王琳杰， 黎 亮， 章定國(guó)， 錢(qián)震杰

(1. 南京理工大學(xué) 理學(xué)院，南京 210094； 2. 南京農(nóng)業(yè)機(jī)械化研究所，南京 210014)

航空發(fā)動(dòng)機(jī)作為飛機(jī)的“心臟”，是一種高度復(fù)雜和精密的熱力機(jī)械，其葉片往往在高溫、高載的極端條件下工作，因此，航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片在工作時(shí)可能出現(xiàn)斷裂、折斷、變形以及葉身磨蝕等故障，是發(fā)動(dòng)機(jī)最容易發(fā)生故障的構(gòu)件。波音F-18“大黃蜂”(Boeing F-18 Hornet Strike Fighter)戰(zhàn)斗機(jī)采用的F404發(fā)動(dòng)機(jī)，其高壓壓氣機(jī)的葉片和機(jī)匣由鈦合金制作。葉片由于長(zhǎng)時(shí)間受細(xì)小砂石的磨損導(dǎo)致葉片形狀發(fā)生改變從而改變了葉片的固有頻率，在氣溫300 ℃以上以及氣壓0.35 MPa以上的工況下葉片斷裂并卡在轉(zhuǎn)子葉尖與機(jī)匣之間，斷裂的葉片與機(jī)匣摩擦產(chǎn)生大量熱量使得鈦合金制成的葉片和機(jī)匣燃燒，最終導(dǎo)致飛機(jī)失事。

航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的結(jié)構(gòu)在設(shè)計(jì)時(shí)趨向于輕、薄以滿足發(fā)動(dòng)機(jī)需求，因此葉片的制作對(duì)材料要求非常之高，而傳統(tǒng)的材料已經(jīng)無(wú)法滿足需求。功能梯度材料(Functional Gradient Materials, FGM)是性能在幾何空間上連續(xù)變化的非均質(zhì)材料，比傳統(tǒng)材料更能夠滿足高溫、高載等極端條件，在航天航空領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。熱環(huán)境對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)部件的影響已經(jīng)引起了工程界的高度重視，因此結(jié)合功能梯度材料建立考慮熱效應(yīng)和相應(yīng)結(jié)構(gòu)耦合的動(dòng)力學(xué)模型十分有必要。

