冷建成， 田洪旭, 徐 爽, 周國強, 趙海峰

(1. 東北石油大學(xué) 機械科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318； 2. 中國石油集團工程技術(shù)研究院，天津 300451)

模型修正是有限元分析的逆命題，受模型簡化、加工制造誤差、邊界條件變化等因素的影響，有限元模型不一定能準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)的真實情況。因此，需要對有限元模型進行修正，使其獲得與真實結(jié)構(gòu)相一致的動力和靜力響應(yīng)，這一過程即為模型修正。隨著有限元仿真在工程應(yīng)用中的不斷拓寬，模型修正技術(shù)也日漸凸顯出了其重要性，尤其是在安全性能評估、動態(tài)響應(yīng)預(yù)測、結(jié)構(gòu)設(shè)計等領(lǐng)域，模型修正技術(shù)作為聯(lián)系數(shù)值模型和實體結(jié)構(gòu)間的紐帶，在解決工程問題的過程中發(fā)揮了關(guān)鍵性作用。

傳統(tǒng)的模型修正方法按修正對象可分為矩陣法和元素法兩類，前者基于矩陣攝動理論并引入正交性和系統(tǒng)特征方程作為約束條件修正剛度和質(zhì)量矩陣[1-4]；后者將結(jié)構(gòu)的固有屬性，如密度、彈性模量、邊界條件等作為修正參數(shù)，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)[5-8]。上述方法由于在修正過程中需要大量的有限元迭代計算，修正效率受到了嚴(yán)重影響，使得模型修正往往需要耗費大量的時間。近年來，為解決這一問題，代理模型法開始應(yīng)用于模型修正領(lǐng)域。該方法利用代理模型，包括多項式響應(yīng)面模型、縮階模型、支持向量機模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等，代替待修正參數(shù)與修正目標(biāo)間復(fù)雜的映射關(guān)系，減少了修正過程中的有限元計算量，因而顯著提高了修正效率。Fang等[9]提出將D最優(yōu)實驗設(shè)計方法和一階響應(yīng)面相結(jié)合用于解決模型修正問題，并利用鋼筋混凝土框架驗證了該方法的有效性；宗周紅等[10]利用三階多項式代理模型修正了下白石大橋的初始有限元模型。然而，代理模型在推廣過程中也受到了一些質(zhì)疑，究其原因在于代理模型是具備統(tǒng)計特征的近似方法，存在著近似誤差的問題，而模型修正屬于一類不適定性問題，微小的干擾可能對最終結(jié)果產(chǎn)生較大的影響。為此，有學(xué)者從代理模型構(gòu)造方法出發(fā)提出了改進方法。Chakraborty等[11]提出將滑動最小二乘法引入到代理模型生成過程中，認(rèn)為基于滑動最小二乘的自適應(yīng)模型修正方法相較于最小二乘法擁有更高的擬合精度。陳喆等[12]提出采用一種混合基函數(shù)形式的增廣SVM方法構(gòu)造代理模型，并通過算例說明該方法相較于普通SVM方法有著更高的精度。

源于地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)的Kriging模型[13]是一種插值模型，其優(yōu)勢在于對非線性問題有著突出的擬合效果，在優(yōu)化設(shè)計和可靠性分析等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[14-15]。張冬冬等[14]對Kriging模型在模型確認(rèn)領(lǐng)域的應(yīng)用進行了探討，提出利用置信空間評價代理模型的有效性。韓忠華[15]總結(jié)了Kriging模型的進展歷程，利用機翼優(yōu)化算例對基于Kriging模型的優(yōu)化設(shè)計理論進行了驗證?？梢?，該方法在航空等工程領(lǐng)域已有成功應(yīng)用，本文以某導(dǎo)管架海洋平臺模型為研究對象，在研究Kriging代理模型修正方法的基礎(chǔ)上提出一種基于多目標(biāo)遺傳算法(Multi-Objective Genetic Algorithm，MOGA)的局部加點優(yōu)化方法以提高Kriging模型精度，并利用平臺物理模型試驗驗證了修正方法的有效性。

