馬 雪，劉羽白，雷擁軍，田科豐，陸棟寧，辛優(yōu)美

(1. 北京控制工程研究所，北京 100094；2. 空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094)

0 引 言

大部分環(huán)繞中心天體的航天器軌道都是偏心率近似等于零的圓軌道，航天器在一個(gè)軌道周期內(nèi)軌道高度相等，以勻角速度運(yùn)行。然而，一些航天任務(wù)需要將衛(wèi)星運(yùn)行至偏心率不為零的橢圓軌道上，以滿足某些特定的對(duì)地需求。例如美國(guó)的KH系列衛(wèi)星，運(yùn)行在近地點(diǎn)260 km、遠(yuǎn)地點(diǎn)1000 km左右的太陽(yáng)同步軌道上，主要功能為在近地點(diǎn)進(jìn)行更高分辨率的成像。KH系列衛(wèi)星的拱線經(jīng)過(guò)妥善設(shè)計(jì)，例如KH-12，在標(biāo)稱軌道上111天內(nèi)可以通過(guò)自然攝動(dòng)實(shí)現(xiàn)近地點(diǎn)星下點(diǎn)的全球覆蓋(如圖1所示)。不僅如此，還攜帶5～7 t燃料，用以調(diào)整拱線和軌道高度，實(shí)現(xiàn)任意區(qū)域的近地點(diǎn)詳查[1-2]。又例如俄羅斯的閃電軌道通信衛(wèi)星，運(yùn)行在遠(yuǎn)地點(diǎn)40000 km的12 h軌道上，主要功能為在遠(yuǎn)地點(diǎn)為高緯度地區(qū)進(jìn)行通信覆蓋[3]。此外，深空探測(cè)器由于受到捕獲能量的限制或具有多目標(biāo)任務(wù)的特點(diǎn)，往往也采用大橢圓軌道。例如水星探測(cè)器MESSAGE[4]、木星探測(cè)器JUNO[5-6]等。深空探測(cè)器上的科學(xué)載荷最佳工作區(qū)域同樣位于近地點(diǎn)附近。事實(shí)上，在行星科學(xué)領(lǐng)域，科學(xué)家對(duì)行星不同緯度上的地貌和成分差異關(guān)注度較大。然而僅依靠微弱的軌道攝動(dòng)作用，在航天器有限的任務(wù)期間內(nèi)大多難以實(shí)現(xiàn)近地點(diǎn)對(duì)整個(gè)緯度的遍歷。這就導(dǎo)致單一航天任務(wù)無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)天體的全球范圍詳查，影響深空任務(wù)的完成質(zhì)量。

綜上所述，橢圓軌道衛(wèi)星星上載荷的工作弧段多位于近/遠(yuǎn)地點(diǎn)附近，因此在對(duì)地任務(wù)上不具有連續(xù)性。而針對(duì)拱線星下點(diǎn)覆蓋的軌道設(shè)計(jì)和拱線指向控制，目前已有實(shí)際的星上應(yīng)用實(shí)例，并在日益復(fù)雜的航天任務(wù)下，具有較為強(qiáng)烈的需求。

然而，目前利用傳統(tǒng)的化學(xué)推進(jìn)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對(duì)橢圓軌道衛(wèi)星拱線星下點(diǎn)對(duì)地變換與覆蓋的人工控制的燃料消耗較大，進(jìn)行軌道控制的任務(wù)次數(shù)也較為有限。所幸，隨著大功率太陽(yáng)能/核電推進(jìn)系統(tǒng)的日益成熟，具有高比沖的電推力器可以采取連續(xù)小推力的控制方式，使對(duì)橢圓軌道拱線對(duì)地覆蓋性能的控制更具可行性和實(shí)用性。

圖1 KH-12衛(wèi)星近地點(diǎn)星下點(diǎn)全球覆蓋情況Fig.1 Global coverage of subastral points of KH-12’s perigee

