金玥蘇，蘇 剛

(中國科學院大學物理科學學院， 北京 100049)

近年來，狄拉克費米子以其獨特的電子性質(zhì)引起廣泛關注。以石墨烯為例，在其布里淵區(qū)頂點(K,K’)處能帶相交，色散呈現(xiàn)線性關系，形成2個不等價的狄拉克費米子，分別攜帶(π，-π)的Berry Phase[1-2]. 在自旋軌道耦合作用下，能帶的簡并點處會打開能隙，從而形成拓撲絕緣體相[3]。與之相似的情形也存在于三維材料中，如Bi2Se3, Bi2Te3這類具有較大自旋-軌道耦合的材料，在打開能隙的同時會引發(fā)能帶的翻轉，從而形成拓撲絕緣體[4-5]。

判斷材料是否為拓撲絕緣體主要有3種方法。一種是根據(jù)體態(tài)-邊緣態(tài)對應原則，通過手性邊緣態(tài)或表面態(tài)是否存在來判定是普通絕緣體還是拓撲絕緣體；一種是通過絕熱地改變參數(shù)，在不閉合能隙的情況下將材料轉化為某一拓撲性質(zhì)已知的結構來進行分類；最后一種也是最常用的一種方法就是計算相應的拓撲不變量來進行判斷。對于量子霍爾效應或陳絕緣體，其拓撲不變量為陳數(shù)(TKNN數(shù))[6]。對于拓撲絕緣體，其拓撲不變量為Z2數(shù)[7-8]。目前已經(jīng)有成熟的數(shù)值方法可以方便地計算這類拓撲數(shù)[9-11]。

對于某些由于對稱性而導致的特殊能帶結構，比如鏡面對稱性和滑移對稱性同時存在，會引起能帶沿高對稱線簡并，一般的數(shù)值方法由于出現(xiàn)發(fā)散而失效。在SS格子上運動的電子便是一個典型例子。SS格子在量子磁性系統(tǒng)中已經(jīng)被廣泛研究[12-13]，相應結構的材料SrCu2(BO3)2也已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)。然而，SS格子上的費米子系統(tǒng)還需進一步探索。此前有研究通過調(diào)節(jié)緊束縛模型的參數(shù)，指出SS格子上運動的電子可以呈現(xiàn)出Dirac fermion, semi-Dirac fermion, SO(3) fermion和quadratic band touch等4種無能隙激發(fā)的物相以及一個有能隙的相[14-15]。然而，需要有一種便捷的調(diào)控手段實現(xiàn)對緊束縛模型參數(shù)的調(diào)控。

在許多調(diào)控手段中，光場無疑是一種方便且可靠的調(diào)控技術。以石墨烯為例，如果在垂直于石墨烯表面的方向施加周期性光場，可以實現(xiàn)狄拉克點的移位[16-17]，打開動力學能隙實現(xiàn)拓撲轉變[18-20]，產(chǎn)生偏振選擇性的光伏霍爾效應[21]，甚至引發(fā)金屬-絕緣體相變[22]。更一般地，周期性光場可以將一般的絕緣體變成Floquet 拓撲絕緣體[23-24]，在某些條件下，可以形成具有大陳數(shù)的Floquet-陳絕緣體[25]。光場不僅可以準靜態(tài)地改變能帶結構，還能形成新的動力學拓撲效應[26-27]，如Floquet手征邊緣態(tài)等[16,27-28]。

本文應用周期性圓偏振光場調(diào)控SS格子上的電子結構，可以很方便地產(chǎn)生前面提到的5種相。有研究指出Dirac fermion相具有Z2形式的量子化Zak 相[14]，在自旋-軌道耦合的作用下會形成拓撲絕緣體。我們通過計算納米帶的邊緣態(tài)，證明在自旋軌道耦合存在的情況下，光場調(diào)控可以視為絕熱地改變參數(shù)，不會導致能隙關閉，從而使其他4種相與Dirac fermion相具有相同的拓撲性質(zhì)。同時還發(fā)現(xiàn)semi-Dirac fermion相的一種體態(tài)-邊緣態(tài)對應情況。

1 Shastry-Sutherland格子的結構和緊束縛哈密頓量

SS格子的結構如圖1所示，其中tx,ty,t+,t-為躍遷參數(shù)，tsoc為自旋軌道耦合參數(shù)。黑色箭頭表示電子躍遷方向，橘紅色箭頭表示電子受力方向。具有1個四重旋轉軸，1個滑移面和1個反演中心。這些對稱性導致SS格子具有特殊的能帶結構。

圖1 SS格子的實空間和倒空間結構Fig.1 Structure of Shastry-Sutherland lattice (a) and its reciprocal space(b)

