王強(qiáng)國

（寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)，江蘇 寶應(yīng)縣 225800）

在小學(xué)數(shù)學(xué)的核心詞中，“空間觀念”自誕生以來名稱從未變更，是教師十分熟悉的核心詞之一。但一線的教師似乎更擅長能力的培養(yǎng)，如運(yùn)算能力等，一旦定位為“觀念”，不少教師覺得有些玄乎，從內(nèi)涵的解讀到策略的探尋，因而“空間觀念”也成為教師“最熟悉的陌生人”！盡管提出多年，但實(shí)際教學(xué)效果不容樂觀，有必要引起重視，更好地落實(shí)相關(guān)課程目標(biāo)。

一、“空間觀念”的內(nèi)涵解讀

（一）課標(biāo)的詮釋

教育部《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》認(rèn)為：“空間觀念主要表現(xiàn)在：能由實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物的形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)換；能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形；能從復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系；能描述實(shí)物或幾何圖形的運(yùn)動(dòng)與變化；能采用適當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的位置關(guān)系；能運(yùn)用圖形形象地描繪問題，利用直觀進(jìn)行思考?！盵1]

教育部《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》修改為：“空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描繪的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描繪圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等?！盵2]

兩種表述均從行為表現(xiàn)的角度陳述“空間觀念”?！罢n標(biāo)實(shí)驗(yàn)稿”的內(nèi)容很豐富，涉及空間想象方面的表現(xiàn)，包括兩種轉(zhuǎn)換；動(dòng)手操作方面的表現(xiàn)：制作與畫圖；空間分析方面的表現(xiàn)：復(fù)雜圖形的分解、分析；空間描述方面的表現(xiàn)：描述運(yùn)動(dòng)變化、位置關(guān)系；用圖形描述問題和直觀思考，相當(dāng)于課標(biāo)的另一個(gè)核心詞“幾何直觀”。相比而言，“課標(biāo)2011 年版”的解釋更為精煉、概括，意在突出重點(diǎn)、削枝強(qiáng)干。在空間想象方面，增加了想象方位和位置關(guān)系，補(bǔ)充根據(jù)特征抽象出幾何圖形。這里的特征顯然是指幾何特征，“幾何圖形”應(yīng)該包括平面圖形、立體圖形及其三視圖與展開圖。兩種表述中的“想象”，都是以空間表象水平的再認(rèn)、再現(xiàn)及聯(lián)想為主，也都體現(xiàn)出這樣的過程：從形象到表象，從表象到抽象，從抽象到形象，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷完整的“數(shù)學(xué)化”的過程。

（二）相關(guān)的解讀

美國新澤西州的數(shù)學(xué)課程框架認(rèn)為：空間觀念是對于圖形和空間的直觀感覺，它涉及傳統(tǒng)的幾何概念，例如對于幾何圖形的識別、想象、表征、變換的能力；也包含其他的一些非正式的方式去看待二維和三維的空間，例如折紙、變換、鑲嵌、對稱、投影等[3]。全美數(shù)學(xué)教師理事會（NCTM）在《學(xué)校數(shù)學(xué)的課程與評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》中指出：空間觀念是對一個(gè)人周圍環(huán)境和實(shí)物的直接感知；對于二維、三維圖形及其性質(zhì)的領(lǐng)會和感知，圖形之間的相互關(guān)系和變換圖形的效果是空間觀念的重要方面[4]。

國內(nèi)，一些專家學(xué)者圍繞“課標(biāo)”中的解釋，給出更為學(xué)術(shù)化的描述。王林全認(rèn)為，學(xué)生的空間觀念包含圖形的識別與理解能力、圖形的分解與組合能力、圖形的建構(gòu)與探索能力、對圖形的運(yùn)動(dòng)與變換的欣賞和利用幾何直觀解決問題能力五個(gè)基本成分。其中，圖形的識別與理解能力是空間觀念的基礎(chǔ)，圖形的分解與組合能力是空間觀念得以健康發(fā)展的基本條件，良好的圖形的建構(gòu)與探索能力是空間觀念發(fā)展的標(biāo)志，對圖形的運(yùn)動(dòng)與變換的欣賞是空間觀念逐步成熟的前提，利用幾何直觀解決問題的能力是空間觀念成熟的標(biāo)志[5]。劉曉玫認(rèn)為，小學(xué)生的空間觀念的成分與要素主要包含軸對稱、旋轉(zhuǎn)、方向與位置、視圖四個(gè)方面，并將小學(xué)生的空間觀念的發(fā)展劃分為直觀想象階段、直觀想象與簡單分析抽象階段、直觀想象與復(fù)雜分析階段三個(gè)水平[6]。