近年來(lái)，小推力軌道控制被應(yīng)用于各類軌道控制問(wèn)題，例如小推力軌道閉環(huán)制導(dǎo)控制[7]、太陽(yáng)同步軌道機(jī)動(dòng)控制[8]、人工太陽(yáng)同步軌道[9]、軌道相位調(diào)整等[10]、多圈小推力軌道轉(zhuǎn)移[11]等。而對(duì)于衛(wèi)星對(duì)地特性的軌道設(shè)計(jì)與軌道控制，也有少量的文獻(xiàn)進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[12-13]研究了在J2項(xiàng)攝動(dòng)下近圓軌道的星下點(diǎn)機(jī)動(dòng)控制問(wèn)題，給出了不同形式的脈沖推力下的解析解。文獻(xiàn)[14]給出了利用電推進(jìn)實(shí)現(xiàn)星下點(diǎn)機(jī)動(dòng)的控制算法。文獻(xiàn)[15]研究了利用化學(xué)推進(jìn)或電推進(jìn)實(shí)現(xiàn)星下點(diǎn)機(jī)動(dòng)的優(yōu)化策略。文獻(xiàn)[16]研究了回歸軌道的形成條件，并給出了多脈沖下的回歸軌道控制與保持策略。文獻(xiàn)[17]利用了迭代修正方法確保了軌道設(shè)計(jì)的星下點(diǎn)回歸性。文獻(xiàn)[18]研究了利用連續(xù)小推力控制策略形成任意軌道要素的凍結(jié)軌道。這些研究的主要目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)近圓低軌道上衛(wèi)星對(duì)星下點(diǎn)目標(biāo)的接近和轉(zhuǎn)移問(wèn)題。而對(duì)橢圓軌道覆蓋特性和拱線對(duì)地指向的控制的研究開(kāi)展的較為欠缺。

為此，本文以實(shí)現(xiàn)橢圓軌道衛(wèi)星全球覆蓋的人工控制為研究目標(biāo)，綜合考慮了橢圓軌道衛(wèi)星運(yùn)行的安全性，提出了一種連續(xù)小推力下的解析控制策略，并對(duì)該策略下的燃料消耗進(jìn)行了一定程度的優(yōu)化。

1 自然攝動(dòng)對(duì)橢圓軌道全球覆蓋的影響

當(dāng)衛(wèi)星的運(yùn)行軌道受到各種攝動(dòng)的影響，軌道根數(shù)會(huì)發(fā)生緩慢變化，這勢(shì)必會(huì)影響衛(wèi)星對(duì)地的星下點(diǎn)特性，同時(shí)疊加地球自轉(zhuǎn)，二者引起星下點(diǎn)在地面上規(guī)則運(yùn)動(dòng)。特別是近地點(diǎn)高度極低的橢圓軌道，主要受到地球非球形攝動(dòng)，特別是主導(dǎo)項(xiàng)為J2項(xiàng)帶諧項(xiàng)的影響。

由于地球非球形攝動(dòng)屬于保守力，因此長(zhǎng)期來(lái)看軌道半長(zhǎng)軸保持不變，但對(duì)某些特定的軌道根數(shù)存在長(zhǎng)期影響。通過(guò)軌道分析理論，對(duì)J2項(xiàng)攝動(dòng)對(duì)應(yīng)的勢(shì)函數(shù)在一個(gè)軌道周期內(nèi)進(jìn)行平均化，以消除與軌道平近點(diǎn)角相關(guān)的短周期項(xiàng)，可得

(1)

式中:J2為二階帶諧項(xiàng)常數(shù)，μ為引力常數(shù)，Re為地球半徑，a為軌道半長(zhǎng)軸，e為軌道偏心率，i為軌道傾角。由式(1)，進(jìn)一步推導(dǎo)出由J2項(xiàng)非球形攝動(dòng)引起的平均化軌道攝動(dòng)方程：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中:ns=0.9856(°)/d為地球公轉(zhuǎn)角速率。又由式(5)、式(6)相除，可知當(dāng)軌道傾角確定時(shí)，升交點(diǎn)赤經(jīng)和近地點(diǎn)幅角的變化規(guī)律之間的比值是一定的：

(8)

這就意味著當(dāng)自然攝動(dòng)存在的情況下，太陽(yáng)同步軌道衛(wèi)星的近地點(diǎn)幅角進(jìn)動(dòng)角速率是不可設(shè)計(jì)的。

對(duì)于橢圓軌道衛(wèi)星，其近地點(diǎn)的星下點(diǎn)經(jīng)緯度可列寫(xiě)為：

(9)

δp=arcsin(sinωsini)

(10)

遠(yuǎn)地點(diǎn)星下點(diǎn)經(jīng)緯度可列寫(xiě)為：

λa=arctan(tan(ω+π)cosi)-G0+

(11)

