(xí)之必要性的探索

（一）“同一法”及其內(nèi)涵

通常，我們采用直接證法證明命題，即要證明某個(gè)對(duì)象滿足某種結(jié)論時(shí)，往往是直接討論這個(gè)對(duì)象，從它所具有的條件出發(fā)，逐步推出它滿足要求證的結(jié)論.但證明勾股定理的逆定理時(shí)，如果只是局限于△ABC，從[a2+b2=c2]這一條件來出發(fā)，則很難推出“△ABC是直角三角形”的結(jié)論.為了克服這個(gè)困難，我們可以采用以下證明的思路：先構(gòu)造一個(gè)Rt△A'B'C'，并使它與△ABC有兩邊對(duì)應(yīng)相等，再證明這兩個(gè)三角形的第三邊也對(duì)應(yīng)相等，得出它們是全等的，從而推出△ABC是直角三角形.這種證明方法屬于同一法[3].

概括地說，用同一法證明一個(gè)對(duì)象A滿足某個(gè)結(jié)論C時(shí)，要先構(gòu)造一個(gè)滿足C的對(duì)象B，并使B和A有某些共同點(diǎn)，再證明B和A是同一個(gè)對(duì)象，從而得出A滿足C.“同一法”這個(gè)名稱，來自于這種證法的核心：證明B和A是同一個(gè)對(duì)象.同一法是不同于一般的直接證法的一種間接證法.當(dāng)使用直接證法有困難時(shí)，可以考慮另辟蹊徑，嘗試用同一法、反證法等間接證法去解決.

（二）“同一法”學(xué)習(xí)之必要性

首先，筆者一直堅(jiān)持認(rèn)為，只要有條件，定理的證明還是應(yīng)該有的.否則一邊說數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，一邊定理都是不證明的，有點(diǎn)說不過去.也就是說，光有“探索發(fā)現(xiàn)”過程，其中的理性認(rèn)識(shí)對(duì)發(fā)展學(xué)生的理性精神還是不夠的.而且，作為直角三角形的重點(diǎn)內(nèi)容，更不應(yīng)該滿足于“探索”，應(yīng)該讓學(xué)生證明.文[2]中也明確提出：數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重“探索發(fā)現(xiàn)”和“演繹證明”的有機(jī)結(jié)合，有利于實(shí)現(xiàn)“增強(qiáng)（學(xué)生）發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”的課程總目標(biāo).

其次，“同一法”的證明其實(shí)是很有必要的.生活中常常見到“要證明我是我”這樣荒誕的事，數(shù)學(xué)給出自己的辦法：我先畫個(gè)垂直，接著轉(zhuǎn)化為證明線段相等.這是有意義的，目標(biāo)：∠C=90°←→BC=BC′，把特殊角的目標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段相等的目標(biāo).可見，這一證明思路的形成過程對(duì)于學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)是相當(dāng)有益的.

第三，學(xué)生也已基本具備學(xué)習(xí)間接證法的能力.從七年級(jí)上冊(cè)“圖形的初步知識(shí)”一章的實(shí)驗(yàn)幾何，到七年級(jí)下冊(cè)“平行線”開始出現(xiàn)局部推理（在直觀認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行簡(jiǎn)單的說理，將直觀與簡(jiǎn)單推理相結(jié)合，開始向推理過渡），到八年級(jí)上冊(cè)“三角形的初步知識(shí)”和“特殊三角形”，開始有固定格式的論證幾何.學(xué)生已基本掌握了直接證法，具備了一定的演繹推理能力，此時(shí)學(xué)習(xí)“同一法”這一間接證法應(yīng)該也是可以接受的.

綜上所述，勾股定理及其逆定理都是初等數(shù)學(xué)中的重要定理，同時(shí)，這兩個(gè)定理也都是多數(shù)初中學(xué)生在教師的精心引導(dǎo)下通過探索能夠發(fā)現(xiàn)并證明的定理，教學(xué)中要重視這兩個(gè)定理的教學(xué)，在教學(xué)過程中要注意引導(dǎo)學(xué)生通過探索去發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，提出一般的猜想，并獲得兩個(gè)定理的證明.從而，讓學(xué)生經(jīng)歷勾股定理及其逆定理從特殊結(jié)論到一般結(jié)論的探索和證明的完整過程.這樣安排教學(xué)，有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)結(jié)論研究的必要性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)結(jié)論的探索興趣和熱情，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力和嚴(yán)密審慎的思考習(xí)慣.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：8.

[2] 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：72.

[3]田載今.從證明勾股定理的逆定理說起——小議同一法的證明思路[J].中學(xué)生數(shù)理化，2014（6）：4-5.