(金陵高級(jí)中學(xué),浙江 長(zhǎng)興 313100)(湖州教育研究中心,浙江 湖州 313000)

2019年3月25日，筆者有幸參加了“浙江省湖州市高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課”比賽.本文是此次優(yōu)質(zhì)課教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)過程中的點(diǎn)滴感悟，現(xiàn)與大家分享，望同行和專家批評(píng)指正.

1 教學(xué)分析

1.1 教材分析

本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)(必修5)》中第一章“解三角形”第一節(jié)內(nèi)容.學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的有關(guān)內(nèi)容以及銳角三角函數(shù)等知識(shí)，在高中階段又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量等相關(guān)知識(shí).因此聯(lián)想所學(xué)知識(shí)可以啟發(fā)學(xué)生對(duì)三角形邊角關(guān)系作量化探究，發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理，或者通過初中平面解析幾何知識(shí)利用外接圓推導(dǎo)正弦定理，也可以利用平面向量數(shù)量積等相關(guān)知識(shí)推導(dǎo)正弦定理.這部分內(nèi)容是用代數(shù)方法解決幾何問題的典型代表之一，應(yīng)用非常廣泛.

1.2 學(xué)情分析

學(xué)生在初中階段已學(xué)過有關(guān)三角形的一些知識(shí)：

1)勾股定理：a2+b2=c2；

3)A+B+C=π；

4)大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角；

5)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

學(xué)生在高中階段已學(xué)過任意角三角函數(shù)與平面向量等知識(shí).

1.3 課前疑慮

困惑1本節(jié)的重點(diǎn)是證明正弦定理，證明方法非常多，那么選定什么方法進(jìn)行證明，如何在多種證明方法中取舍呢？

解決方法根據(jù)《浙江省普通高中學(xué)科指導(dǎo)意見》，結(jié)合教材及學(xué)情，為了更好地讓學(xué)生掌握正弦定理的推導(dǎo)過程，筆者最終選定從特殊到一般的證明方法，即：先從直角三角形中發(fā)現(xiàn)正弦定理的等比式，經(jīng)計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)分析、猜想驗(yàn)證，最后通過探究討論證明得到正弦定理，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體性.

對(duì)于其他方法，本節(jié)課不能一一探究，但又不能只字不提.本節(jié)課采用了“設(shè)置課后反思并通過學(xué)案進(jìn)行引導(dǎo)”的方式加以解決.

困惑2本節(jié)課的難點(diǎn)是已知兩邊及其中一邊對(duì)角解三角形時(shí)如何判斷三角形解的個(gè)數(shù)問題，采用哪種方式能讓學(xué)生清晰、透徹地理解并迅速掌握？

解決方法本節(jié)課采用了從實(shí)際中來到實(shí)際中去的方式，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)三角形解的個(gè)數(shù)產(chǎn)生的原因和判斷三角形解的個(gè)數(shù)的具體措施.

1.4 教學(xué)目標(biāo)

1)掌握正弦定理的推導(dǎo)和證明方法；

2)會(huì)運(yùn)用正弦定理及三角形有關(guān)知識(shí)，解斜三角形的兩類基本問題；

3)引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、推導(dǎo)、比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作；

4)培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下解三角形問題的能力，通過三角函數(shù)、正弦定理等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.

1.5 學(xué)科素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象：從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，在任意三角形中抽象出正弦定理的一般形式；

邏輯推理：正弦定理的推導(dǎo)與證明；

數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用正弦定理解三角形；

直觀想象：通過數(shù)形結(jié)合得到判斷解的個(gè)數(shù)問題的一般結(jié)論；

數(shù)學(xué)建模：能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題；

數(shù)據(jù)分析：通過數(shù)據(jù)分析驗(yàn)證正弦定理,判斷三角形解的個(gè)數(shù).

1.6 教學(xué)重點(diǎn)

正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用.

1.7 教學(xué)難點(diǎn)

已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，解的個(gè)數(shù)的討論.

2 教學(xué)實(shí)錄

2.1 情境導(dǎo)入

問題1我們只要求出什么即可？

圖1

生(眾)：只要求出圖1所示BC的長(zhǎng)度，除以速度就可以求出時(shí)間.

接著從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題：解三角形，并給出定義.一般地，把三角形的3個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫解三角形.

設(shè)計(jì)意圖本環(huán)節(jié)通過實(shí)際問題導(dǎo)入，不但調(diào)節(jié)了課堂氛圍，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且教會(huì)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的能力，并嘗試建立數(shù)學(xué)模型即解三角形.

素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力.

2.2 探究證明

問題2如何解決上述問題？

生1：可以猜出來.