二、“空間觀念”的基本特征

對“空間觀念”的認(rèn)知，除了對其內(nèi)涵的深刻理解，還應(yīng)當(dāng)關(guān)注兒童形成與發(fā)展“空間觀念”的特征，體現(xiàn)主體與客體的雙重推進(jìn)。實(shí)踐中，對“空間觀念”特征的把握，有助于我們理性地面對教學(xué)中的得與失，繼而尋找出更為豐富有效的教學(xué)對策。

1.直觀性

直觀性是“空間觀念”最基本的特征，也是學(xué)生形成與發(fā)展空間觀念的起點(diǎn)與支撐。“空間觀念主要是指根據(jù)物體特征……”從其內(nèi)涵中可見：“形象的建立”與“適度地抽象”是“空間觀念”培養(yǎng)的關(guān)鍵。首先，直觀性體現(xiàn)于認(rèn)識圖形屬性時(shí)的選擇性層面。對直觀性較強(qiáng)的屬性學(xué)生容易感知，而那些不太明顯的屬性特征往往會被忽略。如長方形、正方形的各部分名稱以及周長與面積的計(jì)算容易理解，而對圓的相關(guān)概念的理解困難許多，因?yàn)榍罢叨际秋@現(xiàn)的，后者有些則是隱現(xiàn)的，以半徑為例，在正式畫出前，學(xué)生是看不見的，也是難以想象的。其次，直觀性表現(xiàn)為解決相關(guān)實(shí)際問題的思維層面，學(xué)生更擅長圖文結(jié)合類的題型，對于純文字表述的問題理解困難。最后，“空間觀念”的直觀性還表現(xiàn)在學(xué)生對概念或性質(zhì)的描述層面。低年級的兒童對圖形的描述通常會用日常生活的語言表述，如三角形學(xué)生會說成“三角”，正方形會表述為“方塊”等。

2.過程性

過程性首先體現(xiàn)于學(xué)生的空間表象的建立，研究表明：學(xué)生的空間表象不是以他們的空間環(huán)境感覺讀出的，而是從早些那些環(huán)境的活動(dòng)操作中構(gòu)造的，他們是依靠經(jīng)驗(yàn)開始幾何學(xué)習(xí)并逐步形成空間觀念的[7]。學(xué)生相關(guān)經(jīng)驗(yàn)的積累是一個(gè)不斷重建的過程。其次，“空間觀念”相關(guān)內(nèi)容的編排體現(xiàn)出過程性。以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“平面圖形”為例，教材分多次教學(xué)，低年級重點(diǎn)是從實(shí)物中抽象出圖形，中高年級完成圖形特征的認(rèn)知以及面積與周長的計(jì)算，中間穿插圖形的位置轉(zhuǎn)換等知識點(diǎn)，時(shí)間維度幾乎跨越了整個(gè)小學(xué)階段。類似的學(xué)生從二維空間進(jìn)入到三維空間，從平面圖到三維圖也有一個(gè)過程。最后，課程目標(biāo)的表述方式也體現(xiàn)出“過程性”的特征?！罢n標(biāo)2011年版”在空間與圖形課程目標(biāo)的表述中，多使用“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”“探索”等詞匯，而這些都是描述過程性目標(biāo)的詞匯。

3.遷移性

數(shù)學(xué)知識的環(huán)環(huán)相扣與螺旋上升，使得遷移學(xué)習(xí)普遍存在?！翱臻g觀念”的建立中也是如此。一方面體現(xiàn)在幾何概念的理解。如長方形、正方形、三角形、圓的周長，雖然在具體敘述時(shí)有一定的差異，計(jì)算公式有所區(qū)別，但本質(zhì)都是指圍成一個(gè)圖形的所有邊長的總和，這為學(xué)生后續(xù)的理解認(rèn)知提供正向指引。另一方面，還體現(xiàn)在對幾何圖形的研究方式上。比如對一個(gè)圖形的研究我們通常從它的邊和角開始。當(dāng)然，在實(shí)際的教學(xué)中，由于學(xué)生對“直觀性”的偏重以及“標(biāo)準(zhǔn)樣式”的依賴，我們也要注意“負(fù)遷移”的影響，小學(xué)數(shù)學(xué)中主要是二維圖對三維圖的影響。如“6 根一樣長的小棒擺同樣的三角形，最多能擺出幾個(gè)？”學(xué)生往往想到的是二維圖（圖1），想不到三維圖（圖2）。

