吳冬冬

摘 ?要：“為思維的通透而教”致力于在教學中幫助學生靈活建立關(guān)聯(lián)，深度理解本質(zhì)。在此過程中，學生積極的情緒參與是前提，將抽象思維、動作思維和形象思維協(xié)同起來是路徑，厘清基本概念和基本關(guān)系是核心，積極的認知體驗是源泉。

關(guān)鍵詞：思維;通透;兒童情感;認知體驗;情境

“通，意在建立溝通聯(lián)系;透，意在揭示本質(zhì)?！薄啊疄樗季S的通透而教著力于激發(fā)兒童‘思的興趣、動力以及行為，培養(yǎng)思維的清晰性和挑戰(zhàn)性，在幫助兒童靈活建立關(guān)聯(lián)，深度理解本質(zhì)的過程中，使兒童獲得屬于自己的發(fā)現(xiàn)，擁有屬于自己的理解，努力實現(xiàn)‘不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展的課程愿景。”

“二進制的奧秘”一課正是在“為思維的通透而教”理念觀照下，對蘇教版四年級下冊教材第18頁中的“你知道嗎”二度開發(fā)的一節(jié)數(shù)學拓展課。

【片段呈現(xiàn)與解讀】

一堂課當然是完整的，但它又是由一個一個關(guān)聯(lián)的片段合成的。解讀每個片段，有助于我們對教學實踐進行審視，從中歸納出“為思維的通透而教”的一般性規(guī)律——

情感帶入：推測年齡的秘密

課堂伊始——

師：咱們今天初次相見，你們知道我有多少歲嗎？但是，我卻能知道你們每個人是多少歲，信嗎？誰來試試？

（一學生自告奮勇。）

師：這里有6張寫著數(shù)字的卡片，如果哪張卡片上出現(xiàn)了你的年齡，你就回答YES。

（右起第二、四張上出現(xiàn)該生年齡。）

師：你的歲數(shù)是10歲，對嗎？

（生驚嘆。）

師：神奇嗎？你們也想擁有老師這樣神奇的本領(lǐng)嗎？等上完今天的數(shù)學課，你就明白了。

課堂結(jié)尾——

師：當我們認識了二進制，回過頭來看看課前所玩的游戲?，F(xiàn)在你們能明白老師是怎么推算出剛才那位同學的年齡的了嗎？

生：把“有”換成1，把“無”換成0，就得到了一個二進制數(shù)（1010）2，右起第一個1表示2，第二個1表示8，合起來就是10。

師：了解了這個游戲的奧秘，老師到底是多少歲，現(xiàn)在你們能知道嗎？右起第4張和第6張有我的年齡。

生：40歲。

這是一個融入二進制位置原理的數(shù)學游戲，6張卡片分別對應著二進制六個不同的數(shù)位， 1、2、4、8、16、32分別是這6個數(shù)位的計數(shù)單位。十進制數(shù)“1-63”由哪些二進制計數(shù)單位組成，那么這一張（位）上就出現(xiàn)該數(shù)。課堂開始，老師竟然能夠準確地判斷學生甚至其家長的年齡，這激起了學生強烈的好奇心，求知的欲望和探索的熱情驅(qū)動著學生加速進入主動思維的快車道。課尾解密游戲，首尾呼應，在運用中增進了學生對二進制位置原理的理解，“求知—滿足”的平衡感使兒童感到學習的無窮樂趣。

誘發(fā)沖突：出乎意料的計數(shù)器

師：這是我們都很熟悉的計數(shù)器，目前上面的算珠表示的數(shù)是幾？（999）如果增加1，那是多少呢？為什么會變成1000？

生：個位滿十要向十位進一，十位滿十要向百位進一……

師：他的回答中提到了一個很重要的計數(shù)法則——滿十進一，這樣的計數(shù)法叫作——十進制計數(shù)法。老師這里還帶了一個計數(shù)器，想請你們親手撥一些數(shù)，誰來試一試？請你在上面撥出1，接下來請撥出2。

