丘志洪

【摘 要】本文從指向問題本質(zhì)、歸納推理，推測相同相似、類比推理，經(jīng)歷具體過程、演繹推理三個方面闡述在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的具體方法，以推動學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力又好又快發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 核心素養(yǎng) 邏輯推理 歸納推理 類比推理 演繹推理

【中圖分類號】G? 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）06B-0071-02

邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一大重要任務(wù)，其中，歸納推理能夠直面問題本質(zhì)，演繹邏輯思維;類比推理能夠推測相同相似，明確對象特征;演繹推理能夠引導(dǎo)學(xué)生體驗具體過程，進而挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)。由此可見，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，能使其數(shù)學(xué)思維能力得到又好又快發(fā)展，對學(xué)生的全面發(fā)展具有極大助益。因此教師在教學(xué)過程中要有意識地引導(dǎo)、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進學(xué)生全面發(fā)展?；诖耍疚慕Y(jié)合作者多年教育教學(xué)經(jīng)驗，從三個方面詳細闡述在教學(xué)中有效提升學(xué)生邏輯推理能力的具體方法。

一、指向問題本質(zhì)，歸納推理

歸納推理主要考查的是學(xué)生的自主探究能力，歸納推理教學(xué)是一種探究式的教學(xué)，其主要分為題型變式以及解題變式兩種形式，這兩種形式都能夠在一定程度上培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維。因此教師在教學(xué)過程中可以通過讓學(xué)生自主探究或是小組合作探究的方式來不斷引導(dǎo)學(xué)生深入剖析相關(guān)問題本質(zhì)，促進其開放性思維能力和發(fā)散性思維能力發(fā)展。

（一）題型變式，自主建構(gòu)

對于同一道題來說，經(jīng)過變式后便可轉(zhuǎn)變?yōu)楹芏嗟琅c其相關(guān)的題目。但是學(xué)生在進行轉(zhuǎn)化之前，一定要先深刻分析問題的本質(zhì)。這樣學(xué)生才能依據(jù)題型靈活地進行變式，對一道題目進行完整的演繹推理。

比如，在教學(xué)高中數(shù)學(xué)有關(guān)圓的知識時，有這樣一道例題：“已知 x 和 y 大于等于 0，且 x+y=1，求 x2+y2 的取值范圍?！痹诮獯疬@道題的時候，如果學(xué)生已經(jīng)掌握好圓的這部分的基礎(chǔ)知識的話，那么就能很容易地解決。假設(shè)這個圓的半徑為 r，那么這個圓的方程為 x2+y2=r2，這樣這道題就轉(zhuǎn)化為求這個圓與直線 x+y=1（其中，x≥0，y≥0）的交點問題，最后求得答案“0.5≤x2+y2≤1”。學(xué)生做完這道題目之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生對題目進行變式訓(xùn)練，將題目改編為多種形式來提升其對這部分知識的認識、理解和掌握，比如變形為：“已知 x 和 y 大于等于 0，且 x+y=1，求 x4+y4 的取值范圍?！被蛘摺耙阎?x 和 y 大于等于 0，且 x+y=1，求 x6+y6 的取值范圍?！边@種變式訓(xùn)練能較好地提升學(xué)生對相關(guān)知識的理解和掌握。

（二）解題變式，發(fā)散思維

在數(shù)學(xué)中，對于同一道題目來說，往往會有很多種解題方法。有時候?qū)W生由于其自身思維的局限性，往往不能夠?qū)⑦@些解題方法都想出來。因此，這個時候小組合作探究的方式便凸顯其獨特的優(yōu)越性。大家在討論一道題目的多種解法的過程中會進行思維火花的激烈碰撞，促進其歸納推理能力的提高與發(fā)展。

還以上面提到的那道題為例，這道題有很多種解法。為了提升學(xué)生的思維活力，有效培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力，筆者讓學(xué)生以小組討論的形式對這道題的所有解法進行探討，然后讓各個小組將自己的討論結(jié)果在全班范圍內(nèi)進行展示。學(xué)生在集思廣益的過程中，把這道題目的多種解法發(fā)掘出來，共同受益。比如，有的同學(xué)提到的“三角函數(shù)換元法”就是一種非常簡單有效的解題方法，即令“x=sin2x，y=cos2x”，再根據(jù)三角公式進行化簡求解即可，這種方法極大地縮短了學(xué)生的解題時間，提高學(xué)習(xí)效率。

