邵陳標(biāo)

（寧波大學(xué)附屬學(xué)校，浙江 寧波 315021）

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一。史寧中教授認(rèn)為，“數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型”[1]。這三個(gè)基本數(shù)學(xué)思想是“讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”的基礎(chǔ)和具體體現(xiàn)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）把“推理能力”作為核心概念之一，確立了推理思想的重要地位。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中所涉及的“推理思想”內(nèi)容十分豐富，筆者對(duì)“推理思想”的內(nèi)涵與具體體現(xiàn)做了分析梳理，并提出相應(yīng)的教學(xué)策略。

一、“推理思想”的內(nèi)涵

（一）推理思想的概念

推理是從一個(gè)或幾個(gè)已有的命題得出另一個(gè)新命題的思維形式[2]。廣義地說，一切數(shù)學(xué)公式、定理和法則等都是推理的結(jié)果。狹義地看，推理是從事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程?！墩n標(biāo)》指出“推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)(包括定義、公理、定理等)和確定的規(guī)則(包括運(yùn)算的定義、法則、順序等)出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論”[3]。由此可見，合情推理與演繹推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都很重要，不能厚此薄彼。

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)的合情推理和演繹推理

1.小學(xué)數(shù)學(xué)的合情推理

合情推理包括歸納推理和類比推理。歸納推理是一種從特殊到一般的推理，是一種基于推斷的推理。它包括歸納法、簡(jiǎn)單枚舉法、類比法、數(shù)據(jù)分析法等，通過歸納推理得到的結(jié)論是或然的。很多數(shù)學(xué)結(jié)論都是先通過歸納推理得到結(jié)論，再以演繹推理加以證明。如費(fèi)馬達(dá)定理幾百年前就被發(fā)現(xiàn)了，到20世紀(jì)末才被數(shù)學(xué)界證明。類比推理，是從特殊到特殊的推理方法，即依據(jù)兩類事物的相似性，用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物也具有該性質(zhì)的推理方法，也叫類比法。

研究表明，體會(huì)并逐步掌握合情推理對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新意識(shí)具有重要意義。如果說歸納更多地依賴于規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，那么類比則更多地依賴于跳躍的聯(lián)想。

2.小學(xué)數(shù)學(xué)的演繹推理

演繹推理是一種由一般到特殊的推理方法[4]。最基本的形式是三段論，它包含大前提、小前提和結(jié)論的論證形式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，很少涉及數(shù)學(xué)證明這樣嚴(yán)格規(guī)范的演繹推理，但演繹推理的思想處處可見。平行四邊形面積公式的推導(dǎo)是運(yùn)用演繹的方式得到的：通過剪拼不難發(fā)現(xiàn)拼成后的平行四邊形的面積等于長(zhǎng)方形的面積，平行四邊形的底等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，平行四邊形的高等于長(zhǎng)方形的寬，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，所以平行四邊形的面積等于底乘高。學(xué)生對(duì)演繹思想的體悟和感受，不僅有助于建立對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論確定性的信念，培養(yǎng)合乎邏輯的表達(dá)能力，同時(shí)也有助于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提高分析和解決問題的能力。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“推理思想”的具體體現(xiàn)

借鑒人教社小學(xué)數(shù)學(xué)編輯室王永春老師在《小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法》一書中對(duì)推理思想的闡述，筆者對(duì)人教版教材的推理思想進(jìn)一步梳理和歸納。

（一）合情推理的具體應(yīng)用

合情推理在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用比較廣泛。很多運(yùn)算法則、公式、定律等的推導(dǎo)與應(yīng)用，都是在列舉幾個(gè)特殊例子的基礎(chǔ)上歸納、類比得出的。

1.法則的歸納和類比

整數(shù)四則運(yùn)算的法則，都是通過幾個(gè)有限的由易到難的例子，讓學(xué)生在理解算理和口算方法的基礎(chǔ)上探索計(jì)算方法，最后進(jìn)行算法的總結(jié)，這種法則的得出就是運(yùn)用歸納法，如多位數(shù)乘一位數(shù)法則的歸納總結(jié)，多位數(shù)乘多位數(shù)的類比。

2.性質(zhì)的歸納和類比

商不變的性質(zhì)、小數(shù)的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的性質(zhì)、比和比例性質(zhì)、等式的性質(zhì)等，都是通過幾個(gè)例子，讓學(xué)生進(jìn)行探索、交流，最后歸納總結(jié)而得到的。如商不變的性質(zhì)，讓學(xué)生計(jì)算并觀察一組算式，探索并歸納規(guī)律。分?jǐn)?shù)、比的基本性質(zhì)則是在此基礎(chǔ)上的類比。