δa=arcsin(sin(ω+π)sini)

(12)

而對(duì)于軌道高度更高的高緯度通信衛(wèi)星或深空探測(cè)器，也會(huì)受到多體引力攝動(dòng)的影響。在基于中心天體與第三體攝動(dòng)平面內(nèi)的坐標(biāo)系下，經(jīng)過(guò)兩次平均化可得到近地點(diǎn)幅角的變化率可表示為

(13)

式中:μs為第三體引力常數(shù)，as為第三體半長(zhǎng)軸，es為第三體偏心率。該類攝動(dòng)對(duì)拱線變換的影響通常更為緩慢。

而對(duì)于其他復(fù)雜的軌道攝動(dòng)，或是未知中心天體的特性，也可通過(guò)軌道測(cè)量，以數(shù)值的形式表現(xiàn)，同樣可以用作第2節(jié)中對(duì)拱線控制的自然攝動(dòng)補(bǔ)償項(xiàng)中。

綜上所述，若對(duì)衛(wèi)星遠(yuǎn)/近地點(diǎn)星下點(diǎn)的對(duì)地覆蓋特性加以人工控制，其核心在于對(duì)軌道拱線，即僅對(duì)近地點(diǎn)幅角的變化率的控制。但在實(shí)際的控制策略的設(shè)計(jì)上，卻面臨很多待解決的問(wèn)題和約束：

1)利用具有連續(xù)小推力特性的電推進(jìn)進(jìn)行軌道控制是一種節(jié)省燃料的高效控制方式，但以往的對(duì)軌道控制方式多解決的是化學(xué)推進(jìn)基礎(chǔ)上的脈沖控制，因此必須設(shè)計(jì)出一種連續(xù)小推力的近地點(diǎn)幅角控制策略。

2)橢圓軌道的近地點(diǎn)高度往往極低，在進(jìn)行小推力控制時(shí)，必須防止衛(wèi)星與地面相撞。同時(shí)，對(duì)于地觀測(cè)衛(wèi)星，近地點(diǎn)高度也不宜過(guò)高，以保證對(duì)地拍照的分辨率指標(biāo)。因此，在進(jìn)行小推力控制時(shí)必須維持相對(duì)穩(wěn)定的近地點(diǎn)高度。

3)為節(jié)省燃料消耗，在控制律的設(shè)計(jì)上，需要考慮推力大小和方向的最優(yōu)性問(wèn)題。

4)由于星載計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力有限，若需要提高自主性，需要將算法簡(jiǎn)化到能夠在星上實(shí)現(xiàn)的程度。

2 小推力星下點(diǎn)全球覆蓋控制

2.1 全球覆蓋控制策略

在本文中，假設(shè)推力為連續(xù)控制形式，矢量和大小是可調(diào)節(jié)的。在第1節(jié)中，可以得到改變衛(wèi)星近/遠(yuǎn)地點(diǎn)的星下點(diǎn)對(duì)地覆蓋速率，同時(shí)受到星下點(diǎn)緯度和經(jīng)度變化速率的共同影響。近/遠(yuǎn)地點(diǎn)星下點(diǎn)經(jīng)度可受中心天體自轉(zhuǎn)影響，無(wú)需控制即可實(shí)現(xiàn)全球遍歷；近/遠(yuǎn)地點(diǎn)星下點(diǎn)緯度自然變化較慢，需要對(duì)衛(wèi)星近地點(diǎn)幅角的變化率進(jìn)行調(diào)整。因此，對(duì)近/遠(yuǎn)地點(diǎn)星下點(diǎn)覆蓋速度進(jìn)行控制，僅需在軌道面內(nèi)施加控制力。

燃料消耗極小所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，與推力器的安裝方式、是否采取矢量調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)等技術(shù)細(xì)節(jié)有很強(qiáng)的相關(guān)性。本文設(shè)置每一軌道周期進(jìn)行的目標(biāo)函數(shù)為

(14)

類似于推力器分別安裝在徑向和橫向的推力指向的平方。該函數(shù)在較大程度上指征燃耗次低的情況，且形式簡(jiǎn)單更有利于得到解析解。若需要進(jìn)行星上低計(jì)算量計(jì)算，更傾向于選用該種形式。對(duì)于具體推力配置，可選取相應(yīng)的其他目標(biāo)函數(shù)，但選取何種目標(biāo)函數(shù)，均可用本文的方法進(jìn)行全球覆蓋小推力控制，在計(jì)算流程上沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別。