中心剛體-柔性薄板系統(tǒng)是非常典型的一類(lèi)剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)簡(jiǎn)化模型，學(xué)者們對(duì)此類(lèi)力學(xué)模型已開(kāi)展了較多的研究，相關(guān)理論日漸成熟[1-10]。目前，學(xué)者們將研究方向轉(zhuǎn)移到物理場(chǎng)與中心剛體-柔性薄板的耦合動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，其中熱耦合動(dòng)力學(xué)問(wèn)題尤為學(xué)者們關(guān)注[11-25]。Huang等基于高階剪切變形板理論和von Krmn方程，并考慮熱效應(yīng)的影響，通過(guò)改進(jìn)的攝動(dòng)理論求解方程，然后分析功能梯度板的非線性頻率和動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，得出溫度場(chǎng)和體積分?jǐn)?shù)分布對(duì)功能梯度板的非線性振動(dòng)和動(dòng)力學(xué)響應(yīng)有顯著影響。劉錦陽(yáng)等用Jourdain速度變分原理以及虛功原理建立了考慮熱效應(yīng)柔性板的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程和熱傳導(dǎo)方程，利用絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法和有限元法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行離散化，然后對(duì)熱載荷所引起的和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所引起的耦合效應(yīng)以及溫度載荷對(duì)復(fù)合材料影響做了一系列的研究。Alijani等應(yīng)用多模態(tài)能量法研究了熱環(huán)境中FGM矩形板的幾何非線性振動(dòng)，在研究溫度和體積分?jǐn)?shù)指數(shù)的影響時(shí)指出熱變形FGM板具有更強(qiáng)的硬化行為，體積分?jǐn)?shù)指數(shù)的影響不顯著，模態(tài)的相互作用可能在熱變形的FGM板中提升，這種相互作用的提升在無(wú)變形的各向同性對(duì)應(yīng)物中是不可見(jiàn)的。秦潔等基于薄板彎曲理論采用梁函數(shù)組合法推導(dǎo)出變轉(zhuǎn)速狀態(tài)下葉片頻率和振型解析解的一般表達(dá)式并分析了熱載荷作用下旋轉(zhuǎn)葉片的頻率轉(zhuǎn)向特性，但是他的研究并未涉及剛?cè)狁詈?。李清祿等基于一階剪切變形理論和哈密頓原理建立了FGM變厚度圓板在熱環(huán)境中的運(yùn)動(dòng)微分方程并用微分求積法計(jì)算了FGM薄板橫向振動(dòng)的無(wú)量綱頻率。郝育新等基于Reddy高階剪切變形理論、Galerkin法與Hamilton原理，建立了考慮熱效應(yīng)的具有二階模態(tài)的非線性運(yùn)動(dòng)控制微分方程，分析了面內(nèi)靜態(tài)載荷對(duì)于給定參數(shù)下系統(tǒng)不同內(nèi)共振的影響。Li等提出了一種比以往文獻(xiàn)中所用方法精度更高且考慮大范圍運(yùn)動(dòng)的FGM板動(dòng)力學(xué)模型，并且研究了頻率轉(zhuǎn)向和模態(tài)耦合的現(xiàn)象。但他的研究沒(méi)有考慮到多物理場(chǎng)的耦合問(wèn)題。黎亮等以做大范圍旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的中心剛體-FGM梁-集中質(zhì)量系統(tǒng)為研究對(duì)象建立了存在溫度梯度時(shí)旋轉(zhuǎn)柔性FGM梁的動(dòng)力學(xué)模型并研究了不同溫度場(chǎng)下FGM梁的動(dòng)力學(xué)特性。雖然大量學(xué)者對(duì)功能梯度材料考慮熱效應(yīng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行研究，但是現(xiàn)有文獻(xiàn)中對(duì)溫度場(chǎng)中做大范圍運(yùn)動(dòng)FGM薄板的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)模型的研究并不完善。

本文以做大范圍運(yùn)動(dòng)的中心剛體-FGM薄板為研究對(duì)象，在應(yīng)變能中計(jì)入熱應(yīng)變的影響，在一次剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)理論的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出溫度場(chǎng)中大范圍運(yùn)動(dòng)FGM薄板的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)方程。假設(shè)功能梯度材料參數(shù)在板厚度方向按一定冪律規(guī)律分布。由穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程以及泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法求得相應(yīng)的溫度場(chǎng)。本文通過(guò)數(shù)值仿真對(duì)運(yùn)動(dòng)已知情況下大范圍運(yùn)動(dòng)FGM薄板進(jìn)行動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析和頻率分析。

1 物理模型和幾何非線性描述

考慮熱效應(yīng)的FGM薄板建模理論基于以下假設(shè)：①板的厚度相對(duì)于長(zhǎng)、寬小得多，Kirchhoff假設(shè)成立；②板的撓度遠(yuǎn)小于厚度，從而中面撓曲為中性面；③忽略橫向剪切變形和彎曲產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響；④垂直于板中面的各點(diǎn)速度相等。

本文采取如圖1(a)所示的系統(tǒng)進(jìn)行研究，選取圖1(b)中FGM板為研究對(duì)象，如圖1(b)所示建立混合坐標(biāo)系。圖1(b)中，坐標(biāo)系O-XYZ為慣性坐標(biāo)系，o-xyz為浮動(dòng)坐標(biāo)系，平面oxy為FGM薄板中面，o-xyz坐標(biāo)系三個(gè)方向的單位矢量分別為a1，a2，a3。板的長(zhǎng)度為a，寬度為b，厚度為h，密度ρ(z)，彈性模型為E(z)，熱膨脹系數(shù)為α(z)，熱傳導(dǎo)系數(shù)為K(z)，泊松比為μ。變形前板中面上一點(diǎn)P0(x，y，0)變形后至P點(diǎn)，變形位移矢量為u(u1，u2，u3)。

