侯格格

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

在實(shí)際問題處理中，會(huì)經(jīng)常遇到大量非對(duì)稱數(shù)據(jù)，若簡(jiǎn)單地假設(shè)這些數(shù)據(jù)的模型誤差服從正態(tài)分布，通過數(shù)據(jù)分析，往往會(huì)發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)具有多峰性、有偏性，并不完全服從正態(tài)分布．此時(shí)，可以使用偏正態(tài)分布處理非對(duì)稱數(shù)據(jù)．偏正態(tài)分布是正態(tài)分布的一種推廣，最早出現(xiàn)于文獻(xiàn)[1]，由Azzalini[2]命名，它既具有正態(tài)分布的特殊性質(zhì)又含有偏度的分布．設(shè)X是服從一元偏正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為：fX(x;α)=2 ?φ(x) ?Φ(αx)，其中φ(x)， Φ(x)分別是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，α為任意實(shí)數(shù)，被稱為形狀參數(shù)，它控制密度函數(shù)的形狀．當(dāng)α=0時(shí)，分布函數(shù)偏度為零，X～N(0,1)，分布函數(shù)的偏度隨著α的增加而增加，當(dāng)α→∞時(shí)，分布函數(shù)收斂于半正態(tài)密度函數(shù)，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，需要加入位置與尺度函數(shù)．考慮線性變換Y=ωX+ξ，Y的密度函數(shù)為：

稱Y服從偏正態(tài)分布，記為Y～SN(ξ,ω2,α)，ξ,ω,α分別是位置參數(shù)、尺度參數(shù)、形狀參數(shù)，令θ=(ξ,ω,α)為待估參數(shù)．α=0時(shí)，Y～N(ξ,ω2)．

常見參數(shù)估計(jì)方法有矩估計(jì)、極大似然估計(jì)、M-估計(jì)等．對(duì)于單參數(shù)或者兩個(gè)參數(shù)估計(jì)問題，容易求出穩(wěn)定解．盡管一元偏正態(tài)分布族具有良好的性質(zhì)，但由于其具有三個(gè)參數(shù)，求得穩(wěn)定的估計(jì)值較為困難，這是由于：1）當(dāng)α→0時(shí)，F(xiàn)isher 信息陣是奇異的；2）α=0是α的輪廓似然函數(shù)的一個(gè)駐點(diǎn)，獨(dú)立于觀測(cè)樣本．對(duì)于一元偏正態(tài)分布的三個(gè)參數(shù)的估計(jì)問題，使用極大似然估計(jì)求解時(shí)，遇到?jīng)]有顯式解的情況，尤其在小樣本時(shí)，極大似然估計(jì)穩(wěn)定性較差，矩估計(jì)與M-估計(jì)求出的估計(jì)值也較差．Azzalini 和Arellano[3]提出了含有懲罰項(xiàng)極大似然估計(jì)的方法，選擇合適的懲罰函數(shù)對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，此估計(jì)方法，當(dāng)樣本量大于200時(shí)，參數(shù)估計(jì)值穩(wěn)定，由于形狀參數(shù)α難以估計(jì)，當(dāng)n＜200，即為小樣本量時(shí)，含有懲罰項(xiàng)的極大似然估計(jì)算法是不穩(wěn)定的．

經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法最早由Feuerverger 和Mureika[4]與Heathcote[5]提出，Tran[6]將其應(yīng)用于參數(shù)估計(jì)問題中．這個(gè)方法與文獻(xiàn)[7-8]提出的矩母函數(shù)方法類似，使用特征函數(shù)代替矩母函數(shù)．使用特征函數(shù)進(jìn)行估計(jì)具有一些優(yōu)點(diǎn)．特征函數(shù)是一致有界，因此由其所求出的解具有數(shù)值穩(wěn)定性．對(duì)于厚尾分布，當(dāng)它的矩母函數(shù)不存在時(shí)，使用特征函數(shù)是恰當(dāng)?shù)模?jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法的穩(wěn)定性受到{tm}的取值影響，對(duì)于此問題，文獻(xiàn)[8-9]進(jìn)行了分析．

本文第一部分首先對(duì)經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法進(jìn)行敘述，并對(duì)經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法的有效性進(jìn)行討論．由于算法受到固定網(wǎng)格點(diǎn){tm}的影響，進(jìn)而對(duì){tm}的選取進(jìn)行討論，對(duì)如何選取最優(yōu)的網(wǎng)格點(diǎn){tm}使得算法獲得高漸進(jìn)有效性進(jìn)行說明．第二部分進(jìn)行模擬，取不同的固定樣本量的小樣本，使用經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法對(duì)一元偏正態(tài)分布三個(gè)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并與懲罰極大似然估計(jì)進(jìn)行對(duì)比．