題型變式這種方法能夠促使學(xué)生自主構(gòu)建相關(guān)知識體系，完善并優(yōu)化知識框架，使其能夠用開放性思維思考和解決數(shù)學(xué)問題。解題變式這種方法則可使學(xué)生以小組合作的方式共同挖掘相關(guān)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，在歸納推理中促進其發(fā)散性思維能力的快速提高。因此這兩種方式都是培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力的絕佳方式。

二、推測相同相似，類比推理

類比推理主要分為三類，第一類是從已知情況推理到另外一種已知情況;第二類是從已知事物入手去對未知情況進行推理，并對其可靠性進行考究;最后一類是對未知事物深入分析其特征后，對其進行歸納總結(jié)，再對其他未知事物進行推理。類比推理的方法很多，最常見的是繪制表格、類比發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以及放飛想象、類比聯(lián)想事物這兩種方式。

（一）繪制表格，類比發(fā)現(xiàn)

在類比推理的過程中，表格無疑是一種非常直接且有效的類比方式，其能夠?qū)⒕哂邢嗨菩再|(zhì)的數(shù)學(xué)對象放在一起進行深入比對，找出其相同或者相似之處，并在這個過程中對其進行觀察和推理，對這兩者的數(shù)學(xué)特征進行總結(jié)和詮釋。

比如，在教學(xué)“球”的這部分知識的時候，筆者以繪制表格的形式將學(xué)生熟知的平面圖形“圓”與其進行類比。在表格中，左邊是圓的各種性質(zhì)，右邊則是與之相對應(yīng)的球的各種性質(zhì)。比如，對表格左邊的圓的性質(zhì)“圓心與任意一條不過圓心的弦的中點的連線都垂直于這條弦”就對應(yīng)表格右邊的球的性質(zhì)“球心與任意一個不過球心的截面圓的圓心的連線都垂直于這個截面圓”。這樣經(jīng)過類比，學(xué)生能夠?qū)ο嚓P(guān)性質(zhì)的理解更加深刻透徹，其對各類知識的遷移應(yīng)用能力也會在潛移默化中不斷得到提高和增強，是一種非常有效且直接的提升學(xué)習(xí)效率的方式。

（二）放飛想象，類比聯(lián)想

在類比推理中創(chuàng)造性思維無疑也是非常重要的一種品質(zhì)，學(xué)生在類比的過程中教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生充分發(fā)揮自身想象力，對將要分析的數(shù)學(xué)主體進行類比聯(lián)想，以此來全面激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造欲和求知欲，提升其學(xué)習(xí)的主觀能動性。

其實，在類比推理中敢于進行大膽地假設(shè)和聯(lián)想基本就已經(jīng)成功了一半。比如，在教學(xué)立體幾何的時候，筆者就讓學(xué)生根據(jù)正三角形的一些特性來對空間四面體的一些性質(zhì)進行推測。其實學(xué)生在一開始的時候，只是憑借自己的直覺來進行一些猜想，比如，由于正三角形的三條邊都相等，推測出空間正四面體的四個面都是由全等的正三角形構(gòu)成;由正三角形的高垂直于底，推測出空間正四面體的高垂直于底面等性質(zhì)。在這個過程中，學(xué)生可以充分發(fā)揮自身想象力進行各種聯(lián)想，最后經(jīng)過實際驗證這個過程后，學(xué)生會對相關(guān)知識有更加深刻的印象，使其在進行應(yīng)用的時候能夠做到舉一反三，靈活變通。

由此可見，對比推理能力的培養(yǎng)對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的提升以及數(shù)學(xué)成績的提高具有至關(guān)重要的作用。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，對于學(xué)生來說，很多知識都是未知的，這就需要學(xué)生能夠從已知的事物中總結(jié)特征，挖掘本質(zhì)，進而將其有效應(yīng)用于這些未知事物中，促進其對新知識的吸收和消化，以此促進數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力的提升。