（每個數(shù)位上只有1個珠子，學生沒辦法撥了。）

師：用這個計數(shù)器能不能撥出2？如果能，怎么撥呢？同桌之間商量商量。

生：第一位再撥一個珠就是2，滿二進一，那就在第二位撥一個珠。

師：這時第二位上的這個算珠表示？

生：2。

師：滿了二就向前一位進一，這種計數(shù)法就是——二進制計數(shù)法。

十進制計數(shù)法是學生較為熟悉，甚至是根深蒂固的認知，已有的認知經(jīng)驗既為他們認識二進制起到了支撐作用，同時打破常規(guī)的思維方式對學生也是莫大的挑戰(zhàn)。“在每位只有一個算珠的計數(shù)器上能不能撥出2，如果能，怎么撥呢？”這個問題情境讓學生出乎意料，激發(fā)起學生強烈的好奇心和探究欲，集體的智慧迸發(fā)出思維的火花，突破思維定式，不能“滿十進一”，那就“滿二進一”。

碰撞匯果：揭開二進制的面紗

師：根據(jù)計數(shù)器上撥珠的情況，“2”在二進制中該怎么寫呢？

（學生嘗試。）

短視頻相機介紹：17世紀，德國數(shù)理哲學大師萊布尼茨創(chuàng)建了二進制體系。在他看來，0和1象征從無到有，而一切數(shù)都可以用0和1來表示。例如，2由1，0表示。為了將其與十進制中的10區(qū)分開來，括號放在1，0的兩側(cè)，并且在右下角標上2。讀作二進制一零。

師：用二進制計數(shù)法，3該怎么撥呢？用二進制表示3跟表示2相比，有了什么變化？新增的算珠為什么要添在右起第一位呢？能不能添到其他數(shù)位上呢？3在二進制中怎么寫？讀作什么？

師：接下來，4用二進制怎么表示呢？結(jié)合屏幕上的計數(shù)器說說你的想法。（課件相機演示）

師：5、6、7、8用二進制怎么表示？同桌合作，在計數(shù)器上撥一撥，并在研究單（一）上記錄你們的發(fā)現(xiàn)。

（集體交流撥法、想法和寫法。）

師：在剛才的研究過程中，你們除了發(fā)現(xiàn)5、6、7、8用二進制怎樣表示，還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生：從右邊起，第一位一個算珠表示1，第二位一個算珠表示2，第三位一個算珠表示4，第四位一個算珠表示8。

師：那再往前一位，一個算珠表示多少？為什么呢？

師：位數(shù)多了，就可以撥出一些更大的數(shù)了。同桌合作，試著完成信封里的研究單（二）。

師：27是怎么撥的？介紹一下你是怎么想的？

生：先在右起第5位撥一個算珠表示16，接著在右起第4位上撥一個算珠表示8，然后在右起第二位和第一位各撥一個算珠，合起來就是27。

師：你們還撥出了哪些數(shù)？最大是多少？最小呢？

這里創(chuàng)設了連續(xù)的操作情境，由淺入深、由扶到放，引領(lǐng)學生在嘗試操作中不斷反思、修正，從而獲得新的發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生更深刻的領(lǐng)悟。操作情境共分三個層次：第一層次，全班共同研究3和4，嘗試操作，輔助多媒體演示，在分析比較中幫助學生認識“滿二進一”;第二層次，同桌合作，獨立研究5—8，在討論交流中進一步加深對“滿二進一”計數(shù)方法的理解，引向?qū)ΧM制位值的思考;第三層次，數(shù)值變大且不連續(xù)，“逼”著學生思考如何在操作中快速準確地撥數(shù)，加深對二進制位值原理的理解。這三個層次的活動融入觀察、操作、分析、比較、抽象等一系列活動，以合作學習、踴躍展示等學習方式來碰撞出思維的火花，建構(gòu)出知識的完整意義。同時，這也是一個從感性到理性的階梯，使得學習由淺入深。

打通暢徑：領(lǐng)悟二進制的本質(zhì)