1 基本理論

1.1 Kriging模型

Kriging模型認(rèn)為隨機變量的分布規(guī)律是在全局期望的基礎(chǔ)上受一定的局部偏差影響而產(chǎn)生的，且該局部偏差呈高斯隨機分布，通過協(xié)方差表示其相關(guān)程度

Cov[Z(x),Z(x′)]=σ2R(x,x′)

(1)

式中:Z(x)，Z(x′)為局部偏差；σ2為局部偏差的高斯隨機函數(shù)方差；R(x,x′)為隨機變量中兩點相關(guān)性的相關(guān)函數(shù)，與兩點距離d和系數(shù)θ有關(guān)，基本形式為

(2)

得到的擬合結(jié)果可寫作

y(s)=f(x)+Z(x)

(3)

式中:f(x)為符合全局函數(shù)期望的回歸函數(shù)；Z(x)越趨近于0，擬合曲線越光滑。

在確定相關(guān)函數(shù)的前提下，Kriging模型可看作由β,σ2,θ組成，利用最大似然估計聯(lián)合貝葉斯方法，求得β0與σ2分別為

β0=(fTR-1F)-1FTR-1ys

(4)

(5)

式中:F=[f(x1)，f(x2),…，f(xn)];ys為各設(shè)計點的響應(yīng)值，R為相關(guān)性矩陣

(6)

記r為相關(guān)矢量，rT=[R(x1,x),R(x2,x), …,R(xn,x)]，則最終結(jié)果可表示為

(7)

1.2 Kriging模型修正方法

Kriging模型修正方法是在傳統(tǒng)模型修正方法求解目標(biāo)函數(shù)這一步驟中，利用Kriging模型代替復(fù)雜的有限元計算，其流程如圖1所示?？纱笾赂爬?個主要流程：①生成樣本空間，主要包括修正參數(shù)的選取及試驗設(shè)計，其中試驗設(shè)計的目的是在最小化選取樣本點數(shù)量的同時，最大化獲得修正空間內(nèi)的信息量，主要試驗設(shè)計方法包括中心復(fù)合設(shè)計、D最優(yōu)設(shè)計、超拉丁方設(shè)計等；②Kriging模型的生成；③修正目標(biāo)的求解，常引入遺傳、粒子群、模擬退火等智能仿生算法以優(yōu)化求解過程，改善多個修正目標(biāo)下可能面臨的收斂問題。

圖1 Kriging代理模型修正框架圖Fig.1 Framework of Kriging model based model updating method

2 海洋平臺模型修正

2.1 初始有限元模型分析

選取一導(dǎo)管架海洋平臺的室內(nèi)物理模型作為研究對象。該試驗?zāi)Ｐ鸵阅硨?dǎo)管架平臺為原型，按幾何相似比1∶50加工而成，模型總高度為3.506 m，分為7層，底層尺寸為1.739 m×1.447 m，共有8個樁腿，各樁腿通過底部的螺栓固定在底座基礎(chǔ)上。對該試驗?zāi)Ｐ瓦M行有限元建模，基于模態(tài)分析得到固有頻率及振型，如圖2所示，其中，前三階為結(jié)構(gòu)整體振型，分別為縱向彎曲(21.969 Hz)、橫向彎曲(23.603 Hz)和扭轉(zhuǎn)(33.785 Hz)。

圖2 前三階有限元計算模態(tài)振型圖Fig.2 View of the first three modes of vibration obtained by FE model

2.2 模型振動試驗

為獲取實測模態(tài)信息，采用上海北智公司17110型壓電式加速度傳感器和比利時LMS SCADAS Mobile測試系統(tǒng)對平臺進行了力錘敲擊試驗，在平臺模型上共布置了10個測點，如圖3所示。

圖3 測點布置圖Fig.3 View of measurement points

為確保測試結(jié)果真實有效，每次敲擊均由同一名試驗人員在確保模型不受任何外力干擾的情況下完成。測試數(shù)據(jù)利用LMS Test Lab軟件進行處理，由多參考點最小二乘復(fù)頻域法得出前三階實測固有頻率，并考察頻率相關(guān)性Eω[16]