圖1 中心剛體-FGM柔性薄板模型Fig.1 Hub-FGM thin plates system undergoing large overall motion

P點(diǎn)在慣性基下的速度矢量VP可表示為

VP=Vo+ωA×(ρ0+u)+VPA

(1)

(2)

薄板上任意一點(diǎn)的變形位移為

(3)

功能梯度板是由金屬和陶瓷兩種性能不同的材料組分組合而成的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)。假設(shè)功能梯度各項(xiàng)材料參數(shù)均為板厚方向坐標(biāo)的冪函數(shù)，即

P(z)=Pm+(Pc-Pm)V(z)

(4)

圖2 梯度材料的體積分?jǐn)?shù)變化示意圖Fig.2 Volume fraction variations of gradient distribution law

假設(shè)溫度場(chǎng)沿著功能梯度板厚度方向梯度變化，穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程的一維形式為

(5)

功能梯度板的熱邊界條件為

T(h/2)=Tc,T(-h/2)=Tm

(6)

通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)求解得到功能梯度板沿厚度方向分布的溫度表達(dá)式

(7)

式中：T0為參考溫度；Tc，Tm分別為陶瓷和金屬材料界面處溫度。

(8)

2 動(dòng)力學(xué)建模

系統(tǒng)的總動(dòng)能為

(9)

FGM薄板上任意一點(diǎn)的應(yīng)變可表示為

(10)

基于平面應(yīng)力假設(shè)，F(xiàn)GM薄板上任意一點(diǎn)的應(yīng)力可表示為

(11)

沿板厚度方向一點(diǎn)的熱應(yīng)變?yōu)?/p>

(12)

式中：α(z)為FGM板的熱膨脹系數(shù)； ΔT(z)為溫度差， ΔT(z)=T(z)-T0，T(z)為沿板厚度方向任一點(diǎn)的溫度，溫度變化不會(huì)引起剪應(yīng)變，故τxy,T=0。由本構(gòu)關(guān)系可得由熱效應(yīng)引起的溫度應(yīng)力為

(13)

則整個(gè)系統(tǒng)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可表示為

(14)

系統(tǒng)的變形能可表示為

(15)

其中，

(16)

(17)

(18)

(19)

本文采用假設(shè)模態(tài)法對(duì)變形場(chǎng)進(jìn)行離散，w1，w2，u3分別可表示為

(20)

式中：φ1(x,y)∈R1×N1，φ2(x,y)∈R1×N2和φ3(x,y)∈R1×N3分別為薄板面內(nèi)振動(dòng)和面外橫向振動(dòng)的模態(tài)函數(shù)的行矢量；q1(t)∈RN1,q2(t)∈RN2和q3(t)∈RN3分別為面內(nèi)振動(dòng)和面外橫向振動(dòng)的模態(tài)坐標(biāo)列矢量，N1，N2，N3分別為對(duì)應(yīng)的模態(tài)截?cái)鄶?shù)。為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，下述的表達(dá)式中省去自變量x，y，t。

將式(20)代入式(3)，得變形位移及其速度為

(21)

(22)

(23)

(24)

式中：各項(xiàng)詳見(jiàn)附錄。

(25)

(26)

式(24)為考慮熱效應(yīng)下做大范圍運(yùn)動(dòng)功能梯度薄板系統(tǒng)的一次近似剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程。其中考慮非線性耦合變形量體現(xiàn)在式(25)，從式中可以看出薄板做大范圍運(yùn)動(dòng)的角速度、角加速度和基點(diǎn)o的加速度對(duì)非線性耦合量引起的附加剛度項(xiàng)都有一定的影響；考慮溫度效應(yīng)體現(xiàn)在式(26)，其形式為熱效應(yīng)所引起的廣義力。