(15)

(16)

其中，E(t)為衛(wèi)星偏近點(diǎn)角。本文在式(16)中引入偏近點(diǎn)角E，是由于含偏近點(diǎn)角的軌道控制方程形式更加簡(jiǎn)潔和便于計(jì)算。

本文提出的控制方式，解決的就是滿足近地點(diǎn)幅角變化率約束Δωtarget(式(15))的，令軌道面內(nèi)控制力S(t)、T(t)在一個(gè)軌道周期內(nèi)最小(式(14))的控制策略。

(17)

考慮到實(shí)際工程約束，電推力器可能由于遇到陰影，或進(jìn)行其他在軌操作，有可能無(wú)法在整軌均處于連續(xù)開(kāi)機(jī)狀態(tài)。為安全起見(jiàn)，將對(duì)近地點(diǎn)半徑不變的約束必須當(dāng)成瞬時(shí)值來(lái)處理。因此，令式(17)等于0，將徑向控制量S(t)向控制量T(t)表示：

S(t)=

(18)

觀察式(18)，S(t)的分母存在sinE項(xiàng)，意味著當(dāng)偏近點(diǎn)角E=0時(shí)所需的徑向控制力S(t)為正無(wú)窮，這在物理上是不可能實(shí)現(xiàn)的。因此需要避免奇異，使控制量變得合理可行。將橫向控制加速度T(t)內(nèi)加入sinE乘子，表示為：

T(t)=sinE(t)N(t)

(19)

其中，N(t)為待優(yōu)化的控制函數(shù)。由此，代入式(18)，可得徑向控制加速度為：

S(t)=

T(t)=

(20)

此時(shí)，徑向控制加速度分母已不含sinE項(xiàng)。將式(19)、式(20)代入式(16)，得到由徑向S(t)、橫向T(t)控制加速度引起的近地點(diǎn)幅角的變化率：

(21)

因此，關(guān)于對(duì)式(14)所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)徑向、橫向加速度S*(t)和T*(t)的求解，最終轉(zhuǎn)換為對(duì)滿足式(15)約束的最優(yōu)N*(t)的求解。

2.2 解析控制方程

N(t)為在一個(gè)軌道周期內(nèi)的時(shí)變函數(shù)。對(duì)于N*(t)的求解，最直觀的方法是利用各類優(yōu)化算法進(jìn)行迭代以取得最優(yōu)解，但該方法需要較大的計(jì)算量，對(duì)于星上計(jì)算機(jī)是不可接受的。較為可行的方法是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，通過(guò)犧牲少許的最優(yōu)性，以期得到一個(gè)具有解析形式的最優(yōu)解。直觀上看，對(duì)衛(wèi)星軌道實(shí)施的控制力往往具有與軌道運(yùn)行周期相關(guān)的周期性，因此，本文將N(t)展開(kāi)成軌道偏近點(diǎn)角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，截取合適的階次，將軌道優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橛?jì)算量較小的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，得到N(t)的次優(yōu)解。N(t)可表示為

(22)

式中：m為函數(shù)N(t)所截取的階數(shù)。

當(dāng)假定衛(wèi)星具有大容量蓄電池，可以在衛(wèi)星進(jìn)入地影區(qū)時(shí)保證推力器能夠正常工作，并且也不存在其他任務(wù)對(duì)電推力器的點(diǎn)火進(jìn)行約束，能夠?qū)崿F(xiàn)推力器的常開(kāi)點(diǎn)火。在此前提下，可直接對(duì)式(14)、式(15)在0～2π之間進(jìn)行積分。由此，當(dāng)式(22)截取的階數(shù)夠短時(shí)，可得到形式非常簡(jiǎn)單的解析解。

當(dāng)N(t)僅取0階，即N(t)為常數(shù)項(xiàng)時(shí)，僅存在一個(gè)待求解參數(shù)a0，可求得滿足式(16)約束的解

(23)

該解僅滿足式(16)的約束，但無(wú)足夠的自由度對(duì)控制力進(jìn)行一定程度的優(yōu)化。

當(dāng)N(t)僅取1階時(shí)，N1(t)可寫(xiě)為

N1(t)=a0+a1cos(E(t))+b1sin(E(t))