(8)

式中：ωt為實測頻率；ωa為有限元計算頻率，計算結(jié)果如表1所示。

表1 平臺模型計算模態(tài)頻率與實測模態(tài)頻率的比較

2.3 修正參數(shù)選擇及試驗設(shè)計

海洋平臺可供選擇的修正對象包括平臺桿件的截面及材料屬性、邊界條件、甲板附加質(zhì)量等。由于表1中一階模態(tài)頻率實測值與計算值相差較大，將樁腿底部縱向邊界條件改為彈性支承，將彈性支承的剛度K設(shè)為修正參數(shù)，以修正邊界條件簡化帶來的影響，降低一階頻率的計算值。同時將材料彈性模量E、平臺外側(cè)樁腿壁厚δ1、中間樁腿壁厚δ2以及頂層甲板厚度t設(shè)為修正參數(shù)，各參數(shù)的取值范圍及在有限元模型中的初始值，如表2所示。

表2 修正參數(shù)取值范圍

試驗設(shè)計采取拉丁超立方抽樣方法，該方法是一種多維分層抽樣方法，相較于傳統(tǒng)方法能夠使選取的樣本點布滿樣本空間，從而避免堆積點的問題[17]。共選取了27個樣本點，如表3所示。

表3 拉丁超立方抽樣設(shè)計

2.4 Kriging模型生成

通過有限元計算得出樣本點處的頻率值，生成了Kriging模型。將參數(shù)K固定為1×107N/m，其余參數(shù)固定為初始值，對Kriging模型進行局部靈敏度分析，結(jié)果如圖4所示。結(jié)合分析結(jié)果，選取對修正過程有顯著影響的參數(shù)，繪制響應(yīng)曲面，如圖5所示。

圖4 局部靈敏度示意圖Fig.4 Local sensitivity diagram

由圖4可知，前三階頻率與參數(shù)t呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，與其余4個參數(shù)呈正相關(guān)關(guān)系。參數(shù)K僅對一階頻率有顯著影響，參數(shù)δ1對一階頻率和二階頻率有顯著影響，參數(shù)t對前三階頻率均有顯著影響，參數(shù)E,δ2對前三階模態(tài)頻率的影響相對較弱。

響應(yīng)曲面圖能夠直觀反映模態(tài)頻率隨修正參數(shù)變化的趨勢。由圖5可知，計算模態(tài)頻率能夠在修正域內(nèi)達到目標(biāo)值。對Kriging模型精度進行檢驗，計算均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)如式(9)所示，前三階頻率計算結(jié)果分別為3.467×10-9,7.986×10-9,7.611×10-9，均趨近于0，說明Kriging模型能夠反映修正參數(shù)與模態(tài)頻率的映射關(guān)系，可以用于替代有限元模型進行修正。

(9)

圖5 前三階模態(tài)頻率響應(yīng)曲面圖Fig.5 Response diagram of the first three modal frequencies

2.5 基于Kriging模型的平臺模型修正

利用MOGA在Kriging模型中求解全局最優(yōu)，得到修正點和近似值，將修正點代入有限元模型中進行驗算，得到修正值，如表4所示。

表4 修正結(jié)果

由表4可知，基于Kriging模型的模型修正可以獲得顯著的修正效果，但一階頻率近似誤差相較于其余兩階存在較大差距，可能對最終修正結(jié)果產(chǎn)生一定影響，由此判斷修正過程仍有進一步優(yōu)化的空間。

3 基于優(yōu)化Kriging模型的平臺模型修正

3.1 基于MOGA的局部加點優(yōu)化方法

復(fù)雜結(jié)構(gòu)中修正參數(shù)與目標(biāo)函數(shù)間的映射關(guān)系往往具有較強非線性特征，因此需要對代理模型進行優(yōu)化處理以提高其擬合精度。在修正空間內(nèi)添加樣本點是一種直接有效的優(yōu)化方法，Kriging模型中常用的加點準(zhǔn)則包括最小化代理模型準(zhǔn)則、改善期望準(zhǔn)則、改善概率準(zhǔn)則、均方差準(zhǔn)則等。