圖1

圖2

三、“空間觀念”的教學(xué)要點(diǎn)

（一）加強(qiáng)兩種直觀

1.動(dòng)作直觀

動(dòng)作直觀通過實(shí)際的動(dòng)作達(dá)到直觀的效果。在小學(xué)圖形與幾何內(nèi)容中主要包括實(shí)驗(yàn)活動(dòng)（如圖形的拼擺、折疊、測量等）與畫圖兩種。實(shí)驗(yàn)活動(dòng)豐富了數(shù)學(xué)課程的教學(xué)資源，關(guān)注了小學(xué)生的年齡特征與認(rèn)知特征，是一種行之有效的教學(xué)對策，備受追捧。而作為學(xué)習(xí)幾何的常規(guī)的直觀手段，畫圖至今沒有受到應(yīng)有的重視。一方面，在小學(xué)階段，“課標(biāo)2011 年版”關(guān)于畫圖的目標(biāo)設(shè)置比較單一，僅在第二學(xué)段提出：在方格紙上簡單畫圖，會用圓規(guī)畫圓、能畫指定度數(shù)的角等；另一方面，在教學(xué)實(shí)踐中，畫圖處于可有可無的地位，“平時(shí)用不著、用時(shí)想不到”。與實(shí)驗(yàn)活動(dòng)相比，畫圖是對客觀條件要求最低，能夠“隨身攜帶”的直觀手段。教學(xué)中，需要注意以下三點(diǎn)：一是加強(qiáng)畫法指導(dǎo)。教者應(yīng)該將作圖方法的講解納入教學(xué)的流程之中，適時(shí)、適度地講解畫法，可結(jié)合具體的題型，采用教師的板畫的方式，呈現(xiàn)完整的作圖過程。二是簡化畫圖的過程。淡化一些形式化的東西，如畫圖一定要用直尺等，允許學(xué)生“畫草圖”，只要能表達(dá)出題意，反映出數(shù)量關(guān)系即可。三是感悟畫圖的價(jià)值。要精選合適的題型，讓學(xué)生在問題解決中充分感受畫圖的價(jià)值，注重畫圖解題的習(xí)慣與意識的培養(yǎng)。

2.視覺直觀

觀察是智力活動(dòng)的門戶，是一種有思維參與的積極的感知活動(dòng)。對于小學(xué)生而言，其觀察能力的發(fā)展與空間觀念的發(fā)展幾乎一致，主要表現(xiàn)為：從感知強(qiáng)刺激成分到感知弱刺激成分；從認(rèn)識單一要素到認(rèn)識要素關(guān)系；從熟悉標(biāo)準(zhǔn)圖形到熟悉變式圖形。[8]視覺直觀的呈現(xiàn)方式主要有靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種：靜態(tài)的視覺直觀價(jià)值主要在于提供參照、建立表象；動(dòng)態(tài)的視覺直觀則有揭示規(guī)律、建立聯(lián)系等功能。在空間觀念培養(yǎng)的教學(xué)中，一線教師存在偏靜態(tài)輕動(dòng)態(tài)的傾向，原因一是過高估計(jì)了學(xué)生的認(rèn)知能力，二是動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)的前期準(zhǔn)備相對繁瑣，應(yīng)該給予糾正。這里的“動(dòng)態(tài)”應(yīng)該是廣義的，可以分為兩類：一是多個(gè)元素的相互比照。如“長方形與正方形的認(rèn)識”，教學(xué)中，借助方格紙出示兩個(gè)完全一樣的長方形，然后將其中的一個(gè)演變?yōu)檎叫?，觀察比較兩者的異同。二是同一元素的前后變化。如“圓的面積”教學(xué)，將一個(gè)圓若干等分，拼成一個(gè)近似的長方形，推導(dǎo)其計(jì)算公式。值得注意的是，無論是靜態(tài)或動(dòng)態(tài)，在視覺直觀的基礎(chǔ)上，一定要引導(dǎo)學(xué)生比較與歸納，體會其中的變與不變。當(dāng)然，動(dòng)作直觀中必然有視覺的直觀，視覺直觀中也常常包含動(dòng)作直觀的成分。實(shí)踐中，應(yīng)該緊扣實(shí)質(zhì)：通過直觀，豐富學(xué)生的幾何認(rèn)知，促進(jìn)空間觀念的形成。