短視頻：以前，在一些國家，雜貨商店通常使用砝碼天平來稱商品。如果有一個顧客要買一盎司的薄荷糖，老板會先放一個一盎司的砝碼在秤盤上，另一邊的秤盤上放一個袋子，用來裝薄荷糖。如果有人要買三十一盎司的薄荷糖，你認為雜貨店老板會有31個一盎司的砝碼，或者一個三十一盎司的砝碼嗎？事實上，他只要準備幾個砝碼，就可以稱出31盎司以內(nèi)所有整盎司重量的商品呢？

生：5個，分別是1、2、4、8、16盎司。

師：那如果想稱出更重的商品，接下來得添上幾盎司的砝碼？添加這個砝碼就可以稱出多少盎司以內(nèi)的整盎司商品？如果還想稱出更重的商品，接下來又得準備幾盎司的砝碼？

（相機出示：1、2、4、8、16……每一個數(shù)都是前一個數(shù)的兩倍，這一組數(shù)有個特別的名稱——二進制數(shù)列。用二進制數(shù)列中的數(shù)，可以拼出從1開始的任意一個自然數(shù)。）

師：認識了二進制數(shù)和二進制數(shù)列，現(xiàn)在我們把二進制和十進制做個比較，你有什么想說的？

一方面，因為“滿二進一”，所以二進制計數(shù)時只需用到“1、0”兩個數(shù)字，各個數(shù)位的計數(shù)單位合起來形成了一個二進制數(shù)列，這是易于理解的;另一方面，又因為“用二進制數(shù)列中的數(shù)，每個最多用1次，就可以組合出從1開始的任意一個自然數(shù)”，所以二進制計數(shù)時只需用到“1、0”兩個數(shù)字，而其他進制的計數(shù)單位則不具備這樣的特征，從這種邏輯順序理解二進制，對學生來說是困難的。漢聲數(shù)學繪本《二進制數(shù)》將之鑲嵌在“最少準備幾盎司的砝碼”這一具有現(xiàn)實意義的問題情境中，這個問題本身是復雜的，但又讓兒童覺得是可感的、容易理解的。

實踐體悟：感受二進制的應用

（出示視頻：像二進制這樣，只需用“1、0”表示數(shù)的方式，對計算機來說非常方便。由于計算機使用電子開關(guān)來傳輸信號和處理數(shù)據(jù)，因此每個電子開關(guān)只能接受“開”或“關(guān)”的信號，電腦則根據(jù)不同開關(guān)的“開”和“關(guān)”來思考，組合出任何數(shù)。）

師：我們不妨這樣想——在二進制計數(shù)器的每個數(shù)位上安裝一個燈泡，要表示5，就要打開哪些燈呢？表示80呢？

“二進制”在應用領(lǐng)域最突出的就是計算機，但要讓小學生了解計算機是如何運用二進制的，其抽象的表述是難以讓學生讀懂和理解的。我們從漢聲數(shù)學繪本《二進制數(shù)》中受到啟發(fā)，直觀演示了在二進制計數(shù)器的每個數(shù)位上裝上一個燈泡，開表示1，關(guān)表示0，不同的數(shù)位表示不同的位值，這樣，不同的開關(guān)組合就表示不同的二進制數(shù)，生動形象，便于學生將抽象的信息處理原理和已認識的二進制數(shù)溝通起來?！氨硎?應打開哪些燈？表示80呢？”在溝通中引導學生運用二進制的位值原理進行了二進制和十進制之間的轉(zhuǎn)換。

【教學透視和感悟】

以上跟大家分享的是“二進制的奧秘”一課的教學片段，事實上，在所有數(shù)學教學中都蘊含著兒童、數(shù)學、教學，更準確地說是教育的一般規(guī)律和法則，這樣三個維度的認識需要我們?nèi)ソ?，而我們往往在怎么做和怎么想方面缺乏一個橋梁，缺乏建立起聯(lián)系的清晰認識和價值愿景。追尋思維通透的課堂，在教學時應建立哪些一般性的認識呢？