3 仿真算例

3.1 FGM薄板做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析

以航空發(fā)動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)葉片為研究對(duì)象，將其簡(jiǎn)化為中心剛體-FGM薄板的經(jīng)典模型，假設(shè)FGM柔性薄板繞y軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，浮動(dòng)坐標(biāo)系的基點(diǎn)o點(diǎn)加速度為零，則有

(27)

僅考慮柔性薄板的面外橫向振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)化為

(28)

其中,

(29)

K33=Kf33-ω2W33+ω2D11

(30)

本文采用試模態(tài)函數(shù)法，將板的第m×n階模態(tài)試函數(shù)分解為x方向的懸臂梁模態(tài)函數(shù)Xm(x)和y方向自由梁模態(tài)函數(shù)Yn(y)的乘積，則FGM薄板的模態(tài)函數(shù)可表示為

φ3i=φmn=Xm(x)×Yn(y),i=1,2,3,…

(31)

式中：φ3i為式(20)中φ3的第i階分量。

x方向懸臂梁作橫向彎曲振動(dòng)模態(tài)函數(shù)為

(32)

y方向自由梁作橫向彎曲振動(dòng)模態(tài)函數(shù)為

(33)

式中：βm為方程cos(βml)cosh(βml)=-1的第m個(gè)根；βn為方程cos(βml)cosh(βml)=1的第n-2個(gè)根。

假設(shè)系統(tǒng)做大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)規(guī)律設(shè)為

(34)

式中：T為剛體達(dá)到穩(wěn)定轉(zhuǎn)速Ω所需時(shí)間。

本文模型選取FGM薄板參數(shù)分別為a=1 m，b=0.5 m，h=0.002 5 m，Ec=Em=70 GPa，ρc=ρm=7.5 kg/m3，αc=αm=23×10-6m/K，Kc=Km=204 W/mK，N=0，μ=0.3，模態(tài)截?cái)鄶?shù)取m=2，n=4，T=5 s，Ω=10 rad/s時(shí)，溫度邊界條件取Tc=0K，Tm=0 K，則本文選取的FGM薄板模型與Yoo等選取的均質(zhì)薄板模型為同一模型。圖3中給出本文模型與Yoo等研究中模型的對(duì)比結(jié)果，從圖中可知，本文模型計(jì)算的板外側(cè)角點(diǎn)變形與Yoo等研究中模型計(jì)算的結(jié)果基本一致。

圖3 本文模型與Yoo等研究中的模型仿真結(jié)果對(duì)比Fig.3 Numerical results obtained by present model and Yoo’model

為了更好地反應(yīng)在FGM薄板厚度方向呈梯度分布的溫度場(chǎng)對(duì)FGM薄板動(dòng)力學(xué)特性的影響，現(xiàn)取FGM薄板參數(shù)如下：a=1.882 8 m，b=1.219 2 m，h=0.02，Ec=151 GPa ，Em=70 GPa，ρc=2 707 kg/m3，ρm=3 000 kg/m3，αc=10×10-6m/K,αm=23×10-6m/K，Kc=2.09 W/mK，Km=204 W/mK，N=1，μ=0.3，T=30 s，Ω=5 rad/s中心剛體半徑取R=0，參考溫度T0=0 K進(jìn)行FGM薄板動(dòng)力學(xué)分析。

圖4中給出旋轉(zhuǎn)FGM薄板在取不同模態(tài)截?cái)鄶?shù)組合時(shí)FGM薄板外側(cè)角點(diǎn)變形情況，從圖中可以看出，本文模型在取低階模態(tài)組合數(shù)時(shí)計(jì)算結(jié)果收斂。理論上模態(tài)截?cái)鄶?shù)選取的越高離散化的動(dòng)力學(xué)方程越接近分布參數(shù)動(dòng)力學(xué)方程，但是實(shí)際計(jì)算中，隨著模態(tài)截?cái)鄶?shù)選取的越高不僅計(jì)算更加復(fù)雜耗時(shí)，更會(huì)導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算的發(fā)散[27]。

