王群

APOS理論是一種建構(gòu)主義個(gè)體學(xué)習(xí)理論，有學(xué)者認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念要進(jìn)行心理建構(gòu)，此建構(gòu)過(guò)程需經(jīng)歷操作或活動(dòng)（Action）—過(guò)程（Process）—對(duì)象（Object）—圖式（Schema）等四個(gè)階段。以“用字母表示數(shù)”一課為例，經(jīng)歷操作或活動(dòng)階段，從游戲情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“用字母表示數(shù)”的現(xiàn)實(shí)模型，經(jīng)歷提問(wèn)、操作、計(jì)算等活動(dòng)，從而初步感知概念的本質(zhì)屬性，建立概念表象;過(guò)程階段，運(yùn)用分析、比較、綜合等方法，幫助學(xué)生逐步抽象出概念本質(zhì);對(duì)象階段，通過(guò)簡(jiǎn)寫字母式，將概念逐步壓縮為一種心理程序，從而進(jìn)行符號(hào)間的高階運(yùn)算;圖式階段，引導(dǎo)學(xué)生思考概念間的內(nèi)在聯(lián)系，建立必要的模型，將概念內(nèi)化。

【教學(xué)內(nèi)容】蘇教版五上“用字母表示數(shù)”例1～例3。

【教學(xué)目標(biāo)】

1. 初步理解用字母可以表示數(shù)，會(huì)用含有字母的式子表示簡(jiǎn)單的數(shù)量、數(shù)量關(guān)系和計(jì)算公式，初步學(xué)會(huì)計(jì)算含有字母式子的值，了解字母式子的乘法簡(jiǎn)便寫法。

2. 完整地經(jīng)歷用含有字母的式子表示簡(jiǎn)單的數(shù)量、數(shù)量關(guān)系和計(jì)算公式的抽象過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的抽象性與概括性，發(fā)展符號(hào)意識(shí)，培養(yǎng)初步的代數(shù)思維。

3. 體會(huì)數(shù)學(xué)表達(dá)的簡(jiǎn)潔之美，培養(yǎng)主動(dòng)思考、回顧、反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

【教學(xué)重點(diǎn)】會(huì)用字母表示數(shù)和簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系。

【教學(xué)難點(diǎn)】理解字母式表示運(yùn)算結(jié)果和數(shù)量關(guān)系的雙重性。

【教學(xué)過(guò)程】

一、游戲?qū)?，引入新課

師：同學(xué)們用撲克牌玩過(guò)24點(diǎn)游戲嗎？看誰(shuí)最先算出24點(diǎn)。（課件出示撲克牌5、2、3、A）

師：奇怪，沒(méi)有看見1呀？（這里的字母A就表示1）

小結(jié)：在撲克牌中，人們用特定的字母表示數(shù)。算24點(diǎn)時(shí)，A就表示1，字母A在這里表示一個(gè)確定的數(shù)。（板書：表示確定的數(shù)）撲克牌里還有哪些字母也表示確定的數(shù)呢？

師：其實(shí)，不僅生活中有用字母表示數(shù)，研究數(shù)學(xué)更需要用字母表示數(shù)。（板書揭題：用字母表示數(shù)）你想到什么問(wèn)題了嗎？帶著這些問(wèn)題，我們一起走進(jìn)今天的學(xué)習(xí)。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)概念的形成最初要經(jīng)歷從直觀到抽象的活動(dòng)過(guò)程。這正是操作或活動(dòng)階段的要義。在該階段中，操作活動(dòng)將使學(xué)生受到外部刺激。外部刺激主要分為情境和操作方式這兩個(gè)方面。情境包含生活情境、數(shù)學(xué)情境等;操作方式不僅包括外在的操作活動(dòng)，還包括內(nèi)在的思維活動(dòng)，如回憶、猜想、判斷、計(jì)算等。

在本環(huán)節(jié)中，教師先組織學(xué)生計(jì)算24點(diǎn)，極大地激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣，將生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)知識(shí)建立鏈接。待教師揭示課題后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生提問(wèn)，將他們的真實(shí)問(wèn)題與教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行銜接，使新知學(xué)習(xí)成為學(xué)生的內(nèi)在需要，從而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