因為一個SS格子的元胞中有4個原子，所以s軌道緊束縛哈密頓量是一個四帶模型

i,j遍及格點1～4，如圖1中所示。我們將躍遷參數(shù)定義為tx,ty,t+,t-，這樣緊束縛哈密頓量可以寫為

(1)

由于SS格子沿著x方向和y方向不存在鏡面對稱性，故電子以動量P在沿著這2個方向躍遷時，會受到不對稱的作用力F，根據(jù)自旋-軌道耦合作用公式

可以看出受力與自旋z分量耦合，當電子環(huán)繞晶格一圈時，雖然平均受力為0，但是自旋軌道耦合方向相同，不會抵消。在考慮自旋軌道耦合作用tsoc之后的緊束縛哈密頓量為

(2)

以此緊束縛哈密頓量為基礎，可以得到存在周期性光場時的Floquet哈密頓量。

2 Floquet-Bloch理論

現(xiàn)在考慮垂直入射的周期性光場調(diào)控下的SS格子系統(tǒng)。周期性光場調(diào)控下的哈密頓量同樣也應該是周期性的，即H(t+T)=H(t),T是光場的周期。類似于空間周期平移不變系統(tǒng)中的布洛赫定理，同樣也可以寫出在周期光場下的波函數(shù)滿足的條件：

Ψ(t)=exp(-iεt)Φ(t)，

Φ(t+T)=Φ(t).

(3)

這就是Floquet定理[29-30]，其中Φ(t)是Floquet波函數(shù)。

同樣可以定義Flouqet哈密頓量

(4)

容易發(fā)現(xiàn)ε和Φ就是Floquet哈密頓量的本征值和本征函數(shù)。當體系具有時間-空間周期平移不變性， 波函數(shù)遵循Floquet-Bloch定理

Ψ(x,t)=exp(ikx-iεn,kt)Φ(x,t).

在這種情況下，可以重新定義時間平均的內(nèi)積

(5)

這一新的定義保證了Floquet-Bloch波函數(shù)的基底滿足正交歸一性。為證明這一點，需要注意Floquet哈密頓量和Floquet波函數(shù)都可以做傅里葉級數(shù)展開：

Φα(t)=∑nexp(inωt)Φα,n

將傅里葉級數(shù)代入內(nèi)積公式中有

〈〈Φα(t)|Φβ(t)〉〉

(6)

將希爾伯特空間推廣到時間域中做展開的空間，被稱為Sambe空間[31]。

光場的作用可以通過Peierls替換進入緊束縛模型的躍遷參數(shù)，ti,j(t)=ti,jexp(iA(t)dij)，其中i,j是格點指標，dij是i,j格點之間的躍遷矢量，A=(Ax,Ay)是光場對應的矢量勢。在Sambe空間中展開Floquet緊束縛哈密頓量可以得到矩陣元：

Hij=〈〈Φi|H-i?t|Φj〉〉

(7)

由于時間平移不變性，Hmn是p=(m-n)的函數(shù)，重新定義為Hp.那么，在Sambe空間中的哈密頓量可以寫為

當光場頻率遠大于能帶寬度(ω>10Δ)，可以忽略更高階Hp的影響而只需要計算H0即可，這被稱為高頻近似。在高頻近似下，取tx=ty=t1,t+=t-=t2,光場為圓偏振光，SS格子的Floquet哈密頓量可以寫為

(8)

其中J0為0階貝塞爾函數(shù)。

基于式(8)，我們計算了導帶電子在沒有自旋軌道耦合作用下的相圖[32]，相圖中一共存在5種相：能隙相，以及Dirac fermion, semi-Dirac fermion, SO(3) fermion和quadratic band touch等4種無能隙相。Dirac fermion和能隙相由2種邊界區(qū)分開，其中一種為semi-Dirac fermion相，另外一種為quadratic band touch相。在2種邊界的交匯點處出現(xiàn)的是SO(3) fermion相，被4條semi-Dirac fermion邊界包圍在中間的是能隙相。換言之，一共有3種無能隙激發(fā)存在于邊界處：能帶以semi-Dirac形式接觸存在于能隙相和Dirac相之間，能帶以quadratic形式接觸存在于2個Dirac相之間，能帶以SO(3) fermion形式接觸存在semi-Dirac和quadratic band touch匯合的頂角處。

在4種無能隙的激發(fā)中，Dirac fermion占據(jù)絕大多數(shù)的情況。在光場調(diào)控下，2條能帶以線性方式交叉于狄拉克點處，2個狄拉克點關于原點中心對稱，在光場的調(diào)控下，狄拉克點不再固定于布里淵區(qū)的高對稱點處，而是被光場在一定范圍內(nèi)移動并發(fā)生位置交換[14]。高頻近似下，F(xiàn)loquet哈密頓量保持時間反演和空間反演對稱性，使得Dirac fermion被對稱性所保護，這一點在考慮了自旋軌道耦合之后將變得更為明顯。

