蔣笑添，楊富中

(中國科學院大學物理科學學院， 北京 100049)

在拓撲弦理論中，N=2的鏡像對稱將兩個幾何上不同的作為弦緊致化的Calabi-Yau流形聯(lián)系起來，給出等價的物理模型。其中一個是由Kahler 模參數(shù)決定的A模型，另一個是由復結構參數(shù)決定的B 模型。引入D膜后超對稱破缺到N=1，對應地給出到N=1的特殊幾何，此時A/B 模型間存在開閉鏡像對稱。類似于N=2超對稱拓撲弦論中的預勢，超對稱為N=1時，對應于預勢的物理量被稱為非微擾全純超勢。它決定了低能有效理論中的F項和弦真空結構。與預勢類似，得益于N=1的鏡像對稱非微擾有效超勢可以通過在B模型中微擾計算得到。

(1)

(2)

另一方面，類型II弦理論中的超勢可以在F理論中找到一個對偶的描述。使得類型II弦理論中的D膜超勢對偶于F理論中的背景流超勢。而背景流超勢由作為F理論緊化靶空間的四流形的復結構參數(shù)給出。換句話說，在F理論中，其對偶類型II弦理論中的開弦模與閉弦模被等同化為復結構參數(shù)存在[3]。這個對偶的存在也就提供了一種計算類型II弦理論中的D膜超勢的思路，允許我們研究在類型II弦理論意義下的更為復雜的D膜系統(tǒng)。緊化在Calabi-Yau三流形上的類型II弦理論的D膜超勢可以通過在其對偶的，緊化在Calabi-Yau四流形上的F理論中的計算得到[4]。四維F理論中，在Calabi-Yau四流形M4上的四形式流G4貢獻的超勢實際上是以復結構?？臻gMCS(M4)為底的一個復線叢截面，也就是著名的Gukov-Vafa-Witten超勢[5]，形式如下[6]：

O(e-1/gs).

(3)

式中：gs是弦耦合強度而等式右邊的領頭項正是D膜超勢WN=1公式(1)。當取得弱耦合極限gs→0時，由F理論的GVW超勢WGVW可以得到D膜超勢WN=1：

=WN=1(M3,D).

(4)

此時大部分的耦合自由度不再貢獻到超勢中來。

迄今為止，對于靶空間緊致的大部分D膜系統(tǒng)的超勢計算都只涉及一個開弦形變參數(shù)[4,7-13]。 我們利用類型II弦理論/F理論對偶中開閉弦模等價于復結構參數(shù)，以及復結構等信息完全包含在F 理論的緊化四流形的組合數(shù)據(jù)中的優(yōu)點，研究包含兩張D 膜的復雜D 膜系統(tǒng)。D膜系統(tǒng)的平行相區(qū)與重合相區(qū)分別對應于D膜世界葉上的U(1)×…×U(1)與U(n)非阿貝爾規(guī)范理論。本文利用類型II弦理論/F理論對偶，計算以P(1,1,2,2,6)為靶空間的雙D膜系統(tǒng)的超勢，并提取對應于平行相與重合相的U(1)和U(2) Ooguri-Vafa不變量。

1 平行/重合相的對偶四流形構造

(5)

我們考慮的n個平行D膜由可約除子表示:

(6)

(7)

當平行D膜相互靠近并重合在一起時，規(guī)范群U(1)×U(1)×…×U(1)提升為U(n)。幾何上看，非阿貝爾規(guī)范群與新構造的Calabi-Yau流形上的奇異性有關。這里用環(huán)幾何的語言來描述，奇異曲線對應于對偶多面體的一維棱上的整點。環(huán)幾何意義下的奇點減消過程是標準化的[18]，即將這些棱上的整點全部補入環(huán)簇的定義點集，而補入的每一個點都對應于一個奇點減消后的Calabi-Yau 流形上的例外除子，這個過程被稱為吹脹(blow up)。

注意到我們在構造庫倫相的擴展多面體時，在一條棱上加了n+1個新點描述n個平行的D膜，而填充在中間的n-1個整點正好減消了忽略它們時帶來的n奇異性。反過來想，可以通過抹去這n-1個內(nèi)點恢復四流形的奇異性，進而構造重合相對應的多面體，給出提升后的U(n)規(guī)范群[19]。值得一提的是n曲線奇異性對應的例外除子的相交矩陣與An-1的卡丹矩陣只相差一個自交歸一化參數(shù)-1。

2 Picard-Fuchs微分方程組，局域解與相對周期

相對周期滿足Picard-Fuchs微分方程組，而其微分算子可由GKZ系統(tǒng)較為方便地導出：

(8)

(9)

在大復結構相區(qū)，非微擾瞬子修正被以指數(shù)形式壓制在這些復結構參數(shù)中。這組代數(shù)坐標環(huán)操作不變，可以對該相區(qū)進行很好的描述。另一方面，Mori錐與Kahler錐相互對偶，Mori錐生成元la的選定也給出了Kahler錐的一組對偶基，記做Ja∈H1,1(W4)。將對應的局域坐標記為ka，由于大復結構極限點對偶于大半徑極限點，ka即 Kahler?？臻g中的大半徑極限點附近坐標，也被稱為平坦坐標。

從F理論的觀點來看，GKZ系統(tǒng)的算子由對應四流形的5維多面體的組合數(shù)據(jù)導出。所以該微分系統(tǒng)的解描述了四流形的周期積分，并依賴于四流形的復結構參數(shù)。然而從類型II弦理論的觀點來看，由于拓展多面體描述的是D膜系統(tǒng)的幾何結構，這些局域解記錄著開閉鏡像映射，D膜超勢等與開閉弦模相關的物理量。