3.公式的歸納和類比

小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)量關(guān)系式與計(jì)算公式，主要是圖形的周長(zhǎng)、面積和體積公式，及比、正比例、反比例、比例尺、百分?jǐn)?shù)等的應(yīng)用和計(jì)算，是在學(xué)生探索、交流的基礎(chǔ)上歸納得到的，如長(zhǎng)方形面積的計(jì)算公式推導(dǎo)。而三角形、梯形和圓面積公式推導(dǎo)都是在類比平行四邊形面積基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。

4.定律的歸納和類比

小學(xué)生最早學(xué)習(xí)的運(yùn)算律是關(guān)于整數(shù)加法和乘法的運(yùn)算定律，引導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算幾組算式來猜想并歸納規(guī)律，由整數(shù)運(yùn)算定律類比推廣到小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算中。

5.規(guī)律的歸納和類比

小學(xué)數(shù)學(xué)中的規(guī)律主要有圖形、數(shù)列、算式的規(guī)律，乘法和除法的變化規(guī)律，排列組合的規(guī)律，這些規(guī)律的發(fā)現(xiàn)主要是通過對(duì)一些例子的觀察、比較、聯(lián)想，再提出猜想，這是歸納法的典型應(yīng)用。

6.平面與立體、數(shù)與形的類比等

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中涉及類比思想的內(nèi)容還包括數(shù)與形的類比、特殊與一般的類比、平面與立體的類比、有限與無限的類比等。學(xué)習(xí)立體圖形有關(guān)知識(shí)時(shí)，可把立體與平面進(jìn)行類比。如體積與面積進(jìn)行類比，面積是求一個(gè)平面圖形所占平面的大小，即含有多少個(gè)單位面積；體積是求一個(gè)立體圖形所占空間的大小，即含有多少個(gè)單位體積，本質(zhì)上都是用單位1 去度量。面積公式和體積公式的探索、推導(dǎo)過程和方法是類似的。

（二）演繹推理的具體應(yīng)用

演繹推理作為數(shù)學(xué)的一種重要證明方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)中雖然沒有初中類似于數(shù)學(xué)證明等嚴(yán)密規(guī)范的演繹推理，但是很多結(jié)論的推導(dǎo)過程中應(yīng)用了演繹推理的省略形式。小學(xué)生在解題時(shí)經(jīng)常不自覺地運(yùn)用演繹推理，這時(shí)，教師經(jīng)常問學(xué)生“為什么”，訓(xùn)練學(xué)生敘述推理的依據(jù)，養(yǎng)成推理有據(jù)的好習(xí)慣。小學(xué)數(shù)學(xué)演繹推理的應(yīng)用見表1[5]。

表1 小學(xué)數(shù)學(xué)演繹推理的應(yīng)用

三、小學(xué)數(shù)學(xué)“推理思想”滲透的教學(xué)策略

（一）把握總原則，明確階段性目標(biāo)

《課標(biāo)》指出“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。……推理能力的形成和提高需要一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過程?！盵6]因此，教師應(yīng)把握滲透推理思想的基本原則：適時(shí)適當(dāng)、貫穿始終。“適時(shí)適當(dāng)”指在合適的時(shí)機(jī)做合適的事，數(shù)學(xué)思想方法該露臉時(shí)就露臉，根據(jù)需要，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行提煉、歸納和概括?！柏灤┦冀K”首先指推理思想的滲透應(yīng)該是一個(gè)長(zhǎng)期的動(dòng)態(tài)發(fā)展過程；其次指推理思想滲透融合在整個(gè)教學(xué)過程中，落實(shí)到“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四個(gè)領(lǐng)域的內(nèi)容之中。

例如，平面圖形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)中，推理思想貫穿始終，逐級(jí)上升。在“長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算”教學(xué)時(shí)，作為學(xué)習(xí)平面圖形面積計(jì)算的起始課，突出對(duì)面積計(jì)算的意義理解，建立計(jì)算公式與乘法意義的聯(lián)系，初步體驗(yàn)歸納思想。在推導(dǎo)“平行四邊形的面積計(jì)算公式”中著重突出“轉(zhuǎn)化（即化歸）”思想；在探索“三角形面積”時(shí)，通過對(duì)三角形分類研究，突出歸納推理；而當(dāng)學(xué)習(xí)“梯形面積”時(shí)，放手讓學(xué)生自主探索梯形面積計(jì)算公式，自覺運(yùn)用歸納和類比推理。到學(xué)習(xí)“圓的面積”時(shí)，通過“類比”將圓“轉(zhuǎn)化”為學(xué)過的圖形，感受化曲為直過程中的類比、極限等思想。并在解決組合圖形面積問題時(shí)，強(qiáng)化歸納、類比等思想，從而提升對(duì)推理思想的認(rèn)識(shí)。