Quadratic band touch是另一個值得注意的無能隙激發(fā)，它的標志就是2條拋物線色散關系的能帶相交于一點。由于SS格子具有C4旋轉對稱性，所以這種無能隙激發(fā)攜帶有2π的Berry phase[32]。在一般情形下，圓偏振光會破壞時間反演對稱性，引入能隙形成拓撲非平庸的電子態(tài)[33]，但是在SS格子中，第一階高頻展開[H1,H-1]/ω=0，保持了時間反演對稱性，這也意味著高頻光場在考慮高階圍繞對于零階哈密頓量的修正的情況下無法引入拓撲非平庸的相。

Semi-Dirac fermion相兼具Dirac fermion和quadratic band touch相的特點，沿一個方向呈線性色散，沿著另一方向則具有拋物線色散關系，這類色散關系也在VO2-TiO2異質(zhì)結和有機半導體α-(BEDT-TTF)2I3中被觀察到[34-35]。

SO(3) fermion也被稱為quasi-spin-1 fermion。廣義的狄拉克-外爾方程可以用來描述它的行為：HΨ=(S·K)Ψ=EΨ，其中S為SO(3)群對應的Pauli矩陣，K=(kx,ky)為電子的動量。最明顯的特征便是它的狄拉克點是三重簡并的，其能帶結構由一條平帶和兩條線性色散的能帶組成，它同樣具有Dirac fermion具有的Klein隧穿等特性[36]。目前在Lieb lattice的光晶格上已經(jīng)觀察到SO(3) fermion[37-39]。

由于SS格子中存在能帶簡并(X-K-Y以及Γ-K)，所以一般的數(shù)值計算程序在計算拓撲不變量時會出現(xiàn)發(fā)散。為了研究這4種相的拓撲性質(zhì)，我們利用體態(tài)-邊緣態(tài)對應原則，考慮自旋軌道耦合打開能隙之后的情況。

3 自旋軌道耦合效應以及對邊緣態(tài)的影響

由于SS格子在X方向和Y方向上沒有鏡面對稱性，所以當電子沿這2個方向做最近鄰躍遷時受到不對稱的作用力，產(chǎn)生自旋軌道耦合作用。自旋軌道耦合僅對最近鄰躍遷項造成修正，所以不會造成能帶的劈裂，僅僅會引入能隙使得原先的半金屬變成絕緣體。引入自旋軌道耦合tsoc之后的能帶和態(tài)密度如圖2所示。

圖2 自旋軌道耦合強度tsoc=0.2時4種相的能帶結構和態(tài)密度圖Fig.2 Band structures and densities of states of the four phases with the spin-orbit coupling parameter tsoc=0.2

從圖2可以看出，4種無能隙的激發(fā)都打開了能隙，但是Dirac fermion和semi-Dirac fermion相打開的能隙非常小，quadratic band touch 和SO(3) fermion相打開的能隙較大。能隙使原先沒有自旋軌道耦合時的相邊界消失，整個體系全部成為絕緣體。如果把矢量勢A認為是絕熱變化的參數(shù)，那么上面的結論意味著隨著參數(shù)的演變，能隙不會發(fā)生閉合，上述所有相都是拓撲等價的。為驗證這個結論，我們利用體態(tài)-邊緣態(tài)對應原則計算了SS裁剪形成納米帶的能帶結構，如圖3所示。

圖3 4種無能隙激發(fā)相在無自旋軌道耦合(a)及自旋軌道耦合強度tsoc=0.2(b)時的納米帶能帶Fig.3 Band structures for the four gapless phases of the nanoribbon without the spin-orbit coupling(a) and band structures with the spin-orbit coupling parameter tsoc=0.2(b)

沒有打開自旋軌道耦合作用時，邊緣態(tài)連通能帶的接觸點，與Dirac fermion相對比，可以看出quadratic band touch, semi-Dirac fermion和SO(3) fermion都是2個Dirac point無限靠近時的特殊情形。考慮自旋-軌道耦合作用后，4種無能隙激發(fā)態(tài)都打開能隙。與體態(tài)相對應的，Dirac fermion和semi-Dirac fermion打開的能隙非常小，而quadratic band touch和SO(3) fermion打開的能隙較大。原有的邊緣態(tài)劈裂成為兩條并且連通價帶和導帶，它們相交于布里淵區(qū)邊界的時間反演不變點，說明這4種激發(fā)都對應著拓撲絕緣體，其拓撲不變量為Z2不變量。

為方便實驗檢驗，我們利用格林函數(shù)方法計算了這幾種激發(fā)的局域態(tài)密度，如圖4所示。

圖4 納米帶在無自旋軌道耦合(a)和自旋軌道耦合參數(shù)tsoc=0.2(b)時的局域態(tài)密度Fig.4 Local density of states for the nanoribbon without the spin-orbit coupling (a) and with the spin-orbit coupling (the coupling parameter tsoc=0.2)(b)