圖4 不同模態(tài)截?cái)鄶?shù)組合FGM薄板外側(cè)角點(diǎn)變形Fig.4 Lateral deflection of the corner point of the FGM plate in different combination of mode truncation

由傳統(tǒng)的材料構(gòu)成的構(gòu)件在溫度場(chǎng)中產(chǎn)生的熱應(yīng)力非常大，往往會(huì)導(dǎo)致構(gòu)件的損傷和失效，F(xiàn)GM概念的提出致力于彌補(bǔ)傳統(tǒng)材料在這一方面的不足。若取Ec=Em=70 GPa，ρc=ρm=2 707 kg/m3，αc=αm=23×10-6m/K，Kc=Km=204 W/mK，N=0，則此時(shí)FGM薄板變?yōu)榫|(zhì)薄板。圖5中曲線分別為體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N=1的FGM薄板和均質(zhì)薄板在板上下表面溫度分別為T(mén)c=10 K，Tm=10 K時(shí)，薄板外側(cè)角點(diǎn)變形示意圖以及局部放大圖。從圖中可已看出，在存在溫度梯度時(shí)，均質(zhì)薄板和FGM薄板都存在振蕩現(xiàn)象，均質(zhì)薄板振蕩現(xiàn)象更加劇烈，從而可以看出FGM薄板具有良好的熱應(yīng)力緩和效果。

不同的溫度場(chǎng)對(duì)FGM板的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)影響也不同，在旋轉(zhuǎn)角速度，體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N=1，參考溫度T0=0 K的條件下，選取不同溫度場(chǎng)對(duì)FGM薄板進(jìn)行數(shù)值仿真。第一種溫度場(chǎng)為T(mén)c=0 K，Tm=0 K， 此時(shí)T(z)=0 K， FGM薄板溫度不變； 第二種溫度場(chǎng)為T(mén)c=10 K，Tm=10 K， 此時(shí)T(z)=10 K， FGM薄板受溫度均勻變化場(chǎng)影響； 第三種溫度場(chǎng)取為T(mén)c=10 K，Tm=0 K，此時(shí)溫度載荷沿板厚度方向呈梯度分布，比較符合實(shí)際工況。圖6中給出三種溫度場(chǎng)條件下板外側(cè)角點(diǎn)的變形情況，從圖中可看出旋轉(zhuǎn)FGM薄板在溫度效應(yīng)影響下存在一定的振蕩現(xiàn)象。相比于不受溫度影響，溫度均勻變化時(shí)旋轉(zhuǎn)FGM薄板振蕩現(xiàn)象較明顯，其原因從式(7)及式(26)可知，當(dāng)不受溫度影響時(shí)Q3,T為零， 溫度均勻變化時(shí)Q3,T為定值，即廣義力項(xiàng)為定值，因此振蕩現(xiàn)象更明顯。同理，在接近實(shí)際工況的第三種溫度場(chǎng)下，F(xiàn)GM薄板外側(cè)角點(diǎn)變形比溫度不變時(shí)和溫度均勻變化場(chǎng)中大，且存在振蕩現(xiàn)象。

不同的邊界條件對(duì)FGM薄板的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)也會(huì)有一定的影響，在旋轉(zhuǎn)角速度Ω=5 rad/s，體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N=1，參考溫度T0=0 K的條件下，選取三種不同的邊界條件，分別為：第一種溫度邊界條件為T(mén)c=10 K,Tm=0 K； 第二種溫度邊界條件為T(mén)c=20 K,Tm=0 K； 第三種溫度邊界條件為T(mén)c=50 K,Tm=0 K。

圖7中給出存在三種不同溫度梯度時(shí)FGM板外側(cè)角點(diǎn)的變形。從圖中可以看出隨著FGM薄板上下表面溫度差的增大，F(xiàn)GM板變形幅值增大，振蕩也越來(lái)越劇烈。

