吉軒廷，朱振剛

(1 中國科學(xué)院大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院，北京 100049； 2 中國科學(xué)院大學(xué)電子電氣與通信工程學(xué)院，北京 100049)

外爾(Weyl)半金屬[1-2]在提出和發(fā)現(xiàn)后，迅速成為研究熱點。最近，除已經(jīng)在實驗中觀測到的用來體現(xiàn)手征反常的負(fù)磁阻效應(yīng)外[3]，實驗學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，通過測量外爾半金屬的熱磁電導(dǎo)，可以證實外爾半金屬中存在著引力反常[4]。這無疑給反常理論的研究提供了巨大支持。

外爾半金屬是由3+1維的外爾理論來描述的，因此，它是采用2+1維的狄拉克(Dirac)理論所描述的石墨烯的三維類似物。石墨烯在傳統(tǒng)凝聚態(tài)物理中有著廣泛的研究，這些研究大部分集中于弱相互作用下。而理論預(yù)言，當(dāng)石墨烯接近電中性時，可以形成強(qiáng)相互作用的等離子體，即狄拉克流體[5-6]。最近一些實驗表明，在石墨烯中確實存在狄拉克流體[7-8]，人們可以采用相對論性流體理論方法對相應(yīng)問題進(jìn)行研究，例如Lucas等的工作[9-10]。而在外爾半金屬中，當(dāng)費米能靠近外爾點時，在具有反常誘導(dǎo)的輸運性質(zhì)的同時，外爾半金屬也會表現(xiàn)出與石墨烯中類似的流體行為，相關(guān)流體方法的理論研究見文獻(xiàn)[11]。

當(dāng)系統(tǒng)處于強(qiáng)相互作用時，微擾方法不再適用，除流體方法外，人們還可以通過規(guī)范引力對偶(AdS/CFT)對強(qiáng)相互作用進(jìn)行研究。在AdS/CFT方面，最近構(gòu)建的一個外爾半金屬模型[12]引起廣泛關(guān)注，基于該模型，人們研究了很多輸運性質(zhì)諸如負(fù)磁阻效應(yīng)[13]，奇剪切黏度[14]，淬火[15]，軸霍爾效應(yīng)[16]，交流電導(dǎo)[17]以及外爾半金屬的表面態(tài)[18]等。

前面提到的這些效應(yīng)均為耗散輸運，而在帶電相對論性流體中，還存在一些非耗散輸運現(xiàn)象[19]，即在帶電相對論性流體中，磁場會誘導(dǎo)出電流，通過手征磁電導(dǎo)反映；此外，流體中的渦旋也會誘導(dǎo)出電流，相應(yīng)的電導(dǎo)被稱為手征渦旋電導(dǎo)，這兩種效應(yīng)被稱為手征磁效應(yīng)和手征渦旋效應(yīng)。手征磁效應(yīng)表示磁場通過軸矢量反常誘導(dǎo)電場出現(xiàn)，通過久保公式，文獻(xiàn)[20-21]給出它的計算公式，而其現(xiàn)象可以通過負(fù)磁阻觀測到。

手征渦旋效應(yīng)[22-23]表示的是流體中一個渦旋會誘導(dǎo)出一個平行于軸旋度矢量的電流[24]。該效應(yīng)由反常引起，最早由Erdmenger等[22]和Banerjee等[23]通過全息的方法發(fā)現(xiàn)。在他們的工作中，計算了在有限化學(xué)勢下所有流體力學(xué)方程中展開到二階的輸運系數(shù)(包括線性和非線性)。在一階微分展開時，他們首次發(fā)現(xiàn)存在著一個與流體旋度有關(guān)系的輸運系數(shù)，而這個系數(shù)來源于愛因斯坦-麥克斯韋理論中的陳-賽蒙斯(Chern-Simons)項，當(dāng)陳-賽蒙斯項消失時，此輸運系數(shù)也不復(fù)存在。因此，他們指出該輸運系數(shù)是由反常引起的，并通過計算發(fā)現(xiàn)，該系數(shù)正比于化學(xué)勢的平方以及陳-賽蒙斯項參數(shù)。這個系數(shù)的發(fā)現(xiàn)迅速引起研究熱潮，很快Son和Surowka[25]通過流體力學(xué)的方法證實了這個系數(shù)的存在。他們注意到引入量子三角反常(quantum triangle anomaly)會對流體力學(xué)方程的本構(gòu)關(guān)系有重要的修正，不僅會產(chǎn)生剪切黏度，整體黏度以及電導(dǎo)等耗散型的輸運系數(shù)，還會產(chǎn)生2個新的非耗散輸運系數(shù)，分別為正比于磁場的手征磁電導(dǎo)和正比于流體旋度的手征渦旋電導(dǎo)。與上述全息方法比較，他們得出在非零化學(xué)勢下，手征渦旋電導(dǎo)也正比于化學(xué)勢的平方。Neiman和Oz[26]拓展Son等的工作，考慮了更一般的情況，發(fā)現(xiàn)手征渦旋電導(dǎo)在正比于化學(xué)勢平方的同時，也正比于溫度的平方。Landsteiner等通過全息的方法指出，與正比于化學(xué)勢的平方項來源于手征反常不同，手征渦旋電導(dǎo)中正比于溫度平方的項來源于引力反常[19]，而在不考慮引力反常時，無法得到溫度平方依賴關(guān)系[27]。隨后，Landsteiner等[28]通過久保公式的方法在弱耦合的情形下證實手征渦旋電導(dǎo)正比于化學(xué)勢的平方和溫度的平方。Jensen等[29]通過平衡態(tài)配分函數(shù)的計算得到同樣的結(jié)論。由于在不同方法下人們都得到了相同的結(jié)論，因此，手征渦旋效應(yīng)的存在成為手征反常和引力反常存在的直接證據(jù)?？紤]到外爾半金屬中同時存在著手征反常[3]和引力反常[4]，因此，外爾半金屬中也應(yīng)該存在手征渦旋效應(yīng)。

