馬紀英， 薛力峰， 吳 勇

(石家莊郵電職業(yè)技術學院， 河北 石家莊 050021)

拐點在高等數(shù)學中是一類比較重要的點，在導數(shù)和微分的應用中占有重要的地位，在函數(shù)的凹凸性中表征著平面曲線的一種內在幾何特征，在函數(shù)作圖和圖像描繪中分隔著單調性相同的凹弧和凸弧。

1 拐點的定義

數(shù)學教材中一般把曲線的凹凸性和拐點放在一起講述，首先定義凹弧和凸弧及其性質，然后引出拐點。比如：

例1 如果在某區(qū)間內的曲線弧位于其上任意一點切線的上方，則稱此曲線弧在該區(qū)間內是凹的；如果在某區(qū)間內的曲線弧位于其上任意一點的切線的下方，則稱曲線弧在該區(qū)間內是凸的。并把連續(xù)曲線上凹凸部分的分界點稱為此曲線的拐點。

注：拐點不僅是凹凸部分的分界點，而且必須是曲線的連續(xù)點，即它是一個有序實數(shù)對(x0,f(x0))[1]。

例2 設f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，如果對I上任意兩點x1,x2， 恒有

那么稱f(x) 在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有

那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧)。

定理 設f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內具有一階和二階導數(shù)，那么

(1)若在(a,b)內f″(x)>0，則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的；

(2)若在(a,b)內f″(x)<0，則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。

一般地，設y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，x0是I內的點。如果曲線y=f(x)在經(jīng)過點(x0,f(x0))時，曲線的凹凸性改變了，那么就稱點(x0,f(x0))為這曲線的拐點[2]。

總之，我們可以看到這些高等數(shù)學教材中是把拐點定義為了“曲線上凹凸弧的分界點”，至多是稍微嚴格了一些，把間斷點排除出來，“連續(xù)曲線y=f(x)上凹凸弧的分界點”。

2 拐點定義的反例

例3 我們考慮單位圓周x2+y2=1上的點(1,0)，我們會發(fā)現(xiàn)平面直角坐標系中第一象限的曲線都位于各點切線的下方，即為凸??；第四象限的曲線都位于各點切線的上方，即為凹弧，而點(1,0)即為凹弧與凸弧的分界點，故為拐點，同理點(-1,0)也是圓周的拐點。

由于圓周上的點具有圓對稱性，適當?shù)匦D平面直角坐標系，可以使圓周上的點都位于(1,0)或(-1,0)的位置，可以得到每一點都是拐點！我們發(fā)現(xiàn)，由于平面直角坐標系的旋轉位置不同，曲線上的同一點既可以在這個平面直角坐標系下是拐點，又可以在另一個平面直角坐標系下不是拐點，顯然這樣定義的拐點不能表征平面曲線的內在幾何特征，其定義顯然存在不合理的地方。

例4 考慮曲線

我們發(fā)現(xiàn)，x<0 時，函數(shù)y=f(x)的圖形是凹弧，x≥0時，函數(shù)y=f(x)的圖形是凸弧，點(0,0)正是凹弧和凸弧的分界點，按照上述拐點的定義，曲線上的點(0,0)即為曲線y=f(x)的拐點。

實際上，根據(jù)《數(shù)學大辭典》的解釋，這種點稱為尖點，也就是在曲線上該點處存在著不同的左右切線的點。尖點和拐點是不同類型的點，在尖點處不存在曲線的切線。

3 拐點的重新定義

許多著名的著作對拐點的定義更嚴密，很嚴格一些。比如：菲赫金哥爾茨著的《微積分學教程》中就這樣定義：

曲線上一點M(x0,f(x0))叫做曲線的拐點，如果它把使函數(shù)f(x)為凸的那部分曲線(向下凹)和使這函數(shù)為凹的那部分曲線(向上凹)分開；曲線在這點由切線的一側進入另一側[3]。

所以，我們可以重新定義：

如果在某區(qū)間內的曲線弧位于其上任意一點切線的上方，則稱此曲線弧為凹?。蝗绻谀硡^(qū)間內的曲線弧位于其上任意一點的切線的下方，則稱曲線弧為凸弧。設曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處有穿過曲線的切線，且在切點兩側近旁曲線凹凸向不同，這時稱點(x0,f(x0)為曲線y=f(x)的拐點，過拐點的切線稱為拐切線。

4 拐點的計算和應用

根據(jù)凹凸性和拐點的定義及定理可知，由f″(x)的符號可以判定曲線的凹凸性，而拐點由位于凹弧和凸弧的交界處，所以拐點左、右兩側鄰近f″(x)符號相異，只要找出f″(x)符號發(fā)生變化的分界點即可，也就是找出f″(x)=0的點和f(x)二階導數(shù)不存在的點。

所以，若f(x)由一個函數(shù)表達式表示時，可以總結如下步驟：

(1)求函數(shù)定義域；

(2)求出f″(x)；

(3)令f″(x)=0，解出方程在討論區(qū)間內的實根，同時求出討論區(qū)間內f″(x)不存在的點；

(4)對求出的每一個實根和二階導數(shù)不存在的點x0進行判斷，檢查f″(x)在x0左、右兩側鄰近的符號，當兩側符號相反時，點(x0,f(x0)就是拐點，當兩側符號相同時，點(x0,f(x0))不是拐點。

若f(x)不是由一個函數(shù)表達式表示，而是分段函數(shù)的類型，需要考慮分段點處的情形：(1)分段點處左、右兩側鄰近f″(x)的符號是否相反；(2)分段點處的切線是否唯一，也即左、右斜率是否相同，也即左、右導數(shù)是否相同。

5 小 結

拐點絕不是單單用于函數(shù)圖像的描繪，在許多領域，尤其是工程領域有著廣泛的應用。拐點作為上凹和下凹趨勢的分界點，形成了專門處理各種趨勢的拐點法，在材料力學、流體力學、熱力學、空氣動力學、土木工程、機械工程、信號處理，甚至金融學的股票、期貨分析等方面都有著廣泛而深入的應用。

因此，在應用之前，弄清楚拐點的確切定義有著非凡的意義。