可以看出，局域態(tài)密度和圖3中的能帶基本吻合。我們還發(fā)現(xiàn)semi-Dirac fermion的各向異性也存在于納米帶之中，這也是另一種SS格子中的體態(tài)-邊緣態(tài)對應。分別計算沿X方向裁剪的納米帶和沿Y方向裁剪的納米帶的能帶圖，如圖5所示。

圖5 Semi-Dirac fermion沿X方向(a)和Y方向(b)裁剪的納米帶能帶圖Fig.5 Band structures of the semi-Dirac fermion nanoribbon truncated along the X-(a) and Y-(b) directions

從圖5可以看出，由于semi-Dirac fermion沿X方向和沿Y方向分別對應著拋物線型色散關系和線性色散關系，當把塊體材料裁剪成為納米帶之后，能帶的投影依然保持了色散關系的各向異性，沿X方向裁剪的納米帶是拋物線型色散關系，與quadratic band touch類似。而沿Y方向裁剪的納米帶，與之對應的是線性色散，與Dirac fermion類似。

為驗證結論的一般性，用semi-Dirac的低能有效哈密頓量[36]

(9)

令X方向為拋物線色散，有效質(zhì)量為m，Y方向為線性色散，費米速度為c。利用替換(10)將低能有效哈密頓量退化為正方格子上的緊束縛模型[40]

(10)

為了計算邊緣態(tài)，把二維哈密頓量拆解成為一維鏈內(nèi)和鏈間耦合兩部分，并且使用表面格林函數(shù)遞歸方法計算局域態(tài)密度。以沿著X方向裁剪的納米帶為例，鏈內(nèi)和鏈間耦合哈密頓量分別為

(11)

計算表面格林函數(shù)的迭代算法[41]為

G0=(E-H0-H1T)-1，

T=(E-H0-H1T)-1T?.

G0是表面格林函數(shù)，T為鏈間轉移矩陣。局域態(tài)密度ρ=-ImTrG0/π.

利用快速收斂算法[41],可以計算得到沿著X方向和沿著Y方向裁剪的納米帶邊界上的局域態(tài)密度，如圖6所示。

圖6 Semi-Dirac fermion低能等效哈密頓量對應的邊緣態(tài)Fig.6 Edge states corresponding to the low-energy effective Hamiltonian of semi-Dirac fermion

由于所用哈密頓量為低能有效哈密頓量，所以得到的局域態(tài)密度只是對應于semi-Dirac fermion的邊緣態(tài)。與圖5對比，可以看出這正是體態(tài)的包絡。而圖5中由于拓撲性質(zhì)產(chǎn)生的連接2個狄拉克點的邊緣態(tài)在圖6中沒有對應。從圖6中可以非常明顯地看出在Γ點附近，垂直于X方向投影的邊緣態(tài)呈拋物線形狀的色散(圖6(a))，而垂直于Y方向投影的邊緣態(tài)呈線性色散關系(圖6(b))。證明SS格子在semi-Dirac fermion相呈現(xiàn)出的各向異性就是來自于semi-Dirac fermion的各向異性色散關系。

綜上所述，由于自旋軌道耦合作用引起的能隙無法閉合，所以Dirac fermion, quadratic band touch, semi-Dirac fermion和SO(3) fermion在打開能隙之后是拓撲等價的。當能隙關閉，可以認為后三者是Dirac點被光場移動到重合之后出現(xiàn)的特殊能帶色散，它們并不被任何對稱性所保護，所以一旦打開能隙，就迅速退化回到拓撲絕緣體相。

4 總結

通過Floquet理論在高頻近似下獲得Shastry-Sutherland格子在圓偏振光場下的Floquet緊束縛哈密頓量。發(fā)現(xiàn)在自旋軌道耦合作用下，4種無能隙激發(fā)(Dirac fermion, quadratic band touch, semi-Dirac fermion和SO(3) fermion)都打開了能隙，而且在光場作用下能隙無法關閉，從而說明這幾種無能隙激發(fā)是拓撲等價的。進而計算其邊緣態(tài)，發(fā)現(xiàn)2條手性邊緣態(tài)相交于布里淵區(qū)邊界的時間反演不變點，利用體態(tài)-邊緣態(tài)對應，證明這4種等價的拓撲相即是拓撲絕緣體。進一步給出局域態(tài)密度以方便實驗檢驗。

除此之外，還發(fā)現(xiàn)semi-Dirac fermion的各向異性色散關系在納米帶上同樣存在體態(tài)-邊緣態(tài)對應，并利用semi-Dirac fermion的低能有效哈密頓量和表面格林函數(shù)算法證明了結論的一般性。