(吳興高級(jí)中學(xué),浙江 湖州 313000)

1 原題再現(xiàn)

(2019年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第16題)

本題是填空題壓軸題，是2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題、2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第17題的升級(jí)版，對(duì)考生的數(shù)學(xué)能力有較高要求.本題以函數(shù)為背景，以絕對(duì)值、不等式、存在性問題等為載體，重點(diǎn)考查學(xué)生分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合等思想，以及對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

2 解法賞析

本題有著豐富的內(nèi)涵，可以從一題多解、多題歸一、函數(shù)思想、導(dǎo)數(shù)思想、解集、數(shù)形結(jié)合、縱向距離等多維度去審視，從而得到不同的解法，可謂橫看成嶺側(cè)成峰.例1是求最大值，故以下解法只需考慮a>0的情形.

2.1 函數(shù)思想

解法1f(t+2)-f(t)=

a(t+2)3-(t+2)-at3+t=

a(t+2)3-at3-2，

設(shè)g(t)=a(t+2)3-at3-2，則

g′(t)=3a(t+2)2-3at2=12a(t+1).

因?yàn)橐骯的最大值，不妨設(shè)a>0，則當(dāng)t≥-1時(shí)，g′(t)≥0，g(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t≤-1時(shí)，g′(t)≤0，g(t)單調(diào)遞減，所以

g(t)min=g(-1)=2a-2.

由題意知只需

點(diǎn)評(píng)導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，利用導(dǎo)數(shù)求最值可以避免因?yàn)榛?jiǎn)而導(dǎo)致的錯(cuò)誤，比較適合學(xué)生的思維習(xí)慣.

解法2f(t+2)-f(t)=a(t+2)3-at3-2=

6at2+12at+8a-2,

設(shè)g(t)=6at2+12at+8a-2,其中a>0，則

下同解法1(略).

點(diǎn)評(píng)通過化簡(jiǎn)將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，從而將問題化歸為熟悉的背景，使問題順利求解.

2.2 參數(shù)分離思想

解法3由解法2得

f(t+2)-f(t)=6at2+12at+8a-2，

則

即

亦即

從而

設(shè)m=6t2+12t+8=6(t+1)2+2，則m∈[2,+∞)，于是

點(diǎn)評(píng)解法3從絕對(duì)值不等式的解法入手，結(jié)合參數(shù)分離思想，解法自然，是解決存在性問題的常用方法之一.

2.3 數(shù)形結(jié)合思想

解法4同解法3，設(shè)m=6t2+12t+8=6(t+1)2+2，則m∈[2,+∞).由題意得

圖1

g(m)min=g(2)=2a-2，

從而

于是

點(diǎn)評(píng)通過換元，實(shí)現(xiàn)了降維，從原題的三次函數(shù)降到了一次，結(jié)合絕對(duì)值一次函數(shù)的圖像，使得問題得以快速解決，極大地減少了思維量，解法簡(jiǎn)潔流暢.

2.4 分類討論思想

解法5同解法4，設(shè)a>0，則

g(m)=am-2，

從而

g(m)min=g(2)=2a-2，

于是

即

從而

g(m)min=2a-2.

從而g(m)min=0，滿足題意.

點(diǎn)評(píng)解法5從絕對(duì)值的定義出發(fā)，通過分類討論，求出a的最大值，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

此題是研究含絕對(duì)值的函數(shù)的最值問題.若考慮去絕對(duì)值，則原函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)分段函數(shù)來討論，即解法5.若從絕對(duì)值的本質(zhì)去思考，做一個(gè)代換，則可以轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的問題來解決，化歸為絕對(duì)值的本質(zhì)，即解法6，解題變得極為簡(jiǎn)潔、直觀,而這一思想與2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題一脈相承.

2.5 縱向距離

解法7由解法3知

即

設(shè)r(t)=3at2+6tat，s(t)=-4a+1，其中a>0，則

又r(t)min=r(-1)=-3a，若0

即

點(diǎn)評(píng)若直接利用縱向距離處理|f(t+2)-f(t)|，則不易于把握，因此解法7化簡(jiǎn)后再構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，這時(shí)縱向距離便簡(jiǎn)單直觀了，合理構(gòu)造函數(shù)是利用縱向距離的關(guān)鍵.