（二）注重兩個(gè)結(jié)合

1.語言與形象的結(jié)合

在學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)中，語言是僅次于直觀的重要手段。實(shí)質(zhì)上語言是一種用符號表示的有一定法則的形象系統(tǒng)。形象與語言在某種程度上是糾結(jié)在一起的，處于一種互補(bǔ)的關(guān)系之中。兩者的結(jié)合，能夠促進(jìn)學(xué)生對表象的建立。實(shí)踐中，一方面要突出口頭語言對形象的表征。如“認(rèn)識三角形”，出示一組圖形，讓學(xué)生判斷哪些是三角形。在這個(gè)過程中，可以引導(dǎo)學(xué)生說說這樣判斷的理由，以突顯三角形的本質(zhì)特征。值得注意的是，在學(xué)生表述的過程中，教師應(yīng)該恰當(dāng)指導(dǎo)，適時(shí)引入幾何語言同化、矯正日常用語。以“平移和旋轉(zhuǎn)”為例，在描述位置關(guān)系時(shí)，學(xué)生的說法可能較多，教者要引導(dǎo)學(xué)生表述為：“繞（）點(diǎn)，（）時(shí)針方向，旋轉(zhuǎn)（ ）度?！绷硪环矫?，要注重書面語言對形象的定性。即出示圖形時(shí)，要配以適當(dāng)?shù)奈淖终f明。如“長方形的面積”，出示一組長方形，習(xí)慣用語是“求下列圖形的面積”，其理由是小學(xué)幾何是直觀幾何，允許學(xué)生“看出像什么，就是什么”，理所當(dāng)然但值得商榷，應(yīng)該準(zhǔn)確地表述為“求下列長方形的面積”，有意識地語言介入，會幫助學(xué)生逐步擺脫單純的直觀依賴。

2.數(shù)值與圖形的結(jié)合

“數(shù)形結(jié)合”包含兩方面的轉(zhuǎn)化：一是從數(shù)量的解讀到圖形的解讀，以形助數(shù)；二是從圖形的解讀到數(shù)量的解讀，以數(shù)解形。小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，前者運(yùn)用較多，即在圖形的輔助下，化抽象為直觀，實(shí)現(xiàn)規(guī)律的尋覓與解法的探究。但在圖形與幾何領(lǐng)域的教學(xué)中，我們既需要對圖形以及位置關(guān)系等進(jìn)行定性的刻畫，又離不開定量的刻畫。在空間觀念的培養(yǎng)中，數(shù)與形的結(jié)合其價(jià)值主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一是降低空間想象的難度。如“面積單位”總復(fù)習(xí)，有這樣的習(xí)題：一間舞蹈房的地面面積大約40（ ）。要求在括號里填入合適的面積單位，教學(xué)中有一定的難度，個(gè)別學(xué)生正確填空后，仍然無法確定，因?yàn)閷W(xué)生腦中有1平方米的表象，40平方米有多大，即使成年人也不一定能夠想象。這時(shí)，我們可以進(jìn)一步豐富數(shù)值，根據(jù)長方形面積=長×寬，將“40”拆分為兩個(gè)數(shù)的積：40×1，20×2，10×4，8×5，然后引導(dǎo)學(xué)生展開想象。二是提升空間推理能力。如“用12 個(gè)邊長1 厘米的小正方形，拼成一個(gè)長方形，有幾種拼法？拼成的長方形周長、面積各是多少？”由于數(shù)值的參與，題目的內(nèi)涵深刻許多，在拼組與計(jì)算的過程中，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：面積一定，當(dāng)長、寬越接近時(shí)，周長越小，反之也成立。同樣的邏輯在立方體的相關(guān)題型中一樣具備。事實(shí)上，在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”既是一種數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也表現(xiàn)出一定的教學(xué)法的意義。