(24)

則式(15)可表示為

a1(3e2+8e+4)]

(25)

聯(lián)立式(14)和式(25)，可得到由a1、b1表示的目標(biāo)函數(shù)J(a1,b1)。J(a1,b1)的極小值需要求解下列方程：

(26)

由式(25)、式(26)可解出：

(27)

(28)

(29)

其中，k(e)=640+960e+496e2+256e3+236e4+28e5-61e6-17e7+12e8，g0(e)=208+216e+56e2+54e3+42e4-9e5+3e6，g1(e)=48+40e+8e3+11e4-2e5。

當(dāng)偏心率為小量時(shí)，可將上式進(jìn)一步簡(jiǎn)化，略去e4階及以上小量：

(30)

(31)

(32)

如圖2所示，略去4階以上小量對(duì)系數(shù)影響很小。

圖2 未簡(jiǎn)化系數(shù)與略去小量系數(shù)曲線Fig.2 The originand simplified values of and

當(dāng)Nm(t)所截取的階次每增加一階，待求的參數(shù)也隨之增加2個(gè)，需要利用到數(shù)值解法，進(jìn)行迭代求解。圖3為采用單純形數(shù)值搜索方法，Nm(t)截取階數(shù)為1～4階時(shí)在一個(gè)軌道周期內(nèi)燃料消耗與零階N0(t)的比值。從圖3中可見(jiàn)，隨著衛(wèi)星的軌道偏心率的增大，增加函數(shù)Nm(t)的階次，即增加更多的待優(yōu)化參數(shù)，越能夠降低控制的燃料消耗，但隨著階次的提高，降低燃料消耗的效果越不明顯。但事實(shí)上，僅截取到一階函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，即可節(jié)省足夠的燃料。此時(shí)存在解析解式(27)～ (29)。但值得注意的是，即使Nm(t)取到足夠高的階數(shù)，也并不是最優(yōu)化問(wèn)題式(14)～(18)的最優(yōu)解。但對(duì)于有條件利用地面高性能計(jì)算機(jī)進(jìn)行大量迭代計(jì)算的情況下，Nm(t)顯然也可以作為最優(yōu)解N*(t)的初始猜測(cè)。

圖截取階數(shù)與零階燃料消耗比Fig.3 The ratio of fuel consumption of to N0(t)

綜上所述，本文提出的控制方式的計(jì)算步驟如下：

1)根據(jù)目標(biāo)值和自然攝動(dòng)計(jì)算所需的近地點(diǎn)幅角控制量Δω。

2)根據(jù)截取的Nm(t)階次，計(jì)算Nm(t)的系數(shù)a0,a1,b1,…,am,bm。

3)計(jì)算軌道周期內(nèi)的橫向、徑向控制量S(t)和T(t)。

為得到燃料消耗更小的結(jié)果，本文提出的方式僅考慮對(duì)近地點(diǎn)半徑rp進(jìn)行約束，半長(zhǎng)軸和偏心率會(huì)發(fā)生變化。因此在每個(gè)軌道周期階數(shù)后，要重新調(diào)用以上步驟，對(duì)下一軌道周期內(nèi)的控制量S(t)和T(t)進(jìn)行計(jì)算。

3 仿真校驗(yàn)

為對(duì)本文提出方法的正確性進(jìn)行檢驗(yàn)，本文給出了利用連續(xù)小推力策略對(duì)衛(wèi)星遠(yuǎn)、近地點(diǎn)進(jìn)行控制的三個(gè)仿真算例。算例1為低軌用于對(duì)地觀測(cè)的小偏心率橢圓軌道衛(wèi)星近地點(diǎn)星下點(diǎn)全球覆蓋速率進(jìn)行人工控制；算例2為對(duì)閃電軌道的拱線進(jìn)行小推力控制；算例3為水星環(huán)繞軌道對(duì)某一緯度范圍帶的反復(fù)探測(cè)控制。