模型修正問題僅關(guān)心最優(yōu)修正點相近區(qū)域的局部擬合精度。針對這一特點，提出一種基于MOGA的局部加點優(yōu)化方法，認(rèn)為修正過程中通過MOGA計算得到的Pareto最優(yōu)解集接近于最優(yōu)修正點，新增樣本點可從中選取。分為兩類情況：一類是修正點擬合效果較差且未出現(xiàn)符合期望的修正點，可以通過調(diào)整代理模型精度獲得更為精確的修正結(jié)果；另一類是修正點擬合精度較高，或出現(xiàn)了符合期望的修正點。對于第一類情況，優(yōu)先選取最大誤差點，同時適當(dāng)增加所選取樣本點的數(shù)量以加快收斂，如式(10)所示；對于第二類情況，則直接選擇修正效果最佳的點，如式(11)所示。

(10)

(11)

3.2 基于優(yōu)化Kriging模型的平臺模型修正

將基于MOGA的加點優(yōu)化方法引入到修正流程中，驗證Pareto解集中排序靠前的4個解，從中選擇新增樣本點并更新Kriging模型重新進行修正，循環(huán)7次，結(jié)果如表5所示。

同時定義平均修正誤差和平均擬合誤差分別如式(12)和式(13)所示，其變化如圖6所示。

(12)

(13)

圖6 修正和擬合誤差變化示意圖Fig.6 Modification and fitting error diagram

表5 基于MOGA加點優(yōu)化法的前7次循環(huán)修正結(jié)果

前兩次循環(huán)屬于第一類情況，分別選取了3個和2個新增樣本點，修正后平均修正誤差和平均擬合誤差分別降至0.257%，0.041%。第三、第四次循環(huán)屬于第二類情況，經(jīng)過優(yōu)化后近似誤差和修正誤差均有回升。第五、第六、第七次循環(huán)按第一類情況選取新增樣本點，最終平均修正誤差和平均誤差擬合降至0.271%,0.154%。從表5中可知，Kriging模型中的近似誤差主要集中在一階頻率，但在循環(huán)過程中，二階、三階頻率的修正同樣出現(xiàn)了波動，循環(huán)過程中變化較大參數(shù)是δ2和t。第三次循環(huán)后，平均修正誤差達到了最低值0.238%，且修正后前三階計算頻率相關(guān)性均達到了理想水平，可將其視為最終修正結(jié)果。

4 結(jié) 論

通過試驗與有限元模擬，基于Kriging模型修正方法對室內(nèi)導(dǎo)管架平臺數(shù)值模型進行了修正。為提高Kriging模型的擬合精度，提出了一種基于MOGA的優(yōu)化方法，得出以下結(jié)論：

(1) 以拉丁超立方抽樣設(shè)計抽取樣本點所構(gòu)建的Kriging模型能夠有效反映出海洋平臺結(jié)構(gòu)參數(shù)與模態(tài)頻率間的映射關(guān)系，且分析效應(yīng)和計算精度高，可以應(yīng)用于海洋平臺的模型修正問題中。經(jīng)過修正后，前三階模態(tài)頻率相關(guān)性由-25.80%,-7.74%,-1.56%修正至2.43%,-0.30%,-1.57%，效果顯著。

(2) 代理模型的近似誤差對修正結(jié)果有一定的干擾，不僅會對出現(xiàn)誤差的目標(biāo)造成影響，還可能使其余目標(biāo)函數(shù)的修正出現(xiàn)偏差。提出的基于MOGA的加點優(yōu)化方法能夠?qū)riging模型進行局部優(yōu)化處理，大大提高了擬合精度，提升其修正效果，進而驗證了所提方法的有效性，并可推廣到其它實際工程結(jié)構(gòu)的有限元模型修正中。