1 經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法

本文我們將經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法應(yīng)用于一元偏正態(tài)分布中．假設(shè)一個(gè)樣本容量為n隨機(jī)樣本y1,y2,…,yn來(lái)自于一元偏正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為（1）式．定義yi的特征函數(shù)為：

定義經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)為：

其中i為虛數(shù)，{tm}是一系列固定的網(wǎng)格點(diǎn)，可以是連續(xù)的，也可以是離散的．現(xiàn)將φ(y;θ)和Cn(t)的實(shí)部與虛部分別分離出來(lái)，則它們?cè)趍個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)t1,t2,…,tm的估計(jì)為：

其中，

它的分割中的元素是與tp和tq相關(guān)，可以表示為（為了定義方便，假設(shè)θ在φ(t,θ)中）：

進(jìn)一步，定義

式（5）可以被看作是一個(gè)協(xié)方差矩陣為非標(biāo)量的非線性回歸，其中Zn(t)可以被看作是響應(yīng)變量，F(xiàn)(t,θ)可以被看作是解釋變量．因此，對(duì)于給定的互不相同的網(wǎng)格點(diǎn)t1,t2,…,tm，其中m必須大于等于待估參數(shù)的個(gè)數(shù)，θ的有效估計(jì)，即經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法的估計(jì)值，可以通過最小化

其中，

根據(jù)文獻(xiàn)[8]對(duì)于的漸進(jìn)有效性，有如下命題成立：

命題1 令t1,t2,…,tm為一系列取值不同的固定網(wǎng)格點(diǎn)，θ的經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法的估計(jì)值是θ的強(qiáng)相合估計(jì)，并且服從漸進(jìn)正態(tài)分布，其均值為θ，協(xié)方差為：

由命題1 可知經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法的漸進(jìn)有效性依賴于固定網(wǎng)格點(diǎn){tm}的選擇．文獻(xiàn)[8]指出，對(duì)某些估計(jì)問題，經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法可達(dá)到充分的漸進(jìn)有效性（以達(dá)到Cramer-Rao 下界為標(biāo)準(zhǔn)）．

根據(jù)文獻(xiàn)[8-9]的分析，{tm}必須是互不相同的．對(duì)于固定的m，為了方便起見，使用相等的區(qū)間間隔τ，則網(wǎng)格點(diǎn)為tj=j?τ,j=1,2,…,m，而τ可以是任何實(shí)數(shù)常數(shù)，通過最小化（8）的大?。ɡ缧辛惺剑┣蟪鲎顑?yōu)的區(qū)間間隔τ．在最小化（8）式時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)依賴待估參數(shù)的估計(jì)值，但待估參數(shù)未知的難題．解決此問題，一種方法是代入待估參數(shù)的初始值進(jìn)行計(jì)算．值得注意的是當(dāng)t的個(gè)數(shù)接近待估參數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，{tm}的選擇對(duì)算法的有效性影響是非常大的．當(dāng)m達(dá)到某個(gè)值之后，經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法的漸進(jìn)有效性并不隨著t的個(gè)數(shù)增加而增加（或減小）．為驗(yàn)證此結(jié)論成立，假設(shè)有k個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)t1,t2,…,tk，此時(shí)其漸進(jìn)協(xié)方差矩陣為現(xiàn)假設(shè)前k個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)值不變，增加一個(gè)或多個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，此時(shí)漸進(jìn)協(xié)方差矩陣為其中由此看出，在最初的網(wǎng)格點(diǎn)的基礎(chǔ)上增加若干個(gè)點(diǎn)，只是增加了矩陣A的列，矩陣Ω的行與列．為了說明矩陣是正定矩陣，首先我們先說明它是半正定矩陣．對(duì)于分塊矩陣的逆正則化，則有：

2 模 擬

樣本量n分別取50、 1 00、200，ξ固定等于0，ω固定等于1，α分別取-3、-2、-1、1、2、3等六個(gè)不同的值，分別使用經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法和含有懲罰項(xiàng)的極大似然估計(jì)算法對(duì)三個(gè)參數(shù)重復(fù)進(jìn)行500次估計(jì)，以絕對(duì)偏差和均方誤差（MSE）為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)比兩種算法的穩(wěn)定性．

當(dāng)樣本量n=50時(shí)，根據(jù)多次重復(fù)計(jì)算的結(jié)果，求出兩種算法所對(duì)應(yīng)的絕對(duì)偏差和MSE．為更佳直觀的分析，現(xiàn)畫出不同α值下三個(gè)參數(shù)所對(duì)應(yīng)的絕對(duì)偏差和MSE 的圖像，如圖1 所示．

圖1 當(dāng)n=50，α取不同值時(shí)，兩種不同方法所得估計(jì)值的絕對(duì)偏差和MSEFig 1 The Absolute Deviation and MSE of the Estimated Value through Two Different Methods Whenn=50andαChooses Different Values