3.1 算例1：近地點(diǎn)全球覆蓋控制

算例1的初始條件詳見(jiàn)表1。對(duì)于該組軌道根數(shù)，對(duì)近地點(diǎn)星下點(diǎn)緯度(即近地點(diǎn)幅角)影響最大的因素是J2項(xiàng)非球形攝動(dòng)，其自然近地點(diǎn)幅角變化率為-3.274(°)/d，因此近地點(diǎn)星下點(diǎn)對(duì)全球的覆蓋周期為110 d。本算例的目標(biāo)是使目標(biāo)星下點(diǎn)覆蓋周期縮短為60 d，即將近地點(diǎn)幅角的變化率控制到-6(°)/d。為此，軌道動(dòng)力學(xué)模型考慮四級(jí)四階地球非球形引力和日月第三體引力攝動(dòng)，并采用四階定步長(zhǎng)RK法進(jìn)行數(shù)值積分，仿真時(shí)長(zhǎng)為60 d。

表1 初始條件(算例1)Table 1 Initial conditions of example 1

仿真結(jié)果如圖4～圖6所示。由圖4可知，在整個(gè)全球覆蓋小推力控制過(guò)程中，衛(wèi)星近地點(diǎn)的星下點(diǎn)緯度實(shí)現(xiàn)了在除南、北極外[-90°，90°]區(qū)間內(nèi)的周期性變化，星下點(diǎn)經(jīng)度由地球自轉(zhuǎn)影響能夠密集覆蓋[-180°，180°]。由圖5可見(jiàn)，在對(duì)衛(wèi)星近地點(diǎn)覆蓋性進(jìn)行人工控制期間，合并受到其他軌道攝動(dòng)力的影響，衛(wèi)星近地點(diǎn)高度的變化幅度在30 km范圍內(nèi)，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度在50 km變化，較為穩(wěn)定。圖6為衛(wèi)星控制力曲線，對(duì)于質(zhì)量為1000 kg的衛(wèi)星，軌道系X軸方向的控制力在[-0.1 N，0.1 N]以內(nèi)，Z軸方向的控制力在[0 N，0.45 N]之間，每軌均呈周期性變化。假設(shè)利用太陽(yáng)能電推進(jìn)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)近地點(diǎn)覆蓋控制，比沖為3000 s，在整個(gè)覆蓋控制周期(60 d)的總?cè)剂舷臑?9.5 kg，對(duì)于緊急任務(wù)和強(qiáng)機(jī)動(dòng)衛(wèi)星來(lái)說(shuō)是可以接受的量級(jí)。

圖4 衛(wèi)星近地點(diǎn)星下點(diǎn)緯度、經(jīng)度(算例1)Fig.4 Longitude and latitude of satellite perigee (example 1)

圖5 衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)、近地點(diǎn)高度(算例1)Fig.5 Orbit altitude of satellite apogee and perigee (example 1)

圖6 衛(wèi)星控制力曲線(算例1)Fig.6 Control force of satellite with 60 days (example 1)

3.2 算例2：閃電軌道拱線控制

在閃電軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星多為為特定緯度地區(qū)服務(wù)的通信衛(wèi)星，星上載荷工作范圍多為在遠(yuǎn)地點(diǎn)附近。算例2的初始條件詳見(jiàn)表2。初始近地點(diǎn)幅角為-90°，即遠(yuǎn)地點(diǎn)星下點(diǎn)位于北緯。由于軌道高度較高，衛(wèi)星近地點(diǎn)幅角、升交點(diǎn)赤經(jīng)的自然漂移速率≈0。本算例的目標(biāo)是使目標(biāo)遠(yuǎn)地點(diǎn)星下點(diǎn)緯度由原先的63.4°(ω0=-90°)在7.5天內(nèi)遍歷至41°附近，即為將近地點(diǎn)幅角的變化率控制到6(°)/d。為此，軌道動(dòng)力學(xué)模型考慮四級(jí)四階地球非球形引力和日月第三體引力攝動(dòng)，并采用四階定步長(zhǎng)RK法進(jìn)行數(shù)值積分，仿真時(shí)長(zhǎng)為7.5 d。