認識1：思維的通透一定是與兒童情感的激發(fā)相伴隨的

積極的情緒參與是學習的關(guān)鍵，是思維通透的強大驅(qū)動力。李吉林老師在《中國式的兒童情境學習范式的建構(gòu)》中指出：“兒童學習‘快樂、高效的核心秘密，就是情感活動與認知活動的結(jié)合。”因為“當知識鑲嵌在多姿多彩的情境中，兒童會因美感、因好奇、因探究、因與經(jīng)驗相關(guān)、因情感共鳴……形成一種關(guān)注、探究而要學的需求?！薄坝捎诨\罩了積極情緒，思維得以進入最佳狀態(tài)”，這樣，“用無意識導引有意識”“用情感伴隨理性”，促使兒童的潛能轉(zhuǎn)化為“思維的力量”。

課堂伊始，我們通過“猜測年齡的秘密”“計數(shù)器上一定‘滿十進一嗎？”這樣連續(xù)的“不可思議”去引起兒童無意識的心理傾向，激起他們強烈的好奇心。而后，對于“二進制的認識”，是在嘗試操作、碰撞交流中去獲得新的發(fā)現(xiàn)的，這樣的活動情境沒有任何壓力，同時又充滿著探索意味。具有挑戰(zhàn)性的問題引發(fā)了認知沖突，認知的不平衡推動著兒童去琢磨、去求取自己的發(fā)現(xiàn)，新發(fā)現(xiàn)帶來的快樂又會積淀為更穩(wěn)定的學習情感。課堂最后，“現(xiàn)在你能準確地知道吳老師的年齡嗎？”首尾呼應，學以致用?！瓣P(guān)于今天的學習，你還有什么疑問？你還想研究什么問題呢？”又鼓勵著學生產(chǎn)生新的學習動機。

認識2：思維的通透需要協(xié)同抽象思維、動作思維和形象思維

“數(shù)學是抽象的、邏輯的，但兒童學習數(shù)學并不意味著就是抽象，并非僅僅是邏輯?！蔽覀兌贾溃瑑和乃季S是以具體形象思維為主要形式，所以兒童學習數(shù)學，應該是伴隨著直觀動作、生動形象的，這樣為抽象邏輯思維提供支撐和依托。同時，基于直觀的、感性的經(jīng)驗基礎，透過現(xiàn)象研究數(shù)學本質(zhì)，感性經(jīng)驗就上升為理性的認識。因此，直觀動作思維、具體形象思維和抽象邏輯思維往往相互交織，相互補充，協(xié)同作用構(gòu)成了兒童思維從感性到理性的通道。

仔細剖析，課堂上每一個概念的建構(gòu)都是基于學生操作或直觀觀察基礎上的。比如，抽象的“二進制”符號系統(tǒng)對于兒童來說是難以理解的，我們把它鑲嵌在“撥珠計數(shù)”的活動情境中，起初以直觀動作思維和具體形象思維為主，后來自然過渡到以抽象邏輯思維為主，不是簡單地用一種思維去替換另兩種思維，而是通過這樣的組合協(xié)同，引領(lǐng)兒童摸索出一條通往未知世界深處的求知路徑。又比如，在認識二進制計數(shù)單位時，我們把它鑲嵌在“最少要準備多少種不同質(zhì)量的砝碼？”這一問題情境中，依托具體的、可感的學習資源，促進兒童把形象思維與抽象思維結(jié)合起來。再比如，在認識“二進制在計算機中的運用”時，又把抽象的運算原理通過生動形象的方式進行演示。對小學生的思考來說，直觀的形式、多樣的視角，容易達成數(shù)學抽象，順利形成理性認識。

認識3：思維的通透在于厘清基本概念、打通基本關(guān)系

數(shù)學研究首先是把生活中與數(shù)量、圖形有關(guān)的內(nèi)容抽象成概念，然后再設法抽象出概念間的關(guān)系。若想達成思維的通透，就必須抓住基本概念和基本關(guān)系，靈活建立概念的關(guān)聯(lián)為“通”，深度理解概念的本質(zhì)為“透”。