在本文中，我們在外爾半金屬的全息模型中研究手征渦旋效應(yīng)，計算化學(xué)勢為零時的手征渦旋電導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)在引力反常不存在以及溫度為零時，手征渦旋效應(yīng)消失，這與文獻(xiàn)[19]的結(jié)論一致。而在有限溫度時，發(fā)現(xiàn)在系統(tǒng)處于外爾半金屬相時，手征渦旋效應(yīng)存在，且手征渦旋電導(dǎo)正比于溫度的平方。隨著系統(tǒng)逐漸向絕緣體相靠近，該系數(shù)緩慢減小。當(dāng)系統(tǒng)完全變?yōu)橥負(fù)淦接沟慕^緣體相時，手征渦旋電導(dǎo)迅速下降，逐漸趨于零。這充分證明在具有手征費米子的外爾半金屬中，引力反常確實存在。

1 外爾半金屬全息模型

外爾半金屬中至少存在著一對外爾點，在外爾點附近的準(zhǔn)粒子低能有效激發(fā)可以通過左手或右手的外爾旋量來描述。外爾半金屬可以通過破壞狄拉克半金屬中的時間反演或空間反演對稱性得到?？紤]在時間反演對稱性破壞的情形下，可以在場論中構(gòu)建外爾半金屬模型[30]

(1)

模型(1)建立在準(zhǔn)粒子描述成立的情形，即系統(tǒng)處于弱相互作用時的理論。而當(dāng)系統(tǒng)處于強(qiáng)相互作用時，準(zhǔn)粒子的概念不再適用，此時有必要構(gòu)建一個模型，以使其能夠在強(qiáng)相互作用下滿足外爾半金屬的性質(zhì)，同時還要呈現(xiàn)出模型(1)所經(jīng)歷的相變。AdS/CFT在相關(guān)問題上具有巨大的優(yōu)勢，根據(jù)規(guī)范引力對偶詞典[31](gauge/gravity dual dictionary)，可以構(gòu)建全息形式下的外爾半金屬的模型[12]：

(DμΦ)*(DμΦ)].

(2)

2 外爾半金屬中的手征渦旋效應(yīng)

對于手征渦旋電導(dǎo)，可以通過久保公式[19]來計算

(3)

(4)

這些方程都是二階微分方程，需要假設(shè)2個邊界條件。這2個邊界條件分別加在視界r=r0處以及AdS邊界處r→∞。在這2個位置，可以對場進(jìn)行漸進(jìn)展開。通常處理中，要求場在視界處是正規(guī)的，因此，度規(guī)場u,f,h和物質(zhì)場Az,φ在視界處的展開形式為：

u=4πT(r-r0)+…,

f=f1+C1(r-r0)+…,

h=h1+…，

Az=Az1+Az2(r-r0)+…,

rφ=φ1+C2(r-r0)+…，

當(dāng)把視界處的解進(jìn)行積分直到無窮遠(yuǎn)處(AdS邊界處)時，可以得到場在邊界處的漸進(jìn)展開行為，具體如下

C4=2M3+3b2Mq2+3λM3.

