夏永立

摘? 要：學(xué)具在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要的作用，能夠讓數(shù)學(xué)智慧在手指尖上“跳動(dòng)”。為了激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，開(kāi)發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新潛能。將“完整的數(shù)學(xué)學(xué)具”設(shè)計(jì)成“殘缺的數(shù)學(xué)學(xué)具”，利用學(xué)具的殘損，或者故意不提供給學(xué)生充裕的學(xué)具，引發(fā)孩子的數(shù)學(xué)思維，能夠促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。筆者嘗試開(kāi)發(fā)“殘缺”的數(shù)學(xué)學(xué)具，從“幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)思維定式、引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程、培養(yǎng)學(xué)生形成創(chuàng)新思維、發(fā)展學(xué)生問(wèn)題解決能力”四個(gè)方面做了有益的探索，從而獲得了新的研究啟示，打開(kāi)了學(xué)具研究新的“天窗”。

關(guān)鍵詞：殘缺;學(xué)具;深度;學(xué)習(xí)

一、研究緣起

長(zhǎng)期以來(lái)，教師們一直都非常重視學(xué)具在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用。然而，很多孩子在課堂中只是“操作工”，而并非真正的“探究者”，更難以激活孩子的創(chuàng)新潛能。這引起了筆者的思考：如何讓操作更有效？怎樣發(fā)揮學(xué)具更大的創(chuàng)新價(jià)值？……

“愛(ài)神”維納斯之所以美，不僅僅在于她所呈現(xiàn)給我們的形體和微笑，而更在于其手臂的殘缺魅力。由此，筆者聯(lián)想到數(shù)學(xué)學(xué)具。學(xué)具的價(jià)值在于通過(guò)操作與觀察，能夠激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，開(kāi)發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新潛能。我們不妨將“完整的數(shù)學(xué)學(xué)具”設(shè)計(jì)成“殘缺的數(shù)學(xué)學(xué)具”，利用學(xué)具的殘損，或者故意不提供給學(xué)生充裕的學(xué)具，發(fā)揮其“殘缺”之美，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)想象、猜測(cè)、聯(lián)想、假設(shè)、推理等數(shù)學(xué)思考和探究的空間，從而引發(fā)孩子的數(shù)學(xué)思維，能夠促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

二、初步探索

通過(guò)開(kāi)發(fā)“殘缺”數(shù)學(xué)學(xué)具，改變了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂(lè)于探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的起源和發(fā)展過(guò)程，更加關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，有利于學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀念，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，有利于學(xué)生形成科學(xué)態(tài)度和良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而最終為每個(gè)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。

1. 開(kāi)發(fā)“殘缺”數(shù)學(xué)學(xué)具，幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)思維定式

在環(huán)境不變的條件下，思維定式使人能夠應(yīng)用已掌握的方法迅速解決問(wèn)題。而在情境發(fā)生變化時(shí)，它則會(huì)妨礙人采用新的方法。消極的思維定式是束縛創(chuàng)造性思維的枷鎖，會(huì)影響思維的發(fā)散性、靈活性的發(fā)展，使人們的思維在新的情境中難以靈活地思考，容易受到舊框的束縛，不敢越雷池一步。在教學(xué)中，筆者充分利用“殘缺”的數(shù)學(xué)學(xué)具，克服思維定式對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的消極影響，幫助學(xué)生正確掌握分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法。

案例：“一把破尺！”（課題：認(rèn)識(shí)厘米）

師：老師這里有一把破尺子（用手一拉，直尺的右面一部分被拉斷了），能用這把尺子量嗎？

生：能，起點(diǎn)“0”還在。

師：如果不夠量呢？

生：兩次。

師：如果尺子的這頭又拉斷了（出示直尺的兩端都拉斷了），起點(diǎn)“0”也沒(méi)了，現(xiàn)在還能量嗎？

生：能。

師：怎么量？

生：用“2”當(dāng)起點(diǎn)。

師：請(qǐng)你用這把破尺來(lái)量一量這把小刀的長(zhǎng)度。

生：左邊是“2”，右邊是“7”，從“2”到“7”是5厘米。

師：你是怎樣想到5厘米的呢？

生：用7減去2，就得到了5個(gè)1厘米。

……

創(chuàng)設(shè)有趣的障礙情境：小明的尺子兩次被拉斷，結(jié)果成了一把名副其實(shí)的“破尺子”了。這個(gè)情境使學(xué)生的思考一步步地深入：破尺子還能量物體嗎？先出示右端殘缺的尺子，再出示兩端都?xì)埲钡某咦?，引?dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)起點(diǎn)是可以自己定的。用這把破尺子量小刀的長(zhǎng)度，讓學(xué)生經(jīng)歷用“大數(shù)減小數(shù)”這一計(jì)算方法的形成過(guò)程。通過(guò)一次又一次設(shè)置思維障礙，幫助學(xué)生克服思維定式的消極影響，從而獲得成功的體驗(yàn)，有效發(fā)展了思維的變通性?？梢?jiàn)，只有擺脫原來(lái)思維的固定模式，調(diào)整已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，建立新的認(rèn)知方向，才能感受到數(shù)學(xué)思維的魅力。