由圖1 可以看出兩種算法關(guān)于α的估計(jì)值的絕對(duì)偏差都較大，但與含有懲罰項(xiàng)的極大似然估計(jì)算法相比，經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法關(guān)于α的估計(jì)值的絕對(duì)偏差要小些，說明經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法求得的估計(jì)值偏離真實(shí)值的程度更小，求得的α估計(jì)值的平均值更接近于真實(shí)值．兩種算法對(duì)于位置、尺度兩個(gè)參數(shù)估計(jì)的MSE 都很小，由于形狀參數(shù)難以估計(jì)，經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法對(duì)于α的估計(jì)容易受到初始值的影響，所以形狀參數(shù)的MSE 出現(xiàn)很大的波動(dòng)，因此兩種算法都是不穩(wěn)定的．從整體上看，當(dāng)樣本量很小時(shí)，經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法略優(yōu)于含有懲罰項(xiàng)的極大似然估計(jì)算法．

當(dāng)樣本量n=100時(shí)，根據(jù)多次重復(fù)計(jì)算的結(jié)果，求出兩種算法所對(duì)應(yīng)的絕對(duì)偏差和MSE.為更佳直觀的分析，現(xiàn)畫出不同α值下三個(gè)參數(shù)所對(duì)應(yīng)的絕對(duì)偏差和MSE 的圖像，如圖2 所示．

圖2 當(dāng)n=100，α取不同值時(shí)，兩種不同方法所得估計(jì)值的絕對(duì)偏差和MSEFig 2 The Absolute Deviation and MSE of the Estimated Value through Two Different Methods Whenn=100andαChooses Different Values

由圖2 可以看出，兩種算法的絕對(duì)偏差都較小，但與含有懲罰項(xiàng)的極大似然估計(jì)算法相比，經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法對(duì)于三個(gè)參數(shù)估計(jì)的絕對(duì)偏差要小些，說明經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法求得的估計(jì)值偏離真實(shí)值的程度更小，求得的估計(jì)值的平均值在真實(shí)值附近．兩種算法對(duì)于位置、尺度兩個(gè)參數(shù)估計(jì)的MSE 都很小．由于樣本量較小，兩種算法對(duì)于α的估計(jì)出現(xiàn)一些波動(dòng)，使得形狀參數(shù)的MSE 大于1，兩者間的差距不大，因此兩種算法有效性一般．從整體上看，經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法優(yōu)于含有懲罰項(xiàng)的極大似然估計(jì)算法．

當(dāng)樣本量n=200時(shí)，根據(jù)多次重復(fù)計(jì)算的結(jié)果，求出兩種算法所對(duì)應(yīng)的絕對(duì)偏差和MSE．為更佳直觀的分析，現(xiàn)畫出不同α值下三個(gè)參數(shù)所對(duì)應(yīng)的絕對(duì)偏差和MSE 的圖像，如圖3 所示．

圖3 當(dāng)n=200，α取不同值時(shí)，兩種不同方法所得估計(jì)值的絕對(duì)偏差和MSEFig 3 The Absolute Deviation and MSE of the Estimated Value through two Different Methods Whenn=200andαChooses Different Values

由圖3 可以看出，兩種算法的絕對(duì)偏差都較小，但與含有懲罰項(xiàng)的極大似然估計(jì)算法相比，經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法對(duì)于三個(gè)參數(shù)估計(jì)的絕對(duì)偏差要小些，說明經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法求得的估計(jì)值偏離真實(shí)值的程度更小，求得的估計(jì)值平均值在真實(shí)值附近．兩種算法對(duì)于位置、尺度兩個(gè)參數(shù)估計(jì)的MSE 都很?。捎谛螤顓?shù)難以估計(jì)，經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法對(duì)于α的估計(jì)容易受到初始值的影響，所以形狀參數(shù)的MSE 出現(xiàn)波動(dòng)，但兩者對(duì)于形狀參數(shù)α的估計(jì)的MSE 都小于0.8，兩者間的差距不大，因此兩種算法都是穩(wěn)定的．從整體上看，經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法優(yōu)于含有懲罰項(xiàng)的極大似然估計(jì)算法．因此，從整體上看，當(dāng)n≤200時(shí)，經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法對(duì)一元偏正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)的有效性好于含有懲罰項(xiàng)的極大似然估計(jì)算法．

3 結(jié) 論

本文介紹了經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)算法，并對(duì)一元偏正態(tài)分布的位置、尺度、形狀三個(gè)參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，畫出了由估計(jì)值擬合出來(lái)的概率密度函數(shù)圖像，以絕對(duì)偏差、MSE 為標(biāo)準(zhǔn)，與現(xiàn)存的含有懲罰項(xiàng)的極大似然估計(jì)算法進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明本文所給算法優(yōu)于含有懲罰項(xiàng)的極大似然估計(jì)算法．