以上場的運動方程及漸進(jìn)行為都是在沒有任何擾動情形下的背景解。在全息中，推遲流流關(guān)聯(lián)函數(shù)可以通過對背景加擾動來實現(xiàn)，即將擾動當(dāng)成源S，此時擾動對系統(tǒng)產(chǎn)生的作用稱之為響應(yīng)R，根據(jù)線性響應(yīng)理論，可以得到關(guān)系R=GS，其中G代表相應(yīng)的流流關(guān)聯(lián)函數(shù)(格林函數(shù))。

考慮到手征渦旋電導(dǎo)的計算公式，需要打開動量方向的擾動。具體來說，可以打開z方向的微擾進(jìn)行計算，形式如下：

δgxz=hxz(r)eikz,δgxz=hxz(r)eikz，

δgtx=htx(r)eikz,δgty=hty(r)eikz，

δAx=ax(r)eikz,δAy=ay(r)eikz.

(5)

將上述微擾(5)代入背景運動方程中，可以得到相應(yīng)的線性運動方程

其中i,j=x,y，在運動方程中出現(xiàn)的系數(shù)D1,E1,F1,G1,H1,P1都為u,f,h及其高階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。除這6個二階微分方程外，還有2個與上述微分方程自洽的一階微分方程，在這里不做考慮。

在有限溫度時，可以將上述微擾按小量k展開。即

hti=hti(0)+khti(1)+k2hti(2)+…，

hiz=hiz(0)+khiz(1)+k2hiz(2)+…，

ai=ai(0)+kai(1)+k2ai(2)+….

(6)

其中，hti,hiz,ai在視界處均滿足正規(guī)條件。

可以將式(6)代入到微擾的線性運動方程中逐階求解。在零階k時，有方程

(7)

根據(jù)運動方程結(jié)合方程(7)，可以得到ht(0)=u。對于aj(0)和hjz(0),為簡便起見，可以選取合適的邊界條件，使得這2個系數(shù)滿足hjz(0)=0,aj(0)=0,j=x,y。

從上式中的第1個方程可以給出htx(1)=u，而第2個方程可以給出

基于此，ax(1)的方程為

(8)

從方程(8)中可以得到如下極限情形：1)當(dāng)ζ=0時，方程變?yōu)辇R次方程，表明ax(1)是無源的，即沒有相應(yīng)的線性響應(yīng)，此時手征渦旋效應(yīng)消失。如前所述，ζ代表引力反常，因此，可以得出結(jié)論，手征渦旋效應(yīng)的確可以由引力反常引起；2)當(dāng)u=f時，從度規(guī)的假設(shè)來看，此時系統(tǒng)處于高度對稱性，對應(yīng)于零溫的情形，此時方程仍然變?yōu)辇R次方程，這與文獻(xiàn)[19]中手征渦旋電導(dǎo)與溫度平方成正比相符合。

3 數(shù)值結(jié)果

接下來，將通過方程(8)的數(shù)值求解得到手征渦旋電導(dǎo)的表達(dá)式。首先，給出漲落在AdS時空邊界的漸進(jìn)行為

如圖1所示，計算在不同溫度時，手征渦旋電導(dǎo)隨外部參數(shù)M/b變化的情形。從圖中可以看出，手征渦旋電導(dǎo)隨溫度的增加而增加，在系統(tǒng)處于外爾半金屬相(M/b<0.7)時，手征渦旋電導(dǎo)隨M/b緩慢減小，這表明在外爾半金屬中，由引力反常誘導(dǎo)的手征渦旋效應(yīng)的確存在；而當(dāng)系統(tǒng)處于拓?fù)淦接沟慕^緣體相(M/b>0.7)時，手征渦旋電導(dǎo)迅速下降并趨向于0，這正是在拓?fù)淦接沟慕^緣體中手征外爾費米子消失的體現(xiàn)。

圖1 不同溫度下手征渦旋電導(dǎo)隨參數(shù)M/b的變化Fig.1 Variation in chiral vortical conductivity with M/b at T=0.03 K (solid line) and T=0.05 K (dotted line)

圖2 R隨參數(shù)M/b的變化圖Fig.2 Variation in R with M/b

4 總結(jié)

本文通過規(guī)范/引力對偶的方法研究強(qiáng)耦合下外爾半金屬中的手征渦旋效應(yīng)。在考慮系統(tǒng)只有引力反常的情形下，得到如下結(jié)論：1)手征渦旋效應(yīng)可以由引力反常引起，在具有手征費米子的外爾半金屬中存在；2)手征渦旋效應(yīng)與溫度有密切關(guān)系，與溫度平方成正比，在零溫時，手征渦旋效應(yīng)消失。