圖5 存在溫度梯度時(shí)均質(zhì)薄板與FGM薄板外側(cè)角點(diǎn)變形Fig.5 Lateral deflection of the corner point of the homogeneous plate and the FGM plate in different temperature fields

圖6 不同溫度場(chǎng)下旋轉(zhuǎn)FGM板外側(cè)角點(diǎn)變形Fig.6 Lateral deflection of the corner point of the rotating FGM plate in different temperature fields

圖7 存在不同溫度梯度時(shí)旋轉(zhuǎn)板外側(cè)角點(diǎn)變形Fig.7 Lateral deflection of the corner point of the rotating plate in different temperature fields

當(dāng)溫度場(chǎng)為T(mén)0=0 K,Tc=10 K,Tm=0 K時(shí)，考慮不同角速度和不同體積分?jǐn)?shù)指數(shù)對(duì)板外側(cè)角點(diǎn)在z方向變形的影響。圖8中給出體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N=1時(shí)，對(duì)應(yīng)不同角速度板外側(cè)角點(diǎn)的變形情況。從圖中可以看出，在溫度場(chǎng)影響下FGM板外側(cè)角點(diǎn)的變形隨著旋轉(zhuǎn)角速度的增大而增大并伴隨著輕微的振蕩現(xiàn)象，但是振蕩幅值變化很小。

圖9中給出旋轉(zhuǎn)角速度Ω=5 rad/s，T0=0 K,Tc=10 K,Tm=0 K時(shí)，對(duì)應(yīng)不同體積分?jǐn)?shù)指數(shù)板外側(cè)角點(diǎn)的變形情況。從圖中可知，不同體積分?jǐn)?shù)指數(shù)的旋轉(zhuǎn)功能梯度薄板在存在溫度梯度時(shí)存在振蕩現(xiàn)象，外側(cè)角點(diǎn)變形與振蕩幅值隨著體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N的增大而增大。

3.2 FGM薄板做大范圍平動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析

(35)

從式(35)中可以看出，F(xiàn)GM薄板面內(nèi)方向平動(dòng)加速度a01，a02對(duì)FGM薄板的剛度會(huì)有所改變，此時(shí)會(huì)發(fā)生動(dòng)力剛化或者動(dòng)力柔化效應(yīng)。當(dāng)a01C1+a02C2項(xiàng)為負(fù)值時(shí)，F(xiàn)GM薄板動(dòng)力學(xué)模型剛度增大，振動(dòng)頻率減增大，此時(shí)發(fā)生動(dòng)力剛化效應(yīng)； 當(dāng)a01C1+a02C2項(xiàng)為正值時(shí)，F(xiàn)GM薄板動(dòng)力學(xué)模型剛度減小，振動(dòng)頻率減小，此時(shí)發(fā)生動(dòng)力柔化效應(yīng)。垂直于FGM薄板面的平動(dòng)加速度a03對(duì)FGM薄板的廣義力有所影響，使得板的振幅改變。

FGM板的大范圍平動(dòng)在不同的溫度場(chǎng)對(duì)動(dòng)力學(xué)特性也不同，取面內(nèi)加速度和垂直于板面加速度分別為a01=5 m/s2，a02=20 m/s2，a03=1 m/s2，體積分?jǐn)?shù)指數(shù)為N=1，參考溫度為T(mén)0=0 K，選取不同溫度場(chǎng)對(duì)FGM薄板進(jìn)行數(shù)值仿真。第一種溫度場(chǎng)為T(mén)c=0 K，Tm=0 K，此時(shí)T(z)=0 K，F(xiàn)GM薄板溫度不變時(shí)；第二種溫度場(chǎng)為T(mén)c=10 K，Tm=10 K，此時(shí)T(z)=10 K，F(xiàn)GM薄板受溫度均勻變化影響；第三種溫度場(chǎng)取為T(mén)c=10 K，Tm=0 K，此時(shí)溫度載荷沿板厚度方向呈梯度分布。圖10中給出三種不同溫度場(chǎng)中FGM薄板做大范圍平動(dòng)時(shí)板外側(cè)角點(diǎn)的變形示意圖，從圖中可以看出FGM薄板做大范圍平動(dòng)時(shí)伴隨著強(qiáng)烈的振蕩現(xiàn)象，在恒溫場(chǎng)中FGM薄板變形比溫度不變時(shí)要略小，存在溫度梯度時(shí)FGM薄板變形比溫度不變時(shí)略大。