表2 初始條件(算例2)Table 2 Initial conditions of example 2

仿真結(jié)果如圖4～圖9所示。由圖4可知，在整個(gè)過(guò)程中，衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)的星下點(diǎn)緯度由最高的63.4°逐漸變換至41°附近。由于衛(wèi)星軌道周期與地球自轉(zhuǎn)存在整數(shù)關(guān)系，星下點(diǎn)經(jīng)度主要活動(dòng)于兩個(gè)特定區(qū)域。由圖8所示，衛(wèi)星近地點(diǎn)高度的變化幅度在30 km范圍內(nèi)，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度在1000 km變化，較為穩(wěn)定。由圖9所示，對(duì)于質(zhì)量為1000 kg的衛(wèi)星，對(duì)閃電軌道的控制力較大，軌道系X軸方向的控制力在[-0.5 N，0.5 N]以內(nèi)，Z軸方向的控制力在[0 N，7.5 N]之間，每軌均呈周期性變化。假設(shè)利用大功率電推進(jìn)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)近地點(diǎn)覆蓋控制，比沖為6000 s，在仿真時(shí)長(zhǎng)內(nèi)的總?cè)剂舷妮^大,為57.0 kg,但鑒于該軌道可以改變通信衛(wèi)星服務(wù)的緯度范圍，燃料消耗依舊小于重新發(fā)射新的衛(wèi)星。

圖7 衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)星下點(diǎn)緯度、經(jīng)度(算例2)Fig.7 Longitude and latitude of satellite perigee (example 2)

圖8 衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)、近地點(diǎn)高度(算例2)Fig.8 Orbit altitude of satellite apogee and perigee (example 2)

圖9 衛(wèi)星控制力曲線(算例2)Fig.9 Control force of satellite (example 2)

3.3 算例3：水星環(huán)繞軌道控制

在本算例中，提供了文中算法更為靈活的應(yīng)用方式。算例選為水星附近的深空環(huán)繞軌道，初始條件詳見(jiàn)表3。本算例進(jìn)行控制的目的是在30 d的探測(cè)周期內(nèi)，在前15 d航天器的近地點(diǎn)由北極附近過(guò)渡到赤道附件，后15 d再由赤道過(guò)渡回北極。采用四階定步長(zhǎng)RK法進(jìn)行數(shù)值積分，仿真時(shí)長(zhǎng)為30 d。

表3 初始條件(算例3)Table 3 Initial conditions of example 3

仿真結(jié)果如圖10～圖12所示。近地點(diǎn)的星下點(diǎn)緯度實(shí)現(xiàn)了[0，75°]區(qū)間內(nèi)反復(fù)變化。在對(duì)衛(wèi)星近地點(diǎn)覆蓋性進(jìn)行人工控制期間，合并受到其他軌道攝動(dòng)力的影響，衛(wèi)星近地點(diǎn)高度的變化幅度在15 km范圍內(nèi)，較為穩(wěn)定。對(duì)于質(zhì)量為500 kg的探測(cè)器，軌道系X軸方向的控制力在[-0.2，0.2]N以內(nèi)，Z軸方向的控制力在[-1.2，1.2]N之間，每軌均呈周期性變化。假設(shè)利用太陽(yáng)能電推進(jìn)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)近地點(diǎn)覆蓋控制，由于距離太陽(yáng)極近，系統(tǒng)功率很大，比沖為5000 s以上，在整個(gè)控制過(guò)程中的總?cè)剂舷臑?8 kg，對(duì)于深空探測(cè)來(lái)說(shuō)是可以接受的量級(jí)。

圖10 衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)星下點(diǎn)緯度、經(jīng)度(算例3)Fig.10 Longitude and latitude of satellite perigee (example 3)

圖11 衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)、近地點(diǎn)高度(算例3)Fig.11 Orbit altitude of satellite apogee and perigee (example 3)

圖12 衛(wèi)星控制力曲線Fig.12 Control force of satellite (example 3)

4 結(jié) 論

本文針對(duì)橢圓形對(duì)地服務(wù)航天器的星下點(diǎn)覆蓋性控制問(wèn)題，提出了基于連續(xù)小推力的控制策略，在不破壞衛(wèi)星近地點(diǎn)高度的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)衛(wèi)星軌道拱線的旋轉(zhuǎn)速率的優(yōu)化控制，實(shí)現(xiàn)對(duì)地面星下點(diǎn)覆蓋周期的調(diào)整，最后給出了仿真算例和結(jié)果。仿真結(jié)果表明，本文提出的方法能夠有效、安全地實(shí)現(xiàn)對(duì)衛(wèi)星近/遠(yuǎn)地點(diǎn)全球覆蓋速度的控制和特定緯度區(qū)域的推掃，燃料消耗在一定范圍之內(nèi)。