因此，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生與教材實(shí)際，準(zhǔn)確把握教學(xué)要求和滲透推理思想的“度”與“量”，進(jìn)行合理準(zhǔn)確的目標(biāo)定位，做到有意識(shí)、有目的地凸現(xiàn)推理思想。

根據(jù)《課標(biāo)》關(guān)于“數(shù)學(xué)思考”分階段的目標(biāo)要求，以及不同年齡學(xué)生推理能力的發(fā)展水平，建構(gòu)分層次、分階段的目標(biāo)體系（參見表2、表3）。

（二）設(shè)計(jì)有效活動(dòng)，經(jīng)歷推理全過程

推理思想滲透要求學(xué)生自己“悟”，不應(yīng)強(qiáng)行灌輸，這種“悟”只有在親歷數(shù)學(xué)活動(dòng)中才能進(jìn)行。因此，教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比等“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)探索發(fā)現(xiàn)，經(jīng)歷生動(dòng)直觀的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展合情推理和演繹推理能力。

1.經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過程

著名心理學(xué)家朱智賢說過：“小學(xué)生思維是以形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式?！币虼耍谛W(xué)數(shù)學(xué)推理教學(xué)中，教師既要允許學(xué)生“大膽猜測(cè)”，又要引導(dǎo)學(xué)生“小心求證”，逐步意識(shí)到結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)，從而由合情推理過渡到演繹推理，感悟推理思想。

表2 小學(xué)合情推理教學(xué)目標(biāo)

表3 小學(xué)演繹推理教學(xué)目標(biāo)

案例1：“三角形內(nèi)角和”教學(xué)中的推理片段

第一環(huán)節(jié)：游戲?qū)?，引發(fā)猜想

（1）課件出示三角形的一個(gè)角，猜猜是什么三角形？復(fù)習(xí)三角形的分類，認(rèn)識(shí)三角形的“內(nèi)角”。

（2）演示拉動(dòng)三角形頂點(diǎn)，使高慢慢增長(zhǎng)或縮短，觀察：拉動(dòng)過程中，三角形的三個(gè)內(nèi)角會(huì)有什么變化？想象一下：不斷上拉或下拉，內(nèi)角會(huì)怎么樣？在討論中形成猜想：內(nèi)角和可能是固定的，可能180度等。

（3）聚焦問題：如何來驗(yàn)證我們的猜想？

第二環(huán)節(jié)：操作實(shí)驗(yàn)，推理驗(yàn)證

（1）討論用什么樣的材料驗(yàn)證。三角形有無數(shù)個(gè)，對(duì)哪些三角形驗(yàn)證才能說明問題？得出按角分類的三角形作為研究材料，分類驗(yàn)證。

（2）討論驗(yàn)證方法，學(xué)生先說說打算用哪些方法。

（3）小組合作探究。提供各種類型的三角形和幾張長(zhǎng)方形、正方形紙片。

（4）全班交流匯報(bào)。①測(cè)量的方法，展示各種三角形測(cè)得的度數(shù)，討論這種方法有什么問題？如何避免誤差？

②剪拼的方法。分別剪下三角形三個(gè)角拼成平角；折拼成平角的。

③初步推理。通過沿長(zhǎng)方形對(duì)角線對(duì)折得到兩個(gè)三角形，推理得到每個(gè)直角三角形的內(nèi)角和。質(zhì)疑：你怎么知道兩個(gè)直角三角形完全相同？這樣做證明了什么？銳角和鈍角三角形不能像這樣正好拼成長(zhǎng)方形，它們的內(nèi)角和是180°怎么來說明呢？學(xué)生結(jié)合圖示驗(yàn)證：在三角形內(nèi)作高，分成兩個(gè)直角三角形驗(yàn)證。

（5）課件演示剪拼、推理過程，介紹發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的科學(xué)家帕斯卡。再用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示不同形狀三角形內(nèi)角度數(shù)，使學(xué)生感受到三角形內(nèi)角和與三角形大小形狀無關(guān)。

以上過程，提供充足的探究時(shí)間和材料，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“猜想——操作——驗(yàn)證——再操作——再驗(yàn)證”的推理過程。第一環(huán)節(jié)的演示觀察、形成猜想是合情推理的過程，第二環(huán)節(jié)的剪拼法則是演繹推理的過程。這樣教學(xué)，學(xué)生不再停留于表面現(xiàn)象，而通過抓住轉(zhuǎn)化為平角的本質(zhì)，探索各類三角形的內(nèi)角和規(guī)律。不僅呈現(xiàn)了知識(shí)發(fā)現(xiàn)與形成過程，更加關(guān)注由合情推理過渡到演繹推理，兩者有機(jī)融合，促進(jìn)和諧發(fā)展。