三、經(jīng)歷具體過程，演繹推理

一般來說，歸納推理和類比推理都屬于合情推理，在這種推理方式中，所得到的推理結(jié)論不一定是完全正確的。然而演繹推理則是一種與合情推理不太相同的推理方式，其在大前提和小前提都正確的前提下得到的結(jié)論一定是正確的。為了在教學(xué)中避免理論知識與實際相脫節(jié)的情況，教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)結(jié)合教學(xué)實例，以生活實例進行深入分析和講解。

（一）關(guān)系推理，傳遞

演繹推理一般都采取“三段式”的模式，即滿足 A 條件的對象都具有性質(zhì) B，而 C 滿足 A 條件，那么 C 具有性質(zhì) B。在這種推理模式下，很多的傳遞關(guān)系都能夠成立，而且學(xué)生理解起來其思維跨度也不是很大，即思維負擔(dān)較小，因此在這種情況下，其學(xué)習(xí)效率和思考效率都很高。

這種推理在立體幾何的證明中比較常見，比如對“平行于同一條直線的兩條直線相互平行”這個命題來說，就可轉(zhuǎn)變?yōu)橐韵逻@種命題模式：“在同一空間中平行于直線 A 的所有直線都相互平行，而直線 B 和直線 C 平行于直線 A，那么直線 B 和直線 C 相互平行?！逼鋵嵾@個過程就是一種平行關(guān)系的傳遞過程，而在演繹推理中這種關(guān)系的傳遞是非常常見的，這也可以稱之為是一種推理的常見方式。如果學(xué)生在進行推理的過程中遇到困難，那么不妨嘗試將其轉(zhuǎn)化為我們上邊提到的這種“三段式”結(jié)構(gòu)。如果滿足相應(yīng)的條件，那么就能夠輕易推理出相應(yīng)的結(jié)果。

（二）假言推理，驗證

假言推理其實也是一種比較固定的推理模式，即如果 A 能夠推出 B，那么如果能夠證明 A 為真，則 B 也是真。這種推理關(guān)系其實是建立在一種假設(shè)的大前提的條件下，所以稱之為假言推理，其在數(shù)學(xué)推理這個模塊中也占據(jù)了比較重要的地位。

以下面這道例題為例：

當(dāng) m 是實數(shù)時，方程 x2-2mx-1+m=0 有兩個不相等的實數(shù)根，試判斷這個命題的真假。

在解答這道題目的時候，我們先假設(shè)這道題目的命題為真，那么此時 m 需要滿足什么條件呢？答案是顯而易見的，即二次函數(shù)判別式應(yīng)當(dāng)大于 0，即（2m）2-4（m-1）>0。顯然題目中所給出的 m 的范圍是滿足這個條件的，那么也就說明了這個命題是真的。因此說這種假言推理的方法在處理一些特殊類型的題目的時候還是很有效的，它能夠通過假設(shè)的這個過程使那些看似非常復(fù)雜無從下手的問題很快露出“破綻”，學(xué)生也就能夠因此而輕易地找到其突破口，有效解答相關(guān)題目，提升學(xué)生邏輯思維能力水平。

通過關(guān)系推理，學(xué)生能夠詳細分析相關(guān)數(shù)學(xué)問題的傳遞特性;通過假言推理，學(xué)生也能夠輕易驗證相關(guān)結(jié)論真假。因此教師在教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)有效地引導(dǎo)學(xué)生親身感受和體驗其具體過程，促進學(xué)生演繹推理能力的提高。

邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)是當(dāng)前國際數(shù)學(xué)教育的一大重要內(nèi)容，也是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的一大重要模塊，因此，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)無論是在理論研究還是在實踐探究方面都具有非常重要的意義。無論是對學(xué)生個人發(fā)展，還是對數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展都具有極大的價值。因此教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)對此有所側(cè)重，使學(xué)生的數(shù)學(xué)成績以及個人綜合素質(zhì)都能夠因此得以迅猛發(fā)展。

【參考文獻】

[1]明永學(xué).培養(yǎng)邏輯推理能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2018（12）

[2]李 青.素養(yǎng)視域下初中生數(shù)學(xué)邏輯推理能力培養(yǎng)的教學(xué)實踐研究[D].合肥：合肥師范學(xué)院，2018

[3]陳一君.以生為本，培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯推理能力[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（03）

（責(zé)編 盧建龍）