二、自主探究，初步感知

1. 拼擺三角形，為探索用字母表示“變化的數(shù)”作鋪墊。

師：讓我們的研究從用小棒擺三角形開始吧，擺一個(gè)三角形需要幾根小棒？

師：擺兩個(gè)三角形呢？你能用算式表示擺小棒的根數(shù)嗎？

師：擺三個(gè)三角形呢？小棒的根數(shù)會(huì)用算式表示嗎？擺四個(gè)呢？（課件逐步出現(xiàn)三角形，并依次板書：1個(gè)，3根;2個(gè)，2×3根;3個(gè)，3×3根;4個(gè)，4×3根）

設(shè)計(jì)意圖：在活動(dòng)階段，個(gè)體對(duì)接收到的外部刺激進(jìn)行逐步內(nèi)化抽象。課件依次呈現(xiàn)三角形的個(gè)數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生多次經(jīng)歷觀察、思考、計(jì)算等直觀操作活動(dòng)。在活動(dòng)中體會(huì)三角形形狀不變是源于小棒根數(shù)與三角形個(gè)數(shù)的穩(wěn)定關(guān)系。在多次活動(dòng)中剝離直觀屬性，逐步形成小棒的根數(shù)與三角形個(gè)數(shù)關(guān)系的思維表象。杜賓斯基認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，操作運(yùn)算行為是數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)性行為。學(xué)生要通過(guò)實(shí)際演算和頭腦中的心理操作來(lái)獲得知識(shí)，否則數(shù)學(xué)概念將成為無(wú)源之水，無(wú)本之木。

2. 師：在擺的過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)三角形的個(gè)數(shù)是變化的，小棒的根數(shù)也是變化的，那什么是不變的呢？（圍成一個(gè)三角形需要3根小棒）

師：如果老師有足夠多的小棒，你想擺幾個(gè)三角形，又需要幾根小棒呢？你想擺幾個(gè)？一直擺下去，能擺得完嗎？擺不完怎么辦呢？（板書：省略號(hào)）先想一想，再和你的同桌輕聲交流。

預(yù)設(shè)回答：用字母a表示三角形的個(gè)數(shù)，小棒的根數(shù)就是a×3。

師：a和a×3分別表示什么意思呢？當(dāng)三角形的個(gè)數(shù)用a表示時(shí)，小棒的根數(shù)為什么可以用a×3來(lái)表示呢？

小結(jié)：和算24點(diǎn)中的字母A不同，這里的a可以表示所有的自然數(shù)，a表示的不再是一個(gè)確定的數(shù)，而是一個(gè)變化的數(shù)。（板書：變化的數(shù)）

3. 師：用n來(lái)表示三角形個(gè)數(shù)可以嗎？這時(shí)小棒的根數(shù)又可以怎樣表示？指出：同一個(gè)數(shù)還可以用不同的字母來(lái)表示。

設(shè)計(jì)意圖：當(dāng)用小棒擺三角形的活動(dòng)多次重復(fù)，被學(xué)生熟悉之后，操作活動(dòng)就可以內(nèi)化為心理操作，由此進(jìn)入概念學(xué)習(xí)的過(guò)程階段。學(xué)生可以自如地在大腦中實(shí)施“擺小棒”的過(guò)程。通過(guò)讓學(xué)生自由說(shuō)“想擺幾個(gè)三角形，需要幾根小棒”，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)三角形越擺越多，而且怎么擺也擺不完，自然引發(fā)學(xué)生對(duì)規(guī)律的探索和發(fā)現(xiàn)。再通過(guò)獨(dú)立思考、小組交流等教學(xué)策略，學(xué)生體會(huì)用字母式既表示變化的數(shù)又表示數(shù)量關(guān)系的雙重性。

三、游戲引領(lǐng)，提升感知

1. 在游戲中感受用字母表示相差關(guān)系的量。

體驗(yàn)字母式的形成過(guò)程，數(shù)學(xué)游戲——神奇魔盒。

師：接下來(lái)，老師想和大家一起來(lái)玩一個(gè)小魔術(shù)。這里有一個(gè)神奇的魔法盒子，它的神奇在于，左邊進(jìn)入一個(gè)數(shù)，穿過(guò)盒子之后，它就會(huì)變成另外一個(gè)數(shù)。

課件演示：輸入5，輸出15;輸入12，輸出22;輸入100，輸出110。

師：是否有人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了什么？（輸入的數(shù)進(jìn)入盒子出來(lái)之后就增加了10）

驗(yàn)證猜想：輸入10.5，輸出20.5。

2. 嘗試概括，揭示本質(zhì)。