方震軍

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的主要目的就是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看待現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題，并將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，然后用數(shù)學(xué)方法求解模型，進(jìn)而解決實(shí)際問題。方程模型是數(shù)學(xué)模型中最重要的模型之一，本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐，就實(shí)際教學(xué)中如何基于《用二次一次方程組解決問題》開展方程建模教學(xué)提供一點(diǎn)做法，以供參考。

一、精選實(shí)際問題，關(guān)注已有經(jīng)驗(yàn)

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索。這就要求我們?cè)趯?duì)問題進(jìn)行選擇時(shí)，必須以學(xué)生所熟悉的生活中的問題為背景，以便他們發(fā)揮已有經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生更容易獲得成功的機(jī)會(huì)，體會(huì)到成功的喜悅。在這一過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和轉(zhuǎn)化問題的能力都得到了訓(xùn)練，建模能力得到了提高?！半u兔同籠問題”是我國(guó)古算書《孫子算經(jīng)》中著名的數(shù)學(xué)問題，之所以選擇這個(gè)問題不僅是因?yàn)樗N近學(xué)生生活實(shí)際，有利于激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，而且在小學(xué)就已從算術(shù)角度給出解決，更能讓學(xué)生通過這個(gè)古代數(shù)學(xué)應(yīng)用題增加民族自豪感。

二、讀題幫助抽象，形成數(shù)學(xué)問題

讀題先要漫讀，應(yīng)明確題意，讀出已知條件和問題。從整體上把握是哪方面的問題，一旦明確了是哪一方面的問題，腦子里相關(guān)的知識(shí)鏈接就會(huì)被激活。漫讀就像方向標(biāo)，決定著我們向哪個(gè)方向前進(jìn)。讀題還要細(xì)讀，在讀的過程中思考題目中各條件間的相互聯(lián)系，即在讀題中進(jìn)行思考，在思考中進(jìn)行讀題，初步分析判斷數(shù)量間的聯(lián)系。例如：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？學(xué)生第一次漫讀時(shí)就會(huì)聯(lián)想到這是“和差類”的方程問題，方程問題的相關(guān)信息就會(huì)被激活。第二次細(xì)讀時(shí)，學(xué)生會(huì)從關(guān)鍵句中發(fā)現(xiàn)重要的數(shù)量關(guān)系，并將普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光。

三、借助梯度問題，明晰等量關(guān)系

這一步要引導(dǎo)學(xué)生逐一分析關(guān)鍵句，從中體會(huì)蘊(yùn)含的等量關(guān)系。方程建模的重點(diǎn)和難點(diǎn)就是找出問題中存在的等量關(guān)系，學(xué)生分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系、尋找相等關(guān)系的能力還比較薄弱，通過問題串的設(shè)計(jì)層層深入，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。教師通過引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題，為問題的解決尋找思路。例如設(shè)計(jì)如下問題串：（1）題目中出現(xiàn)了哪些量？（2）哪些是已知量？（3）哪些是未知量？（4）請(qǐng)你找出題目中表示等量關(guān)系的句子。根據(jù)前面的精細(xì)讀題，學(xué)生對(duì)題中的相關(guān)數(shù)據(jù)及其數(shù)量關(guān)系已經(jīng)初步厘清，在此基礎(chǔ)上，等量關(guān)系已經(jīng)在學(xué)生頭腦中浮現(xiàn)，教師可以通過關(guān)鍵詞閱讀法、表格法、示意圖法來幫助學(xué)生分析等量關(guān)系，從而為后續(xù)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)奠定基礎(chǔ)。

四、巧設(shè)未知數(shù)量，建立方程模型

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式教學(xué)和因材施教。學(xué)生通過“用一元一次方程解決問題”的學(xué)習(xí)，已經(jīng)初步具備了建立一元一次方程模型解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力，這也為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。因此本節(jié)課的教學(xué)采用類比的方式來組織教學(xué)，放手讓學(xué)生參與探究，教師只是在學(xué)生有困難時(shí)給予幫助，以問題引領(lǐng)學(xué)生尋找解決問題的方法。例如，你準(zhǔn)備設(shè)哪個(gè)未知量？你能依據(jù)等量關(guān)系列出方程或方程組嗎？學(xué)生基于已有的學(xué)習(xí)一元一次方程的經(jīng)驗(yàn)，設(shè)雞數(shù)（或兔數(shù)）為x只，根據(jù)足數(shù)94列出方程。也有學(xué)生大膽而創(chuàng)新地設(shè)出雞有x只，兔有y只，從而根據(jù)頭35個(gè)和足94個(gè)列出了兩個(gè)二元一次方程，形成方程組。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)用二元一次方程組來表示更簡(jiǎn)便，學(xué)會(huì)合理選擇模型，同時(shí)體會(huì)到用二元一次方程組來解決問題的優(yōu)越性，理解學(xué)習(xí)二元一次方程組解決問題的必要性，感受到一元一次方程和二元一次方程組都是解決實(shí)際問題的有效數(shù)學(xué)模型，并發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。