2. 借助“殘缺”數(shù)學(xué)學(xué)具，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過(guò)程

“深度數(shù)學(xué)”并不是“高難度數(shù)學(xué)”，而一定要“深刻而不深?yuàn)W”，讓學(xué)生領(lǐng)悟蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)問(wèn)題里面的深刻的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值。這個(gè)過(guò)程不是教師牽著學(xué)生的“牛鼻子”，而是給學(xué)生提供一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“漁場(chǎng)”，留足思維的空間與時(shí)間，引領(lǐng)學(xué)生自己去體驗(yàn)、感悟知識(shí)的形成過(guò)程。如教學(xué)“長(zhǎng)方體體積”一課時(shí)，筆者給了幾個(gè)1立方厘米的小正方體，讓學(xué)生去擺出長(zhǎng)方體。筆者有意讓學(xué)生準(zhǔn)備少量的學(xué)具，當(dāng)學(xué)生感覺(jué)到自己手中的小正方體不夠時(shí)，再適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生自己設(shè)法解決問(wèn)題。

案例：“小正方體個(gè)數(shù)不夠怎么辦？”（課題：長(zhǎng)方體體積）

師：你能用手中的1立方厘米的小正方體，擺出體積是24立方厘米的長(zhǎng)方體嗎？

生：一共需要有24個(gè)1立方厘米的小正方體，我手中只有7個(gè)1立方厘米的小正方體，不夠擺。

師：用手中的小正方體去擺長(zhǎng)方體，個(gè)數(shù)不夠怎么辦？

生1：向別的同學(xué)借小正方體。

師：別人也要?jiǎng)邮謹(jǐn)[呀！

生2：我們同桌兩人在一起合作研究。

師：你很善于合作。如果只用你手中小正方體獨(dú)立擺，你有什么好方法？

生3：小正方體不夠用，空些位置也行，只要分別沿著長(zhǎng)、寬和高擺，就能夠在腦中想象出長(zhǎng)方體的樣子了。

……

“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開(kāi)而弗達(dá)”，教師緊緊抓住“小正方體不夠”“用更少的小正方體”為切入口，巧妙地借助“殘缺”的數(shù)學(xué)學(xué)具，及時(shí)引領(lǐng)學(xué)生自己去探索長(zhǎng)方體體積的計(jì)算公式，讓他們體驗(yàn)建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。

在這一教學(xué)過(guò)程中，教師讓學(xué)生拼擺學(xué)具，由于小正方體的個(gè)數(shù)不夠，給學(xué)生提供了更大的思考空間：怎么擺才能得出長(zhǎng)方體的體積？擺不滿的部分可以擺幾個(gè)小正方體？只擺出長(zhǎng)邊、寬邊和高就能得出長(zhǎng)方體的體積嗎？學(xué)生在解決這些富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題中，經(jīng)歷了體積公式的推導(dǎo)過(guò)程，發(fā)展了空間想象力。

教師由“剖腹產(chǎn)”到“助產(chǎn)士”，讓數(shù)學(xué)知識(shí)自然“孕育”?？梢?jiàn)，只有讓學(xué)生的思維“留白”，才能讓操作更能彰顯其獨(dú)特的思維價(jià)值。

3. 借助“殘缺”數(shù)學(xué)學(xué)具，培養(yǎng)學(xué)生形成創(chuàng)新思維

學(xué)具作為教學(xué)活動(dòng)的重要載體，既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，又要充分發(fā)揮它在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維方面的功能。課堂是學(xué)生智慧飛揚(yáng)的天地，只有鮮活生動(dòng)的資源不斷生成的課堂才是最有生命力的。作為一名教師，要善于借助“殘缺”的數(shù)學(xué)學(xué)具，用一雙智慧的眼睛去捕捉課堂上閃現(xiàn)的創(chuàng)新火花，使它成為一道亮麗的風(fēng)景，讓學(xué)生陶醉其中而流連忘返。

案例：“殘缺的量角器也有用！”（課題：角的度量）

師：同學(xué)們都會(huì)用量角器了，誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)量角的方法？