解法8由解法5,得

設(shè)r(t)=3at2，s(t)=-6at-4a+1，其中a>0，則

設(shè)T(x0,y0)∈r(t)，則r(t)在T處與s(t)平行的切線的斜率為

k=r′(t)|t=x0=6ax0，

即

6ax0=-6a，

從而x0=-1，于是T(-1,3a).又s(-1)=2a+1，因此縱向距離的最小值為

3a-2a-1=a-1.

點(diǎn)評(píng)解法8是解法7的升級(jí)版，闡述了更一般情形下縱向距離的解法.解法7與解法8體現(xiàn)了函數(shù)及數(shù)形結(jié)合的思想，都是從縱向距離的視角來解決問題，因所構(gòu)造函數(shù)的差異，縱向距離求法有所不同，但其本質(zhì)不變.從距離的視角來解讀絕對(duì)值，為我們解決絕對(duì)值問題打開了一扇新的窗，提供了一種新的思路與方法,與2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第17題如出一轍.

3 拓展引申

一題多解是解題教學(xué)中常用的策略之一.但只為了解題而一題多解，則無法真正提高學(xué)生的核心素養(yǎng)，對(duì)于經(jīng)典試題我們要有敬畏之心，要適度拓展與引申，充分發(fā)揮其教育功能.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果能以某一主題為中心，注意把“一題多解”“多題歸一”等方法組成一個(gè)互相聯(lián)系、互相作用的綜合體，更有助于加深知識(shí)的掌握與鞏固，提高解題技巧及分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)思維的靈活性、變通性和創(chuàng)新性，從而實(shí)現(xiàn)整體功能大于部分功能之和.

圖2

3.1 切比雪夫最佳函數(shù)逼近理論簡(jiǎn)介

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有二階導(dǎo)數(shù)，且f″(x)在[a,b]上恒正或恒負(fù)，則存在f(x)在[a,b]上的線性最佳一致逼近多項(xiàng)式p1(x).

p1(x)的幾何意義：如圖2，直線l∥MN與f′(x)切于點(diǎn)Q，直線y=p1(x)與弦MN平行，且過線段MQ的中點(diǎn)，其方程為

圖3

結(jié)論1如圖3，若f(x)的圖像是平口單峰函數(shù)，此時(shí)圖像的特征為：

1)kMN=0，Q為f(x)的極值點(diǎn)；

2)f(a)=f(b)；

3)直線l即p1(x)處于正中間;

結(jié)論2若f(x)的圖像不是平口單峰函數(shù)，則構(gòu)造為平口單峰函數(shù).

利用切比雪夫最佳函數(shù)逼近理論，解決形如|f(x)-g(x)|的問題，從而實(shí)現(xiàn)“多題歸一”，即從縱向距離的視角進(jìn)行解讀，不僅給學(xué)生一種解法，更給學(xué)生一種思想、一種工具.為強(qiáng)化縱向距離的應(yīng)用，以下各題只討論縱向距離解法.

3.2 高考試題中的縱向距離

考點(diǎn)1函數(shù)最大值的最小值問題.

例2已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R),記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值.

1)證明：當(dāng)|a|≥2時(shí)，M(a,b)≥2；

2)略.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題)

不妨設(shè)a<0，則

g(-1)=1-a,g(1)=1+a,

從而

當(dāng)且僅當(dāng)g(-1),g(1)與h(x)距離相等時(shí)等號(hào)成立.

點(diǎn)評(píng)最大值的最小值問題，是近幾年浙江卷的一個(gè)熱點(diǎn)問題，在解法上更多的是從絕對(duì)值三角不等式入手.本證法則是以縱向距離為入口，凸顯數(shù)與形的完美結(jié)合，給人以美的享受.本題考查的區(qū)間是一個(gè)單調(diào)區(qū)間，因此也只需考查區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值.