師：猜想是數(shù)學(xué)的源泉，你能說明一下你猜的方法嗎？

師：非常好，你能回答一下初中學(xué)習(xí)過的解三角形有哪些方法嗎？

生2：有勾股定理、內(nèi)角和定理.

師：其他同學(xué)有補(bǔ)充嗎？

生(眾)：還有三角函數(shù).

師：在Rt△ABC中，∠C=90°,正弦函數(shù)sinA=______;sinB=______.

師：誰能將這兩個(gè)式子整理成一個(gè)？

師：這個(gè)式子能不能表示得更加完美？

師：這個(gè)等比式在銳角或者鈍角三角形中是否成立呢？

為了驗(yàn)證猜想是否可行，通過計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)分析,拖動(dòng)點(diǎn)A改變?nèi)切涡螤?幾何畫板演示略)，可以發(fā)現(xiàn)比值始終相等.

師：我們?cè)撊绾巫C明呢？

為了引導(dǎo)學(xué)生更順利地想到證明方法，此處特地引入中國(guó)數(shù)學(xué)文化“梅文鼎老先生指出：西法用三角，猶古法之用勾股也.但三角有鈍角，而勾股無之，論者遂謂勾股之?dāng)?shù)有所窮，殊不知銳角形須分為兩勾股，鈍角形須補(bǔ)成勾股知……，然則勾股雖不能備三角之形，而能兼三角之理，三角不能出勾股之外，而能盡勾股之用，一而二，二而一者也.”一方面激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，另一方面從中吸取一些古人的寶貴意見.

學(xué)生分組討論探究銳角和鈍角三角形中的正弦定理.

1)銳角三角形.

如圖2，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,則

CD=asinB=bsinA,

因此

同理可得

圖2 圖3

2)鈍角三角形.

如圖3，與銳角三角形相比，相同之處：原理、轉(zhuǎn)化的思想；不同之處：sinB的表示，即

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合初中直角三角形中的邊角關(guān)系，通過觀察、比較、分析及從特殊到一般的推理方法發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理.采用分組探究的方式，利用幾何畫板，借助數(shù)據(jù)分析大膽猜想，然后嚴(yán)謹(jǐn)論證.

素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和邏輯推理能力.

2.3 定理應(yīng)用

例1在△ABC中，已知A=45°,B=75°,a=30,解三角形.

應(yīng)用1已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊求解三角形問題.

例2在△ABC中，已知B=30°,c=300,b=150,求a.

應(yīng)用2已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角求解三角形問題.

回歸課前提出的問題，解決臺(tái)風(fēng)到達(dá)時(shí)間的問題.在解決兩邊與其中一邊的對(duì)角問題時(shí)又出現(xiàn)新的問題：解的個(gè)數(shù)問題.

圖4

通過改變臺(tái)風(fēng)半徑思考解的個(gè)數(shù)的實(shí)際意義，并利用幾何畫板動(dòng)態(tài)展示(如圖4)歸納出當(dāng)給定一個(gè)銳角和一邊時(shí)，判斷三角形解的個(gè)數(shù)的更一般性結(jié)論.

變式3若將變式2中的b改為100，請(qǐng)判斷三角形解的個(gè)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖通過例題與變式讓學(xué)生在應(yīng)用定理解決問題的過程中更深入地理解定理及其作用.并通過實(shí)際例子發(fā)現(xiàn)多解的意義及判斷多解的一般方法.

素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象能力.

2.4 反思探究

1)在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，當(dāng)已知角是鈍角或者直角時(shí)，如何判斷三角形解的個(gè)數(shù)?

2)還有沒有其他證明正弦定理的方法？

設(shè)計(jì)意圖教師讓學(xué)生類比“正弦定理得到的過程”，課后探究三角形解的個(gè)數(shù)問題及其他證明正弦定理的方法，很好地解決了課前疑惑，延伸了課堂，提升了課堂的深度和廣度，并前后呼應(yīng)，使得課堂內(nèi)容更加豐滿.

素養(yǎng)目標(biāo)鞏固學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

3 課后感悟

3.1 課堂氣氛營(yíng)造的技巧

好的課堂氛圍有利于學(xué)生集中注意力，也有利于激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力，更有利于消除疲勞,加速學(xué)生接受和消化課堂上的內(nèi)容.

由于借班上課與學(xué)生接觸時(shí)間短，為了迅速與學(xué)生打成一片，并取得學(xué)生的信任，提升學(xué)生信心，本節(jié)課中筆者采用了下面的方式：

師：高一年級(jí)最優(yōu)秀的班級(jí)是哪一個(gè)?。?/p>

生(眾)：我們班.

師：那肯定的，既然這樣我請(qǐng)幾位同學(xué)回答一下課前熱身的答案.