生：量角器的中心和角的頂點(diǎn)重合，角的一條邊和零刻度線重合，再看另一條邊所在的刻度線的度數(shù)。

師：很好，可是這一把量角器損壞了。你能用它度量這個(gè)角嗎？（許多學(xué)生搖頭）

生：量角器斷了，不和零刻度線重合也能量！

師：你是怎樣想的？量給大家看看。

生：讓一條邊和90度的刻度線重合，角的頂點(diǎn)與量角器中心對(duì)齊，看另外一邊經(jīng)過(guò)幾個(gè)刻度。

師：妙！這種方法很簡(jiǎn)單！

生：不一定要對(duì)準(zhǔn)90度的刻度線，對(duì)準(zhǔn)其他也行，只要看兩條邊之間的間隔度數(shù)就行了。

師：你還善于推廣，真了不起！你能用這個(gè)殘缺的量角器量出這個(gè)鈍角的度數(shù)嗎？

生：不行，這個(gè)量角器破損了，鈍角的兩條邊不能和量角器的刻度線重合。

師：有什么辦法可以量呢？

生：可以把鈍角的一條邊向反方向延長(zhǎng)，量出這個(gè)銳角的度數(shù)，再用180度減去這個(gè)銳角的度數(shù)就可以了。（生鼓掌）

量角是一種基本的操作技能，學(xué)生往往在教師的演示、講解中牢記度量的方法，然后不斷地去模仿、鞏固，這樣的教學(xué)缺少必要的思維訓(xùn)練。如何讓學(xué)生由“操作工”變成“探究者”？筆者借助一把殘缺的量角器，讓學(xué)生在量角的過(guò)程中不斷感悟?qū)⒋郎y(cè)的角與量角器的角重合，再?gòu)牧拷瞧魃蠑?shù)出角的開(kāi)口有幾個(gè)單位（1°的角），這才是量角的“根本方法”。接著，筆者讓學(xué)生用殘缺的量角器去量鈍角的度數(shù)，又一次創(chuàng)設(shè)了思維的障礙，將學(xué)生逼上“數(shù)學(xué)思考”的梁山。學(xué)生通過(guò)巧妙轉(zhuǎn)化，另辟蹊徑，創(chuàng)造性地解決了問(wèn)題。這樣，學(xué)生容易擺脫外在“方法”的束縛，甚至可以想出因地制宜的“方法”， 真正激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新思維的潛能。在教學(xué)中，筆者巧妙地捕捉這一創(chuàng)新資源，讓學(xué)生感悟量角的本質(zhì)，取得了理想的教學(xué)效果。

4. 借助“殘缺”數(shù)學(xué)學(xué)具，提高學(xué)生問(wèn)題解決能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師借助“殘缺”的數(shù)學(xué)學(xué)具，給學(xué)生需要解決的問(wèn)題提供思維的原動(dòng)力，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積極作用，讓學(xué)生面對(duì)新的問(wèn)題時(shí)能夠主動(dòng)嘗試解決。

案例：“殘缺的鐘面！”（課題：圓的周長(zhǎng)）

師：這里有一個(gè)殘損的鐘面，你能求出原來(lái)鐘面的周長(zhǎng)嗎？

生：找不到這個(gè)鐘面的圓心，也無(wú)法量出它的半徑，不能求出周長(zhǎng)。

師：誰(shuí)有巧妙的方法可以算出原來(lái)鐘面的周長(zhǎng)？

生：用細(xì)線量出刻度“6”到刻度“8”這一段弧線的長(zhǎng)度，它剛好是原來(lái)鐘面周長(zhǎng)的六分之一，就可以順利求出來(lái)。

……

維納斯的斷臂的美，就在于讓人產(chǎn)生無(wú)窮無(wú)盡的想象的空間。留下空間讓審美者用自己的心靈和感受去填補(bǔ)空白，這恐怕就是斷臂所帶來(lái)的殘缺之美的妙處。筆者通過(guò)給學(xué)生一個(gè)殘缺的鐘面，創(chuàng)設(shè)了一個(gè)“不知道鐘面的半徑，怎么算出完整鐘面的周長(zhǎng)”的問(wèn)題情境，促使學(xué)生充分利用已有的經(jīng)驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題。學(xué)生主動(dòng)地、創(chuàng)造性地投入到知識(shí)的發(fā)展、延伸過(guò)程中，嘗到了發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的樂(lè)趣，感受到了創(chuàng)新的魅力。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中有了這種數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積淀，就會(huì)形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在教學(xué)中，教師要善于制造沖突，讓學(xué)生在面對(duì)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠調(diào)動(dòng)已有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從常規(guī)的解題模式中“跳”出來(lái)，具備真正的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力，才能夠形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、研究啟示

如果說(shuō)斷臂的維納斯給人帶來(lái)了審美的享受，那么，“殘缺”的數(shù)學(xué)學(xué)具給學(xué)生帶來(lái)了思維的快樂(lè)，將數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”?！皻埲薄睌?shù)學(xué)學(xué)具的開(kāi)發(fā)與應(yīng)用，給數(shù)學(xué)教師帶來(lái)了創(chuàng)新的思考。