在四流形這邊，由文獻[17]可知GKZ系統(tǒng)的局域解可以由基本周期導出，基本周期為

(10)

使用Frobenius方法可以得到整個周期矢量如下

(11)

式中：n∈{1,…,h}，h等于上同調群H4(M4)的維數(shù)。公式(11)中Ka1,a2;n為基本周期w0二階導的組合系數(shù)。鏡像對稱猜想給出A模型一側的對偶周期矢量如下：

(12)

在D膜幾何的相對周期這側，取到弱耦合極限時，上面四流形對應的GKZ系統(tǒng)的解將給出對應于開閉鏡像映射，體勢能(bulk potential)，超勢的相對周期。相對周期矢量有如下形式

(13)

(14)

通過對{ka}線性組合可以將開閉弦Kahler模參數(shù)分離。

(15)

(15)式中以相對同倫類s∈H1(L),r∈H2(W3)為指標的{Gr,s}為Gromov-Witten不變量，{Nr,s}為Ooguri-Vafa不變量。

3 超勢計算與Ooguri-Vafa不變量提取

本節(jié)我們將以雙D膜在P(1,1,2,2,6)上為例，利用類型II弦理論/F 理論對偶進行超勢的計算與Ooguri-Vafa不變量的提取。三流形P(1,1,2,2,6)是由在環(huán)繞環(huán)簇PΣ(Δ4)中的多項式

a0x1x2x3x4x5

(16)

定義的超曲面給出的。定義環(huán)簇的多面體Δ4頂點如下：

v1=(1,1,1,1),v2=(-11,1,1,1),

v3=(1,-5,1,1),

v4=(1,1,-5,1),v5=(1,1,1,-1).

(17)

3.1 平行D膜相

我們考慮由可約除子D=D1+D2描述的平行D膜。其定義多項式為

(18)

(19)

(20)

γ1=D1∩D10,γ2=D7∩D8,γ3=D8∩D9，

(21)

為分離開閉弦模參數(shù)，做如下變量代換：

(22)

那么對應于γ1，γ2和γ3的周期積分的領頭項如下：

(23)

(24)

由公式(10)可得基本周期與對數(shù)周期：

Π0(z)=w0(z;0),Π1,i(z)=?ρiw0(z;ρ)|ρi=0,

(25)

平坦坐標有

(26)

令qi=exp(2πiki)，i=1,2,3,4，則開閉混合鏡像逆映射為：

(27)

由領頭項(23)，得到A模型中的閉弦周期與D膜超勢如下：

(28)

3.2 重合D膜相

(29)

表1 P(1,1,2,2,6)中平行D膜超勢的U(1)Ooguri-Vafa不變量{Nn1,n2,n3,n4}Table 1 The U(1) Ooguri-Vafa invariants {Nn1,n2,n3,n4} for the superpotential of parallel D-branes on the P(1,1,2,2,6)

為簡化符號，仍使用ai計為定義多項式的系數(shù)。與上一子節(jié)中D膜幾何定義多項式中的系數(shù)關系如下：

(30)

(31)

與平行相區(qū)類似，遍歷任意兩個環(huán)除子的交Di∩Dj，構造同調群H4(W4)的基，并挑選出對應于預勢與超勢的群元：

γ1=D1∩D9,γ2=D2∩D8.

(32)

通過坐標變換

(33)

分離開閉弦模參數(shù)，則對應于γ1與2γ2的周期積分領頭項為

(34)

使用代數(shù)坐標：

(35)

由公式(10)得到基本周期與對數(shù)周期如下：

Π0(z)=w0(z;0),Π1,i(z)=?ρiw0(z;ρ)|ρi=0,

(36)

平坦坐標有

(37)

令qi=exp(2πiki)，i=1,2,3，則開閉混合鏡像逆映射為：

(38)

由領頭項(34)，得到A模型中的閉弦周期與D膜超勢如下：

(39)

表2 P(1,1,2,2,6)中重合D膜超勢的U(2)Ooguri-Vafa不變量{Nn1,n2,n3}Table 2 The U(2) Ooguri-Vafa invariants {Nn1,n2,n3} for the superpotential of coincident D-branes on the P(1,1,2,2,6)

4 總結

本文就雙D膜在緊化空間P(1,1,2,2,6)上為例，用環(huán)簇的語言具體地構造了對應于平行D膜相與重合D膜相的對偶四流形。利用類型II弦理論/F理論對偶得到了平行與重合時D膜貢獻的超勢，并分別提取對應的Ooguri-Vafa不變量。

兩張?zhí)幱诓煌恢玫钠叫蠨膜間存在的離散Z2對稱群被解釋為非微擾的U(2)規(guī)范理論的外爾對稱性，而該D膜系統(tǒng)的平行相也對應于U(2)規(guī)范理論的庫倫分支。平行相區(qū)中的計算正如我們所預期的，由兩張平行D膜分別貢獻的超勢在瞬子展開下也展現(xiàn)出了同樣的外爾對稱性。而在重合相區(qū)，D 膜系統(tǒng)由平行D膜相相變?yōu)橹睾螪膜相，開閉混合?？臻g中的形變參數(shù)自由度減少，原本相互獨立的兩個開弦參數(shù)約化為一個。D膜世界葉上的規(guī)范群也由原來的U(1)×U(1)提升為U(2)。

另外從平行、重合相區(qū)分別得到不同的Ooguri-Vafa不變量。即這兩個相區(qū)對應著不同的BPS態(tài)能譜，這可以作為相變發(fā)生的一個證據(jù)。