胡孟君

(浙江省紹興市越州中學(xué) 312000)

2019年是浙江省高考改革數(shù)學(xué)文理合卷考試的第三年，試卷嚴(yán)格遵循《2019年浙江省普通高考考試說(shuō)明》和《浙江省普通高中學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見(jiàn)》的要求，全面覆蓋高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，突出主干知識(shí)，重視知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，秉承了“簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單”的風(fēng)格.試題面向全體考生，為不同基礎(chǔ)、不同能力水平的的考生都提供了適當(dāng)相應(yīng)的思考空間，體現(xiàn)了較好的區(qū)分度.本文以2019年浙江高考第21題為例，從試題背景、結(jié)構(gòu)分析、試題解法等多方位進(jìn)行研讀，希望對(duì)平時(shí)的教學(xué)有所啟示.

一、試題呈現(xiàn)

(本題滿分15分)如圖，已知點(diǎn)F(1, 0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)．記△AFG，△CQG的面積分別為S1,S2．

(1)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；

二、試題背景

這是一道圓錐曲線的綜合題，本題以拋物線為載體，常見(jiàn)的問(wèn)題為基礎(chǔ)，常用的方法為手段來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題，引入新的幾何背景和設(shè)問(wèn)方式，敘述簡(jiǎn)潔清楚，很好地呈現(xiàn)了浙江省試題命題“簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單”的風(fēng)格.

第一問(wèn)易得p=2，拋物線的準(zhǔn)線方程x=-1.所以，后面的篇幅我們將圍繞第二問(wèn)進(jìn)行.

三、結(jié)構(gòu)分析

條件：

1.拋物線的方程y2=4x.

2.AB為過(guò)焦點(diǎn)的弦，C為拋物線上的點(diǎn)，Q為AC與x軸的交點(diǎn).

3.△ABC的重心G在x軸上.

數(shù)據(jù)分析完成第一小題完成韋達(dá)定理得到面積比的函數(shù)182200732009200

學(xué)生思維的難點(diǎn)

上表是選取本校數(shù)學(xué)成績(jī)較好的200位同學(xué)作的一項(xiàng)調(diào)查.通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生思維的難點(diǎn)主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.△ABC的重心G的轉(zhuǎn)化.

3.運(yùn)算能力.高考對(duì)圓錐曲線的考查主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：

①轉(zhuǎn)化能力；

②運(yùn)算能力.

在解決圓錐曲線的綜合題時(shí)，能探索出解題思路，已經(jīng)跨出了一大步，但是離最終的勝利卻仍然面臨一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)——計(jì)算問(wèn)題.所以尋求簡(jiǎn)捷合理的有效途徑，優(yōu)化計(jì)算過(guò)程，顯得尤為重要.

四、試題解法

1.代數(shù)法——設(shè)點(diǎn)

代數(shù)法的特點(diǎn)是，直譯題意，順勢(shì)而下.方法如下：

令m=t2-2，則m>0，

點(diǎn)評(píng)這是考試院給出的答案.這種解法很好地體現(xiàn)了浙江高考對(duì)解析幾何大題的定位：考查學(xué)生用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力和學(xué)生的運(yùn)算能力，同時(shí)降低了計(jì)算的難度.

2.代數(shù)法——設(shè)直線

根據(jù)對(duì)稱性，下設(shè)y1>0，

設(shè)AB直線方程：x=my+1(m≠0，若m=0則y3=0不符合題意)，

點(diǎn)評(píng)解析幾何常見(jiàn)的方法是設(shè)點(diǎn)設(shè)線，很多同學(xué)總是舉棋不定，實(shí)際上這兩種方法是相通的，重要的是理清變量之間的關(guān)系，當(dāng)然還要有過(guò)硬的運(yùn)算功底.

3.幾何法

由重心的性質(zhì)，可知S△ABG=S△ACG

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(y1>0>y2)，

點(diǎn)評(píng)這種解法利用平面幾何的性質(zhì)，將兩個(gè)三角形的面積比轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度之比，然后將其轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，很大程度上簡(jiǎn)化了前面代數(shù)法中所帶來(lái)的繁雜的計(jì)算，提高了解題效率.

4.向量法

由F,G,Q三點(diǎn)共線，得λ+μ=3(1<λ,μ<2).

因?yàn)镚為△ABC的重心,所以S△ABG=S△ACG.

點(diǎn)評(píng)這種解法很好地利用向量是代數(shù)和幾何的綜合體的特性，把幾何與代數(shù)完美地融合在一起.

縱觀本題的四種解法，前兩種解法是解析幾何中的通法，是解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的常用方法，將兩個(gè)三角形的面積的比值表示成某一個(gè)參數(shù)的解析式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.解法三、四通過(guò)數(shù)形結(jié)合，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算，這也要求我們教師在教學(xué)過(guò)程中要重視問(wèn)題的幾何表征和代數(shù)特征，以及兩者之間的轉(zhuǎn)化.

五、總結(jié)與思考

從上述的四種解法中，我們深切地感受到，“想得少一點(diǎn)，做的多一點(diǎn)，想得多一點(diǎn)，做的少一點(diǎn)”，這是近幾年浙江高考命題的一個(gè)理念.正確計(jì)算是解決解析幾何問(wèn)題的基本功，數(shù)形結(jié)合是轉(zhuǎn)化幾何問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn).若想在現(xiàn)今的高考中所向披靡，兩者缺一不可，我們給出以下建議：

1.對(duì)于學(xué)生

(1)重視運(yùn)算能力

運(yùn)算能力包括基本的計(jì)算與算法的選擇兩個(gè)維度.例如本題中已知直線過(guò)某個(gè)定點(diǎn)與拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，這是基本的計(jì)算，必須熟練掌握.另外，在進(jìn)行復(fù)雜的運(yùn)算之前，要有算法選擇意識(shí)，想清楚計(jì)算的過(guò)程，選擇盡量?jī)?yōu)化的算法和順序再動(dòng)手.

(2)強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，但并不排斥對(duì)圖形結(jié)構(gòu)的分析，若能運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合思想，先從圖形上將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，再計(jì)算則會(huì)簡(jiǎn)單很多.

(3)選定一個(gè)方向，做下去

解析幾何計(jì)算的繁雜是常態(tài)！與其“望而卻步”，不如“埋頭實(shí)算”，你要堅(jiān)信，只要方向正確，題目一定是可以解決的，不要輕易地半途而廢.和任何事情一樣，數(shù)學(xué)解題也是一個(gè)充滿喜怒哀樂(lè)的過(guò)程，惟有堅(jiān)持，才能品嘗到成功的喜悅！

2.對(duì)于教師

(1)變式教學(xué)，提升學(xué)生素養(yǎng).對(duì)高考題進(jìn)行拓展性研究，觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，通過(guò)改變題目條件、把平面幾何性質(zhì)遷移至圓錐曲線中等方式編制適合學(xué)生練習(xí)的新題，提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(2)解法探析，智慧碰撞.教學(xué)中既要注重通法教學(xué)又要學(xué)會(huì)跳出模塊限制(例如本題圓錐曲線)，站在其他知識(shí)(平面向量，三角函數(shù)，不等式等)的視角審視問(wèn)題，或許會(huì)有一番別開(kāi)生面的場(chǎng)景.