圖8 不同旋轉(zhuǎn)角速度板外側(cè)角點(diǎn)變形Fig.8 Lateral deflection of the corner point of the rotating plate at different angular velocities

圖9 不同體積分?jǐn)?shù)指數(shù)旋轉(zhuǎn)板外側(cè)角點(diǎn)變形Fig.9 Lateral deflection of the corner point of the rotating plate with different volume fraction exponents

圖10 不同溫度場(chǎng)中平動(dòng)板外側(cè)角點(diǎn)變形Fig.10 Lateral deflection of the corner point of the translational plate in different temperature fields

不同的溫度梯度對(duì)FGM薄板的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)也會(huì)有一定的影響，取面內(nèi)加速度和垂直于板面加速度分別為a01=5 m/s2，a02=20 m/s2，a03=1 m/s2，體積分?jǐn)?shù)指數(shù)為N=1，參考溫度為T(mén)0=0 K，選取三種不同的溫度邊界條件，圖11中給出三種不同溫度邊界條件對(duì)應(yīng)FGM板外側(cè)角點(diǎn)的變形。從圖中可得出隨著FGM板上下表面溫度差的增加，F(xiàn)GM板外側(cè)角點(diǎn)的變形略微增大。

選取不同的體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N對(duì)FGM薄板外側(cè)角點(diǎn)的變形影響也不同，選取邊界條件為T(mén)c=10 K，Tm=0 K的溫度場(chǎng)，F(xiàn)GM薄板面內(nèi)加速度與垂直于板面加速度分別為a01=5 m/s2，a02=20 m/s2，a03=1 m/s2，改變體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N的值進(jìn)行數(shù)值仿真可得如圖12所示結(jié)果，從圖中可以看出，隨著體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N的增大，做大范圍平動(dòng)的FGM薄板外側(cè)角點(diǎn)的變形幅值改變不明顯，但是其頻率會(huì)有所改變，且N<1時(shí)變化較為明顯。

3.3 FGM薄板做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率分析

給系統(tǒng)一繞OY軸旋轉(zhuǎn)角速度Ω，此時(shí)浮動(dòng)坐標(biāo)系o-xyz中原點(diǎn)o的速度及角速度的分量分別為

圖11 存在不同溫度梯度時(shí)平動(dòng)板外側(cè)角點(diǎn)變形Fig.11 Lateral deflection of the corner point of the translational plate in different variable temperature fields

圖12 大范圍平動(dòng)下對(duì)應(yīng)不同體積分?jǐn)?shù)指數(shù)FGM板外側(cè)角點(diǎn)變形示意圖Fig.12 Lateral deflection of the corner point of the translational plate with different volume fraction exponents

(36)

本文研究的柔性FGM薄板結(jié)構(gòu)對(duì)動(dòng)力學(xué)方程中包含的面內(nèi)拉伸振動(dòng)與橫向彎曲振動(dòng)的耦合項(xiàng)忽略不計(jì)。將上式各項(xiàng)代入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)式(24)第三行，舍去面內(nèi)振動(dòng)項(xiàng)，同時(shí)令方程右端項(xiàng)為零，得到旋轉(zhuǎn)FGM板的橫向自由振動(dòng)方程

(37)