2.經(jīng)歷歸納推理到類比推理的過程

數(shù)學(xué)中歸納和類比往往相輔相成，經(jīng)過歸納推理得到的結(jié)論需要進(jìn)一步通過類比拓展運(yùn)用。因此，教師既要注重新舊知識(shí)間的聯(lián)系轉(zhuǎn)化，又要讓學(xué)生經(jīng)歷歸納到類比推理的過程，運(yùn)用類比推理解決新問題，發(fā)現(xiàn)新規(guī)律，提高推理能力。

案例2：“多邊形的內(nèi)角和”教學(xué)片段

第一環(huán)節(jié)：探索四邊形的內(nèi)角和

（1）出示一個(gè)三角形，如果剪掉一個(gè)角，剩下的是什么圖形？大膽猜想一下四邊形的內(nèi)角和是多少度？

（2）驗(yàn)證猜想，解決問題

①思考：我們學(xué)過的四邊形有哪些？出示長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形等。你準(zhǔn)備用什么方法驗(yàn)證你的猜想？（生：用量角器量；剪拼法；分割法。）

②小組合作，選擇你喜歡的方式來驗(yàn)證。

③交流反饋：你們組是怎么研究的？得出什么結(jié)論？

（3）回顧與反思：剛才證明了四邊形的內(nèi)角和是360°，最好的辦法是怎樣的？把這個(gè)四邊形分割成兩個(gè)三角形，兩個(gè)三角形的內(nèi)角和為什么就是四邊形的內(nèi)角和呢？

第二環(huán)節(jié)：類推多邊形內(nèi)角和

（1）思考：如何求五邊形、六邊形的內(nèi)角和？

（2）分析：多邊形內(nèi)角和與三角形個(gè)數(shù)有什么關(guān)系呢？是否存在規(guī)律？學(xué)生小組討論，通過列表觀察、推理，發(fā)現(xiàn)多邊形邊數(shù)與分割成的三角形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系：多邊形邊數(shù)比三角形個(gè)數(shù)多2，即n邊形可分為（n-2）個(gè)三角形，最終得出公式：n 邊形的內(nèi)角和=180°×（n-2）。

上述過程中，探究四邊形內(nèi)角和環(huán)節(jié)，學(xué)生自主猜想、用不同方法驗(yàn)證不同的四邊形內(nèi)角和，由特殊四邊形到一般四邊形，經(jīng)歷不完全歸納推理的過程，同時(shí)感悟轉(zhuǎn)化思想，經(jīng)歷“再創(chuàng)造”。

在此基礎(chǔ)上，借助探究四邊形內(nèi)角和的經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”策略，將多邊形分割成若干個(gè)三角形，類比推理多邊形的內(nèi)角和，體驗(yàn)內(nèi)角和公式的猜想與歸納過程，從而體會(huì)感悟歸納思想，實(shí)現(xiàn)思維能力的提升。

（三）以問題解決為核心，把握推理的層次性和差異性

由于數(shù)學(xué)思想方法具有概括性和層次性，為避免數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)在同一水平上反復(fù)，有必要根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)，圍繞問題解決，理清內(nèi)在的邏輯層次，把握好推理思想教學(xué)的層次性和差異性，經(jīng)歷自主探索問題、解決問題的過程，不斷激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造潛能，鍛煉學(xué)生邏輯思維能力。

1.經(jīng)歷“猜想——驗(yàn)證”過程，體現(xiàn)層次性

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)是在反復(fù)理解和運(yùn)用中形成的，是一個(gè)低級(jí)到高級(jí)螺旋上升過程。因此，對(duì)同一種數(shù)學(xué)思想的體悟，應(yīng)注意不同階段的再現(xiàn)，甚至在一節(jié)課的不同階段，呈現(xiàn)不同的層次與形式，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解。

案例3 人教版四下“三角形的三邊關(guān)系”

