全媛

【摘要】數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等能力。文章以“直線的傾斜角與斜率”教學(xué)為例，在引導(dǎo)學(xué)生尋找直線的傾斜角、運用直線斜率公式的過程中，說明如何在教學(xué)過程中滲透核心素養(yǎng)中直觀觀察、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等能力的培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);直線;傾斜角;斜率

高中數(shù)學(xué)難度較高，不僅有對學(xué)生的要求，而且有對數(shù)學(xué)老師的要求。高中數(shù)學(xué)老師要傳授給學(xué)生未來學(xué)習(xí)和發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”），提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力（簡稱“四能”）。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生提高對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高自主學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)敢質(zhì)疑、勤思考、實事求是的學(xué)習(xí)精神。

下面以“直線的傾斜角與斜率”為例來說明如何在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。研究“直線的傾斜角與斜率”，首先要研究什么是解析幾何。

解析幾何的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)歷史上一次很大的進(jìn)步，它將幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)結(jié)合得更加緊密，極大地促進(jìn)了兩者的發(fā)展，同時也使得微積分的創(chuàng)立變得水到渠成。解析幾何的本質(zhì)是將幾何圖形放到平面直角坐標(biāo)系中，用代數(shù)學(xué)的方法和計算去研究幾何圖形。研究解析幾何的基本思路是，先用幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法解決。我們知道，組成圖形最基本的元素是點，而利用平面直角坐標(biāo)系，我們可以將點與有序數(shù)對一一對應(yīng)，這就將“曲線的方程”與“方程的曲線”對應(yīng)起來。而能夠做到這點的基本要求是將圖形放到平面直角坐標(biāo)系中去。

所以我們在設(shè)計“直線的傾斜角與斜率”的教學(xué)時，首先應(yīng)該告訴學(xué)生的是解析幾何的歷史背景與解析幾何的本質(zhì)，以及研究解析幾何的基本思路。

“直線的傾斜角與斜率”屬于解析幾何中的第一部分內(nèi)容，是最簡單的。我們?nèi)绻芯拷馕鰩缀危敲纯隙ㄊ菑淖詈唵蔚膸缀螆D形——直線入手。在設(shè)計課題引入時，我們可以利用“兩點確定一條直線”這條公理，提出“一個點能確定多少條直線”，進(jìn)而提出問題：這些直線的傾斜程度有什么相同點嗎？

得出“一個點所確定的不同直線的傾斜程度不相同（不同直線方向上的差異）”這個結(jié)論的過程就是解析幾何的基本思路：用幾何的眼光去觀察。為了能夠更好地研究這種傾斜程度不相同，我們就可以利用解析幾何最基本的思想方法：以平面直角坐標(biāo)系為橋梁，將直線放入到平面直角坐標(biāo)系中。

將直線放入到平面直角坐標(biāo)系中以后，我們會發(fā)現(xiàn)一條直線與坐標(biāo)系中的x軸有一個交點，從而形成了四個角。為了更方便研究，我們統(tǒng)一規(guī)定x軸正方向與直線向上方向所形成的夾角叫作直線的傾斜角。通過觀察知道：直線的傾斜程度不相同，則直線的傾斜角不相同。所以得出結(jié)論：傾斜角是直線的傾斜程度的第一種刻畫，也就是幾何刻畫。然后教師可以讓學(xué)生自己在草稿紙上親自動手繪圖，看看要想確定一條直線需要哪些東西。最后讓學(xué)生自己總結(jié)得到的第一個重要結(jié)論：要確定一條直線，必須要有一點+傾斜程度（傾斜角）。

我們知道解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何圖形，那么什么是代數(shù)的方法呢？其實代數(shù)方法的根源就是運算。結(jié)合傾斜角的定義，我們知道點與傾斜角都屬于幾何問題，在平面直角坐標(biāo)系中，點的代數(shù)表示為坐標(biāo)，我們可以用坐標(biāo)來進(jìn)行點的相關(guān)計算。那么直線的傾斜角用代數(shù)表示又是什么呢？又如何對直線的傾斜角進(jìn)行運算呢？