（三）化解兩種障礙

1.前概念障礙

生活中，學(xué)生對于線、體、面的大小、長短以及位置關(guān)系等有著廣泛的接觸，前概念的影響明顯。一方面來源于先入為主的日常生活經(jīng)驗(yàn)。以“線段、射線、直線”的認(rèn)識為例，在生活中，線段是學(xué)生接觸最多的，如物體的邊沿等，而射線、直線很少見（尤其是直線幾乎見不到），學(xué)生很難想象，直線、射線可以無限延伸、無限長，在學(xué)生的認(rèn)知中，只要是直的線就是直線。即使對于線段，所見到的也沒有端點(diǎn)，因此，學(xué)生經(jīng)常忘記標(biāo)記線段的兩個(gè)端點(diǎn)，無法確信直線和射線的長度無法比較等。另一方面來源于語詞帶來的曲解。如“角的認(rèn)識”，在學(xué)習(xí)這一幾何概念前，學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)是語文學(xué)科教學(xué)中的“墻角”“桌角”“牛角”“羊角”等，并且學(xué)生知道，牛角比羊角大。因而，在教學(xué)角的大小與邊的長短的關(guān)系時(shí)，學(xué)生困難重重。此外，教學(xué)中，標(biāo)準(zhǔn)圖形的過渡強(qiáng)化也容易產(chǎn)生干擾，比如“等腰三角形”，教材給出的多為頂角在上、底邊水平放置的圖形，這樣的圖示，有利于結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)理解概念（腰、頂角、底角），但過渡的強(qiáng)化，往往使得學(xué)生在面對倒立或者斜放的等腰三角形時(shí)，無法判斷相關(guān)概念。面對學(xué)生的前概念，教學(xué)中，教者應(yīng)該適時(shí)地引入相關(guān)幾何概念的生活原型，注重變式（形體位置等）練習(xí)，在對比中強(qiáng)化概念的教學(xué)。

2.知覺障礙

從知覺層面看，以下兩種障礙影響著學(xué)生空間觀念的形成：一是空間識別障礙，是指對物體的形狀、長度、高度、大小以及位置關(guān)系等的識別障礙。這一障礙也體現(xiàn)出學(xué)生空間識別能力發(fā)展的階段性，如小學(xué)低年級學(xué)生對于比較近的對象有一定的識別能力，而對于比較遠(yuǎn)的對象識別困難。再如兩個(gè)大小不同的正方體，起初學(xué)生只能進(jìn)行定量的判斷，誰大誰小，隨著認(rèn)知能力與水平的積累，學(xué)生逐漸可以進(jìn)行定量的刻畫，大一點(diǎn)還是大得多？兩者大約是幾倍的關(guān)系等。當(dāng)然，空間識別能力在學(xué)生個(gè)體發(fā)展中具有差異性，有的學(xué)生發(fā)展得比較快，稍加練習(xí)即可，有的學(xué)生則需要多次訓(xùn)練、不斷強(qiáng)化。二是視覺知覺障礙。主要表現(xiàn)為：不能積極而有效地運(yùn)用視覺知覺符號與大腦中儲存的圖式與概念建立聯(lián)系[9]。如觀察長方體，學(xué)生會習(xí)慣性地猜摩它的原型（是一個(gè)什么物品的包裝盒）、大小、顏色等。而不能聯(lián)結(jié)“長”“寬”“高”“棱”等概念，無法建立“表面積”“體積”等表象。在面對具體的問題情境時(shí)，熟知表面積、體積的計(jì)算公式，可能還會十分困難。事實(shí)上，知覺障礙不僅存在于學(xué)生的學(xué)習(xí)中，成年人同樣具有。教學(xué)時(shí)，一方面要基于直觀也要超越直觀，及時(shí)地抽象；另一方面，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的“數(shù)學(xué)化”的過程，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方式觀察思考等，從而巧妙化解上述障礙。

綜上所述，“空間觀念”的建立有其自身的特征。小學(xué)生“空間觀念”的培養(yǎng)需要立足生活的原型，也需要一定的想象能力。教學(xué)中，應(yīng)該直面學(xué)生的認(rèn)知障礙，引領(lǐng)學(xué)生多種感官的參與，注重教學(xué)方式的豐富性，以促進(jìn)學(xué)生“空間觀念”的發(fā)展與提升！▲