第一環(huán)節(jié)：提出猜想，生成問題

通過“倒過來說”的游戲，引出一個(gè)挑戰(zhàn)性問題——三條線段一定能圍成一個(gè)三角形嗎？

生1：能圍成一個(gè)三角形。

生2：不一定能，當(dāng)兩條很短的線段和一條長(zhǎng)的線段圍起來時(shí)，不能圍成。

生3：有的能，有的不能，要看線段的長(zhǎng)度。

師：三條線段到底能不能圍成一個(gè)三角形呢？我們可以動(dòng)手做一做來驗(yàn)證。

第二環(huán)節(jié)：操作感悟，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

首先只提供兩根吸管，讓學(xué)生獨(dú)立思考、操作，通過小組合作，展示交流兩種圍不成的情況。著重討論“兩條線段的和等于第三條”時(shí)，提供4、6、10 厘米的線段，讓學(xué)生展開想象，通過課件演示來驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)“較短兩條線段的和等于第三條時(shí)，圍不成一個(gè)三角形”。

在此基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)“較短的兩條線段小于或等于第三條時(shí)，不能圍成三角形”，“較短的兩條線段大于第三條時(shí)，能圍成三角形”，歸納得出：任意兩條線段的和大于第三條，能圍成一個(gè)三角形。

最后，“反過來說”得出“要圍成一個(gè)三角形，必須任意兩條線段的和大于第三條”的新猜想。

第三環(huán)節(jié)：再次猜想，驗(yàn)證結(jié)論

追問：是不是任意一個(gè)三角形的三條邊之間，都具有這樣的關(guān)系呢？你可以想什么辦法來驗(yàn)證？ 讓學(xué)生通過畫任意三角形、算一算等方法自主收集例證，進(jìn)一步理解、驗(yàn)證規(guī)律。

上述過程，經(jīng)歷兩次“猜想——驗(yàn)證——結(jié)論”的豐富而完整的不完全歸納的問題解決過程。在發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的過程中積累推理經(jīng)驗(yàn)，鍛煉邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，促進(jìn)學(xué)生思維水平的不斷提升。

2.體驗(yàn)多種表征方式，體現(xiàn)差異性

學(xué)生之間的差異是客觀存在的，教師應(yīng)根據(jù)不同學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，提供展示交流的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生用多種方式表達(dá)問題解決的過程，展示各自的推理與思考過程，鍛煉初步的推理能力。

案例4 人教版二下“數(shù)學(xué)廣角——推理”例1教學(xué)片段

例1 猜書游戲中有3個(gè)條件——每人各拿一本書（共3 本），小紅拿了語文書，小麗拿的不是數(shù)學(xué)書。為了幫助學(xué)生順利梳理信息間的相互關(guān)系，可以用課件動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)“有語文、數(shù)學(xué)和品德三本書，下面三人各拿一本”，再分別出示小紅和小麗所說的話，最后出示問題，引導(dǎo)學(xué)生分析題目的已知條件和問題。學(xué)生獨(dú)立思考后，引導(dǎo)他們用自己喜歡的方式記錄解決問題的過程。學(xué)生交流反饋：

生1：我是根據(jù)“小紅拿的是語文書”先確定小紅拿了語文書；根據(jù)“小麗拿的不是數(shù)學(xué)書”確定小麗拿了品德書，最后小剛拿的是數(shù)學(xué)書。

生2：我用的是連線方法得到的（參見圖1）。

圖1

生3：我是列表解決的（參見表4）。

表4

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)比較三種表征方法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用列表方法輔助推理，不但能把情境圖中復(fù)雜的信息簡(jiǎn)潔、有序地呈現(xiàn)出來，而且能簡(jiǎn)化解決問題的思路，過程清晰，一目了然。三種表征方法都要抓住關(guān)鍵信息，有序分析，直到推出結(jié)論。

在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，為幫助學(xué)生學(xué)會(huì)不同策略解決問題，最后設(shè)計(jì)“接力比賽順序”一題：明明、丁丁、小杰和小松代表班級(jí)參加接力比賽。明明說“我不是第一棒。”丁丁說“我不是第一棒，但是我也不是最后一棒?！毙〗苷f：“我是第3棒?！蹦阒浪麄兪窃趺磁诺?？

由于信息的增加，引發(fā)學(xué)生列表整理信息的內(nèi)在需求，引導(dǎo)學(xué)生在比較中體會(huì)列表方法的價(jià)值，從而自覺地應(yīng)用列表策略解決問題，為后續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)雜推理問題奠定了基礎(chǔ)，積累推理經(jīng)驗(yàn)。

總之，推理思想的滲透與各領(lǐng)域知識(shí)的學(xué)習(xí)是一個(gè)有機(jī)結(jié)合的過程，這種滲透不是一朝一夕之事，需要“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無聲”。教師要充分挖掘教材中蘊(yùn)含推理思想的素材，讓學(xué)生在掌握知識(shí)與技能的同時(shí)，感悟推理思想，發(fā)展思維能力，形成終生受用的數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不斷提升?！?/p>