為了解決上面的問題，我們先引入初中學(xué)習(xí)過的坡度與坡比的概念。我們知道坡度也是坡角的正切值，如果把坡面看成一條直線，以地面為x軸，則坡角就是坡面直線的傾斜角。所以，在數(shù)學(xué)研究中，我們將傾斜角的正切值叫直線的斜率，從而很自然地導(dǎo)出直線的斜率的定義：。因而斜率就是直線傾斜程度的第二種刻畫，也就是代數(shù)表示。這時應(yīng)該特別強調(diào)角沒有斜率。為了方便以后計算，我們可以列出特殊角的正切值來幫助記憶。然后提出問題：直線傾斜角越大，斜率就越大嗎？這個問題可以更好地幫助我們理解直線傾斜角與斜率之間的聯(lián)系。我們也可以利用正切函數(shù)的圖像得出傾斜角與斜率之間的關(guān)系，將解析幾何知識與三角函數(shù)知識聯(lián)系得更加緊密。最后總結(jié)這一部分的要點就是，點的代數(shù)表示為有序數(shù)對，即坐標(biāo)，而傾斜角的代數(shù)表示為斜率。

既然兩點能確定一條直線，一點加傾斜角也能確定一條直線，而斜率又是傾斜角的一種刻畫，那么兩點與直線的斜率之間內(nèi)在聯(lián)系又是什么呢？這個問題的提出就是為了引出通過代數(shù)的運算來研究幾何圖形。

假如給一條直線以及直線上的兩點，那么如何求出這條直線的斜率？這是本節(jié)課的重點內(nèi)容之一。這個問題是解析幾何中數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，也是解析幾何的本質(zhì)之一代數(shù)運算的體現(xiàn)。教師可以先給出一條傾斜角為銳角的直線，直線上兩個點的坐標(biāo)分別為、 ，讓學(xué)生小組合作討論：如何通過畫輔助線、找線段長度的方法得出用、坐標(biāo)表示斜率的斜率公式。然后分別給出直線傾斜角為鈍角、直角、幾種情況，最后得出形式上完全相同的直線的傾斜角的公式：?？梢杂靡痪浔容^大眾的話來解釋這個公式：縱差比橫差，差同序。特別提醒學(xué)生：當(dāng)直線的傾斜角為時，直線的斜率不存在。這樣就可以解釋之前提出的問題了：兩點確定一條直線與一點加斜率也可以確定一條直線，這兩種說法之間的內(nèi)在聯(lián)系就是直線的斜率公式。這個思考解決問題的過程正好體現(xiàn)了解析幾何的一種思想——數(shù)形結(jié)合思想，也就是本文提到的用幾何的眼光觀察，用代數(shù)的方法解決。這樣的思考聚焦在“整體結(jié)構(gòu)”“邏輯主線”“核心概念”的關(guān)鍵因素上，對提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)非常有好處。

到此，我們的新課內(nèi)容就研究完成了，接下來可以做一些簡單的例題進(jìn)行鞏固。例題完成之后進(jìn)行小結(jié)。1.我們用幾何眼光觀察不同直線的傾斜程度不相同，而直線傾斜程度不相同（直線的方向差異）可以用傾斜角進(jìn)行幾何刻畫，也可以用斜率進(jìn)行代數(shù)表示，傾斜角是將直線放入到平面直角坐標(biāo)系中得出的，斜率是通過代數(shù)的方法計算出來的。2.斜率公式的推導(dǎo)，就是結(jié)合圖形，分析直線的特點，得到圖形的“不變性”，通過運算發(fā)現(xiàn)圖形要素之間確定的關(guān)系。這個過程很好地體現(xiàn)了解析的本質(zhì)，在此過程中，直觀想象、數(shù)學(xué)運算發(fā)揮了重要作用。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力不是一朝一夕能建立的，需要數(shù)學(xué)教師在長期的教育教學(xué)中不斷反思，總結(jié)規(guī)律方法?？傊?，任重而道遠(yuǎn)，吾將不斷前行。

【參考文獻(xiàn)】

[1]章建躍.章建躍教授在第六屆數(shù)學(xué)課堂教學(xué)創(chuàng)新高級研討會上的發(fā)言[R].2018-11-23.

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