孫如敏

(江蘇省睢寧縣第一中學(xué) 221200)

構(gòu)造思想的核心是構(gòu)造，構(gòu)造是什么？怎么構(gòu)造？構(gòu)造作為一種手段，具有十分明確的目的，它與要認識和解決的數(shù)學(xué)問題緊密聯(lián)系著.筆者在講授函數(shù)最值時對構(gòu)造的思想方法頗有感觸，在課堂的教學(xué)過程中提出了若干種常規(guī)的方法，雖然這些常規(guī)手段是我們解決函數(shù)最值時的首當(dāng)其沖應(yīng)該想到的，不過對于一些頗為棘手的難題，當(dāng)我們用常規(guī)方法不太好解決時，可以根據(jù)題目中的條件對目標(biāo)代數(shù)式進行構(gòu)造，正所謂正難則反，選擇好的構(gòu)造方法往往讓我們覺得耳目一新.下面就筆者在講授相關(guān)最值問題的一些案例和讀者共享.

案例1 設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3,4]上至少有一個零點，求a2+b2的最小值.

下面一段文字是筆者對課堂實錄的一部分.

T：二次函數(shù)f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3,4]上至少有一個零點，意味著什么呢？

S：意味著此二次函數(shù)所對應(yīng)的圖象在[3,4]這個區(qū)間上有一個或者二個交點.

T：能否在演稿紙上把相應(yīng)的示意圖畫出來呢？

S：(學(xué)生默默地拿筆在演稿紙上畫圖，時間大概二三分鐘)……

T：學(xué)生把各自作圖成果展示給大家伙看，一起總結(jié)分析(教師用投影儀把學(xué)生畫的圖展示出來).我們發(fā)現(xiàn)滿足題目條件的圖象種類較多，每一種圖象的情況找出相應(yīng)的限制條件.

S：經(jīng)過剛才的討論情況，發(fā)現(xiàn)滿足條件的二次函數(shù)圖象情況較多，每一種情況也相對復(fù)雜些，把這么多種情況都考慮全面了，估計將耗費更多的時間和精力.

T：想一想有沒有更加好的辦法呢?

S：難不成我們可以利用條件直接去構(gòu)造不成？

T：我們可以試試通過參變分離的方式構(gòu)造出有關(guān)a2+b2的方程或者不等式來分析.

S：由已知得，設(shè)t為二次函數(shù)在[3,4]上的零點，則有at2+(2b+1)t-a-2=0，從而有

at2+2bt+t-a-2=0，即有2-t=[a(t2-1)+2bt].現(xiàn)在只能分離到這一步了，雖然本意想?yún)⒆兎蛛x，但是盡我所能只能分到這一步了.

T：你們已經(jīng)做得很好了，想徹底地做到參變分離的確有點困難，想想我們還可以通過其它什么方式做到參變分離呢？(留足夠時間思考)

小結(jié)：上述案例就是用構(gòu)造的方式求代數(shù)式的最值或者范圍問題，但構(gòu)造的方式方法是多種多樣的，至于什么樣方式得看具體的條件來處理.有時候當(dāng)一種方法失敗后就得學(xué)會在失敗的基礎(chǔ)上進行反思，不斷修正從而找到正確的構(gòu)造方法.下面我們再欣賞一個案例：

案例2 設(shè)二次函數(shù)f(x)=2px2+qx-p+1,當(dāng)|x|≤1時，f(x)≥0恒成立，求p+q的最大值.

下面一段文字是筆者對課堂實錄的一部分.

S：此題的條件和案例1所給條件從邏輯上講是對立的，但解題的方式恰恰是類似的，都可以從圖象入手，從正面考慮二次函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上圖象永遠在x軸的上方或者在其上方時最多有一個交點，用不等式或者不等式組去限制時情況較復(fù)雜，所以也可以和上述案例一樣，采用構(gòu)造的方式構(gòu)造出有關(guān)p+q的代數(shù)式進而求出相應(yīng)的范圍.

S:這種賦值構(gòu)造的理由讓人受益匪淺，值得借鑒，對于代數(shù)式求最值或者證明其滿足某個范圍的時候，如果從正面考慮比較復(fù)雜，正所謂正難則反，通過構(gòu)造的確是一個不錯的思路，其中賦值構(gòu)造的辦法讓人眼界大開，很是不錯.

在解題的過程中有些人在達到目標(biāo)和解答題目方面比較成功，另一些則沒有那么成功，數(shù)學(xué)教育的成功之處就是在于讓學(xué)生在解題的過程中充分體驗各種情緒，如失望，等待，焦慮，恐懼，期望，希望，激動，興奮.在對難度較大的數(shù)學(xué)題目面前是各種方法的較量與博弈，而在各種方法的博弈中，思維風(fēng)暴下崩發(fā)出的構(gòu)造之花更是錦上添花！