學生從字面上理解“滿二進一”的含義是容易的，但具體到如何用“滿二進一”來計數(shù)就沒想象中那么輕松了。比如，在2的基礎上，用計數(shù)器撥3時，有學生認為在右起第一位再撥一個算珠，有學生認為將右起第二位算珠去掉，在右起第三位撥一個算珠。意見不一致暴露了學生真實的認知狀態(tài)，在交流碰撞中，學生逐漸達成共識，增加的1應撥在右起第一位上，右起第一位一個算珠表示“1”，右起第二位一個算珠表示“2”。趁熱打鐵，“‘4怎么撥？你們是怎么想的？”此后，在交流“5-8”的撥法時，先在電子計數(shù)器上撥，再結(jié)合實體計數(shù)器比較前后兩個數(shù)的變化，使得學生對二進制的計數(shù)法則逐漸熟練起來。

當然，教學止步于此，學生對“二進制”概念的認識還不算真正吃透。二進制屬于位值制計數(shù)法，還需進一步探索二進制的位值原理。在此，教學從三個層次依次揭示：第一層次，在自主探索“5-8”用二進制如何表示的過程中，學生交流發(fā)現(xiàn)右起第一位到第五位的計數(shù)單位;第二層次，所表示的數(shù)值變大，“逼”著學生運用計數(shù)單位組合來快速撥數(shù);第三層次，在思考“最少準備幾盎司的砝碼”時，感悟用二進制的計數(shù)單位可以組合出從1開始的任意一個自然數(shù)，而且每個計數(shù)單位只需要用一次。這也就從本源上揭示了二進制計數(shù)法只需用0和1即可表示出所有自然數(shù)。

概念重要，關(guān)系更為根本。“認識了二進制數(shù)和二進制數(shù)列，現(xiàn)在我們把二進制和十進制做個比較，你有什么想說的？”有了透徹理解概念的基礎，學生從計數(shù)方法、計數(shù)單位、讀寫法、數(shù)字組成等不同的角度進行了比較，不僅厘清了區(qū)別，同時也建構(gòu)起兩者之間的聯(lián)系，形成了知識的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)。

認識4：思維的通透形成于積極的認知體驗

李吉林老師將“中國式兒童情境學習的范式”概括為：擇美構(gòu)境，境美生情，以情啟智，把情感活動與認知活動結(jié)合起來，引導兒童在境中學、思、行、冶。筆者是這樣理解的：“學、思、行、冶”作為情境學習的四個維度，它們彼此間是密不可分的。沒有純粹的“學”，“學”一定是與“審美陶冶”相伴，通過“思”和“行”的方式來達成的;也沒有純粹的“思”，“思”一定是以“學”為載體，以“行”為途徑，以“冶”為境界的。

教學中，引導兒童在操作情境中主動建構(gòu)二進制的計數(shù)方法，在“最少要準備多少種不同質(zhì)量的砝碼”這個生活情境中感悟二進制計數(shù)單位的獨特性，在聯(lián)系生活中感受二進制的價值，在“猜年齡”游戲中體驗數(shù)學的奇妙。我們將知識嵌入各種情境中，引導兒童經(jīng)歷嘗試操作、邏輯推理、抽象概括，這樣，兒童的“學”不再是孤立的、抽象的符號，而是有場景、有角色的，兒童的“學”也不只局限于認知的活動，更有了情感的融入、實踐的體驗、思維的激發(fā)、審美的陶冶，這使得認知活動成為積極的體驗過程。

當然，思維的發(fā)展最終指向的還是兒童的全面發(fā)展。兒童在課堂上為求知而樂，為探究、發(fā)現(xiàn)而興奮、激動，活動其間，兒童的收獲遠比教學設計預期目標還要豐富得多、廣闊得多，呈現(xiàn)出生命的多元色彩。