考點(diǎn)2函數(shù)中的參數(shù)問題.

例3已知t為常數(shù)，函數(shù)y=|x2-2x-t|在區(qū)間[0,3]上的最大值為2，則t=______.

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

解設(shè)f(x)=x2-2x,g(x)=t,函數(shù)在區(qū)間[0,3]上的最大值為2，即f(x)與g(x)的縱向距離的最大值為2.

因?yàn)閒(0)=0，f(3)=3,f(1)=-1,所以

即t=1.

點(diǎn)評(píng)二次函數(shù)問題是高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn).縱向距離解法豐富了二次函數(shù)問題的解法，給人耳目一新之感.

4 反思感悟

4.1 反思解法

對(duì)于同一題，通過一題多解，從不同的角度去分析思考，會(huì)得到不同的啟示.根據(jù)題中涉及到的不同的知識(shí)點(diǎn)適度引申，可使學(xué)生的思維觸角伸向不同的知識(shí)領(lǐng)域，從而加深對(duì)知識(shí)的理解，發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維能力.

1)從函數(shù)的本質(zhì)出發(fā)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及二次函數(shù)模型，便自然有了解法1和解法2.

2)從解絕對(duì)值不等式出發(fā)，結(jié)合存在性問題解法，便有了解法3.

3)根據(jù)絕對(duì)值運(yùn)算的性質(zhì)，對(duì)含參的絕對(duì)值問題，分類去絕對(duì)值符號(hào)是含參絕對(duì)值運(yùn)算的基礎(chǔ)，自然將我們引向分類討論的思想方法，從而便有了解法4～6.

4)由絕對(duì)值的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，從而有了解法6，這種轉(zhuǎn)化與降維思想，是數(shù)學(xué)解題的常用策略之一.

5)解法7和解法8充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)在解題中的應(yīng)用，是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體應(yīng)用，是從數(shù)與形兩個(gè)維度對(duì)函數(shù)進(jìn)行解讀，充分體現(xiàn)了函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想在解題中的重要地位，是對(duì)絕對(duì)值的理性思考，是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的進(jìn)一步升華.

4.2 反思教學(xué)

解題教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要地位，不僅要提倡一題多解，將數(shù)學(xué)的知識(shí)、數(shù)學(xué)與方法串聯(lián)起來，形成知識(shí)體系，更要關(guān)注“多題歸一”，關(guān)注試題背后所隱含的東西.通過拓展引申，將學(xué)生帶向新的領(lǐng)域，讓學(xué)生去領(lǐng)略新的盛景，發(fā)散學(xué)生的思維.

本文通過對(duì)例1的8種解法，建構(gòu)絕對(duì)值函數(shù)的知識(shí)體系，通過鏈接歷年高考試題將原題拓展引申，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)此類題模型的認(rèn)識(shí)與理解，還可以激活學(xué)生的思維，特別是縱向距離方法的應(yīng)用，為學(xué)生打開了一扇窗，也為解題教學(xué)研究提供了一種范式.

4.3 反思教研

研題是有效的教研形式.活動(dòng)中將命題、解題、析考、論教(學(xué))融于一體，使得集體的智慧得以充分發(fā)揮，營(yíng)造了良好的教研氛圍，凸顯了教研的校本特征，有利于促進(jìn)教師內(nèi)化課程基本理念、領(lǐng)會(huì)教學(xué)指導(dǎo)思想、把握學(xué)科課程本質(zhì)、感悟考試評(píng)價(jià)方向、決策教學(xué)策略方法、提高教研與教學(xué)的針對(duì)性，從而促進(jìn)課堂教學(xué)的有效性，促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展.

一題一處景，橫看成嶺側(cè)成峰，經(jīng)典試題一定有其豐富的內(nèi)涵與深刻的背景，我們向經(jīng)典致敬，不應(yīng)只是對(duì)美景欽羨而駐足不前，而是要“尋根”“究底”，只有這樣才能跳出“只緣身在此山中”的尷尬.