生(眾)：……

師：果然如此，我們班真的名不虛傳??！

好的課堂氛圍需要教師的親和力和個(gè)人魅力，筆者在中國(guó)文化滲透的環(huán)節(jié)，本來只是介紹梅文鼎證明了正弦定理的過程，反復(fù)思考后覺得如果只是敘述這件事，學(xué)生必然不感興趣，因此將這段內(nèi)容杜撰成一個(gè)故事.

比起干巴巴的敘述，杜撰的故事會(huì)顯得更加生動(dòng)，容易調(diào)動(dòng)學(xué)生的注意力.數(shù)學(xué)文化的滲透不但使得學(xué)生的民族自豪感油然而生，而且對(duì)于下個(gè)證明環(huán)節(jié)有很好的提示作用.

3.2 課堂環(huán)節(jié)銜接的方法

為了讓課堂環(huán)節(jié)更加緊湊、精彩，在設(shè)置時(shí)無外乎需要有兩條線，一條明線與一條暗線，然后做到前后呼應(yīng).

本節(jié)課的明線：實(shí)際問題—數(shù)學(xué)問題—回顧初中—觀察直角—猜想驗(yàn)證—推理證明—定理應(yīng)用—出現(xiàn)問題—解決提升—課后探究—課后反思.

暗線：數(shù)學(xué)抽象—數(shù)學(xué)建?！獢?shù)據(jù)分析—邏輯推理—數(shù)學(xué)運(yùn)算—直觀想象.

從這樣兩條線出發(fā)，課堂環(huán)節(jié)就變得非常嚴(yán)謹(jǐn)，又前后呼應(yīng).整個(gè)流程環(huán)環(huán)相扣，如行云流水.

3.3 課堂精準(zhǔn)體現(xiàn)的方式

精準(zhǔn)的課堂需要體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，有時(shí)轟轟烈烈的課堂確實(shí)很有氛圍，但是如果不能收到成效，那么核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也就宣告失敗了.如何在課堂中評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)的效果呢？本節(jié)課采用了提問、板演、互批、互助、單獨(dú)輔導(dǎo)的方式，讓學(xué)生暴露問題，互相指出問題，互相探討問題，師生交流問題.這種方式不但可以掌握學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，更讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中悟出道理，互相講解道理，加深印象，從而更好地掌握知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)，習(xí)得學(xué)習(xí)知識(shí)的方法，正所謂“授人以漁”[1].

3.4 課堂有效提問的辦法

教學(xué)過程是不斷提出問題和解決問題的活動(dòng).問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題設(shè)計(jì)要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，貼近學(xué)生的最近思維發(fā)展區(qū)，這樣才能驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考和參與課堂[2].

例如，為了引導(dǎo)學(xué)生在直角三角形中發(fā)現(xiàn)正弦定理，筆者的提問是：

1)初中階段我們解三角形時(shí)用到哪些方法？

2)這些方法中體現(xiàn)邊角關(guān)系的有哪些？

這樣的提問既不會(huì)讓學(xué)生隨口而答，也不是“鏡花水月夠不著”，學(xué)生通過思考可以逐步發(fā)現(xiàn)正弦定理.

3.5 課堂生成問題的處理

課堂生成是課堂生命的體現(xiàn)，是學(xué)生思維火花碰撞的很好表現(xiàn)，也是課堂預(yù)設(shè)外教師處理問題能力的展示.

本節(jié)課現(xiàn)場(chǎng)生成了如下幾個(gè)環(huán)節(jié)：

1)在實(shí)際問題引出數(shù)學(xué)問題后，筆者提出“如何解這樣的三角形”，預(yù)設(shè)學(xué)生的回答是“不知道”，然后進(jìn)一步追問初中階段解三角形的方法.

課堂生成：有學(xué)生直接猜出了答案.

本節(jié)課的處理：大力表揚(yáng)學(xué)生大膽猜想的方式，為接下來從直角三角形中得到定理以及在任意三角形中得到定理的猜想作好鋪墊，最后在解決了這個(gè)實(shí)際問題后再次對(duì)前面這位得出猜想的學(xué)生進(jìn)行表揚(yáng)，收到了很好的呼應(yīng)效果.

2)在解決了兩邊及其一邊所對(duì)角的問題之后，筆者請(qǐng)了一位學(xué)生類比解決任意兩角一邊問題并歸納出正弦定理的第二個(gè)應(yīng)用.而被提問的學(xué)生由于靦腆不敢回答，筆者在整堂課結(jié)束時(shí)再次提問這位學(xué)生，并進(jìn)行鼓勵(lì)，最后他很好地回答了所提出的問題.面對(duì)這樣的課堂生成，筆者的處理方式是努力做到不遺漏每一個(gè)學(xué)生.