五、突出對(duì)比辨析，加強(qiáng)模型銜接

這一環(huán)節(jié)是這節(jié)課最有價(jià)值的地方，要讓學(xué)生通過對(duì)比研究知道兩種解法其實(shí)是對(duì)問題中包含的兩個(gè)等量關(guān)系使用方式的不同而已。例如設(shè)計(jì)如下問題：（1）對(duì)比上述兩種解法，它們之間有什么聯(lián)系和區(qū)別嗎？（2）用帶入消元法解二元一次方程組，你有什么發(fā)現(xiàn)？列一元一次方程解題是設(shè)一個(gè)未知量，利用“雞的頭數(shù)+兔的頭數(shù)=35”這一等量關(guān)系表示出另一個(gè)未知量，再用“雞的足數(shù)+兔的足數(shù)=94”這一等量關(guān)系去列方程；列二元一次方程組解題是同時(shí)設(shè)兩個(gè)未知量，利用問題中的兩個(gè)等量關(guān)系列出二元一次方程組。當(dāng)用帶入消元法解二元一次方程組時(shí)，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)二元一次方程組剛好轉(zhuǎn)化成前面列出的一元一次方程，可以進(jìn)一步感受到兩種模型之間的聯(lián)系，讓兩種模型自然銜接，同時(shí)體會(huì)學(xué)習(xí)新模型的必要性與價(jià)值，深化模型思想。

六、出結(jié)果需謹(jǐn)慎，不忘復(fù)查檢驗(yàn)

求出結(jié)果后，對(duì)于結(jié)果的正確性和合理性，還需要我們進(jìn)行檢驗(yàn)。然而學(xué)生平時(shí)的檢查往往只注重形式，沒有深入地進(jìn)行推理論證，沒有什么實(shí)際效果。因此在實(shí)際教學(xué)中，首先要引導(dǎo)學(xué)生明確檢驗(yàn)的必要性，養(yǎng)成反思意識(shí)，其次要教給學(xué)生一些具體檢驗(yàn)的方法，讓學(xué)生有法可循，以提高檢驗(yàn)的能力。

七、歸納一般步驟，掌握建模方法

學(xué)生基于列一元一次方程解決問題的經(jīng)驗(yàn)，再通過上面例題的學(xué)習(xí)，能夠總結(jié)出建立二元一次方程組數(shù)學(xué)模型的一般步驟：（1）實(shí)際問題情境；（2）建立二元一次方程組模型；（3）解二元一次方程組；（4）解釋二元一次方程組解的合理性。在這個(gè)基本過程中，我們要著重培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，并利用關(guān)鍵詞閱讀法、表格法等幫助學(xué)生分析問題，從而建立合理的方程（組）模型，求解模型并討論結(jié)果的意義，最終解決實(shí)際問題。通過歸納總結(jié)，使學(xué)生能夠掌握建模的方法。

本節(jié)課內(nèi)容在整個(gè)初中方程建模教學(xué)中有著承上啟下的作用，是設(shè)一元建模到設(shè)多元建?？缭降年P(guān)鍵環(huán)節(jié)。從方程建模教學(xué)的整體角度考慮本節(jié)課的學(xué)習(xí)，最主要的是讓學(xué)生體會(huì)從設(shè)一元到設(shè)多元是建模不斷優(yōu)化的過程，扎實(shí)推進(jìn)深度教學(xué)，通過對(duì)比辨析，學(xué)會(huì)合理選擇模型，體會(huì)數(shù)學(xué)模型之間的自然銜接，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化。

【備注：本文為泰州市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2017年度一般立項(xiàng)課題“農(nóng)村義務(wù)教育中數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的銜接研究”的階段成果，課題編號(hào)：TJKYBLX2017/154】