1. 要進(jìn)行“二度開(kāi)發(fā)”，發(fā)揮創(chuàng)新價(jià)值

“殘缺”數(shù)學(xué)學(xué)具的開(kāi)發(fā)與應(yīng)用，給數(shù)學(xué)教師帶來(lái)了創(chuàng)新的思考。學(xué)具的價(jià)值不在于其表面呈現(xiàn)形態(tài)的好看與否，而在于它能否引發(fā)學(xué)生的好奇感，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生問(wèn)題解決的能力，從而促進(jìn)學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展。因此，在教學(xué)中教師要獨(dú)具慧眼，大膽對(duì)學(xué)生常見(jiàn)的學(xué)具進(jìn)行“二度開(kāi)發(fā)”，從而挖掘?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛能，達(dá)到理想的教學(xué)效果?？梢?jiàn)，教師只有做一個(gè)教學(xué)的“有心人”，勤于思考，敢于突破一般思維的局限，善于發(fā)現(xiàn)和設(shè)計(jì)，才能真正發(fā)揮其獨(dú)特的創(chuàng)新價(jià)值。

2. 要?jiǎng)?chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)，形成研究系列

“殘缺”學(xué)具的利用是一個(gè)很好的研究視角，要進(jìn)行有系統(tǒng)、持續(xù)的研究。讓我們長(zhǎng)期關(guān)注一個(gè)問(wèn)題，在一個(gè)點(diǎn)上突破，這樣可以達(dá)到舉一反三的效果。教師可以再深入研究如何在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)利用非常規(guī)的學(xué)具和教具提升教學(xué)，找尋規(guī)律，使之具有更廣的適用性。因此，教師要?jiǎng)?chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)，用研究的眼光來(lái)審視教學(xué)，不斷提高課堂教學(xué)質(zhì)量，發(fā)揮課堂的最佳效益。在教育教學(xué)活動(dòng)中，只有教師具有強(qiáng)烈的創(chuàng)新意識(shí)，才會(huì)有意識(shí)地去關(guān)注學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

很難想象不會(huì)創(chuàng)造的教師可以教出具有創(chuàng)造才能的學(xué)生，高明的教師總是用自己非凡的創(chuàng)造力去培養(yǎng)更有創(chuàng)造力的學(xué)生。因此，教師在教學(xué)過(guò)程中要不斷地提升自身的創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)能力，以此來(lái)帶動(dòng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展。

可見(jiàn)，我們要根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容，進(jìn)行“殘缺”數(shù)學(xué)學(xué)具的開(kāi)發(fā)和應(yīng)用，讓它在課堂中有“一席之地”，真正激活學(xué)生的創(chuàng)新潛能，發(fā)揮好它在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的創(chuàng)新價(jià)值。

3. 要生產(chǎn)“殘缺”學(xué)具，推廣研究成果

在課堂教學(xué)研究中，筆者發(fā)現(xiàn)常規(guī)的數(shù)學(xué)學(xué)具不利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維，就建議學(xué)具生產(chǎn)部門在研發(fā)和生產(chǎn)數(shù)學(xué)學(xué)具時(shí)，可以擺脫“標(biāo)準(zhǔn)式”學(xué)具的束縛，生產(chǎn)出一批“殘缺”的數(shù)學(xué)學(xué)具。

在許多家庭中，將功能相近的家具“組裝”在一起，就形成了“組合家具”。在“組合家具”的啟發(fā)下，筆者萌發(fā)了可以生產(chǎn)研發(fā)出“活動(dòng)抽拉式”學(xué)具的想法。這樣，教師就無(wú)須親自制作“殘缺”學(xué)具，可以從繁重的學(xué)具制作中解放出來(lái)，減輕了教師親自制作所花的精力和代價(jià);學(xué)生在課堂中使用起來(lái)也很便捷，不需要損壞現(xiàn)成的學(xué)具，可以降低成本，減輕了他們的經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)。比如，在生產(chǎn)直尺和量角器時(shí)，只要運(yùn)用“抽拉”，可以使其成為“殘缺”的數(shù)學(xué)學(xué)具，還能將其“還原”成原形。這樣，每位學(xué)生手中都有常見(jiàn)的“殘缺”數(shù)學(xué)學(xué)具，可以便于使用，讓每個(gè)學(xué)生都能親自參與操作，真正發(fā)揮好它的作用。

如果學(xué)具研發(fā)部門能夠生產(chǎn)出一大批“組裝抽拉”式學(xué)具，必將引發(fā)出一場(chǎng)學(xué)具生產(chǎn)的“變革”，可以更好地促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行“深度學(xué)習(xí)”，對(duì)課堂革命產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，讓更多的學(xué)生發(fā)展受益。