式中： 剛度矩陣由考慮了二次耦合變形量產(chǎn)生的動(dòng)力剛化陣Ω2(RC1+D11)、 動(dòng)力柔化項(xiàng)-Ω2M33以及結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的靜剛度陣Kf33三部分組成。

對(duì)式(37)進(jìn)行無(wú)量綱化處理，引入如下無(wú)量綱變量

(38)

(39)

式中：D=Em/12(1-μ2);η和ε分別為FGM板中陶瓷組分與金屬組分的彈性模量比和密度比；δ為板的縱橫比；σ為中心剛體半徑與板縱向邊長(zhǎng)之比；γ為無(wú)量綱角速度，將上述無(wú)量綱量代入式(37)可得

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

式中：ψ3為無(wú)量綱變量χ和ζ的函數(shù)， 取與φ3相同的數(shù)值；ξ為與梯度指數(shù)N有關(guān)的功能梯度材料分布系數(shù)，表示為

(46)

求解無(wú)量綱式(40)，令

z=ejωζZ

(47)

式中： j為虛數(shù)；ω為無(wú)量綱固有頻率；Z為常數(shù)列陣。將式(47)代入式(40)中得到特征值方程

(48)

求解式(48)即可獲得FGM板的無(wú)量綱固有頻率與模態(tài)振型。

由式(48)可以看出FGM板在做大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)無(wú)量綱固有頻率與溫度不相關(guān)，為取FGM板多階頻率進(jìn)行研究，現(xiàn)取模態(tài)截?cái)鄶?shù)分別為m=5，n=7, 體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N=1，圖13所示為無(wú)量綱固有頻率隨著無(wú)量綱角速度γ的變化的關(guān)系圖。從圖中可以看出，無(wú)量綱固有頻率隨著無(wú)量綱角速度增大而增大，并且相鄰兩階或者多階頻率之間存在頻率轉(zhuǎn)向現(xiàn)象或多次轉(zhuǎn)向的現(xiàn)象。

圖14給出不同體積分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的大范圍功能梯度薄板第4階無(wú)量綱頻率曲線示意圖，從圖中可以看出，隨著體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N的增大，旋轉(zhuǎn)功能梯度薄板第4階無(wú)量綱固有頻率減小。

圖13 前十階無(wú)量綱固有頻率示意圖Fig.13 The first ten dimensionless natural frequencies

圖14 第4階固有頻率隨體積分?jǐn)?shù)指數(shù)變化示意圖Fig.14 The first dimensionless natural frequencies with different volume fraction exponents

4 結(jié) 論

本文建立了存在溫度梯度時(shí)做大范圍運(yùn)動(dòng)FGM薄板的一次近似剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)模型，分別研究了溫度載荷和體積分?jǐn)?shù)指數(shù)對(duì)大范圍運(yùn)動(dòng)FGM薄板的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律及振動(dòng)分析等問(wèn)題，得到如下結(jié)論：

(1) 存在溫度梯度時(shí)，大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)FGM薄板存在輕微振蕩幅值相對(duì)變形較小的振蕩現(xiàn)象，均質(zhì)薄板存在較為明顯的振蕩現(xiàn)象，說(shuō)明FGM材料有一定的熱應(yīng)力緩和效果。

(2) 存在溫度梯度時(shí)，大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)的FGM薄板震蕩幅值和變形隨功能梯度薄板上下表面的溫度差增大而增大，其變形分別隨著體積分?jǐn)?shù)和旋轉(zhuǎn)角速度的增大而增大。

(3) 由于動(dòng)力剛化效應(yīng)，做大范圍平動(dòng)的FGM薄板在溫度不變、溫度均勻變化和存在溫度梯度時(shí)均存在劇烈振蕩現(xiàn)象，且存在溫度梯度時(shí)振蕩幅值較大。

(4) 大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)FGM薄板隨著旋轉(zhuǎn)角速度的改變往往伴隨頻率轉(zhuǎn)換現(xiàn)象，其無(wú)量綱固有頻率隨體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N增大而減小。