張永華

【摘要】數(shù)學(xué)的教學(xué)過程是人認識知識本質(zhì)的過程，在這個過程中并存著教師的教學(xué)過程，知識的發(fā)生、發(fā)展過程以及教師與學(xué)生的思維活動過程，這些過程實際上都是教學(xué)中客觀存在的邏輯過程，它必然存在著思維層面的規(guī)律和方法。作為教師，應(yīng)在進行教學(xué)前，要能夠明確數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯，了解學(xué)生的認知邏輯，并注重教學(xué)的設(shè)計邏輯。這樣我們的課堂教學(xué)才能引導(dǎo)著學(xué)生去探尋學(xué)科的本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；邏輯；本質(zhì)；教學(xué)思考

2018年11月27-29日，作為廣東省陳曉燕名教師工作室團隊中的一員，筆者有幸參加了在浙江湖州新世紀外國語學(xué)校舉辦的“成長課堂”第四屆小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)觀摩研討活動。27日一開始是《平面圖形的面積》一課，本節(jié)課對教材內(nèi)容進行了重構(gòu)，把“平行四邊形的面積”“三角形的面積”“梯形的面積”三個課時的內(nèi)容整合在一節(jié)課中，老師僅提供方格紙和四類圖形，以長方形的面積為研究基礎(chǔ)，讓學(xué)生自主選擇研究內(nèi)容和方法，完整經(jīng)歷研究其它圖形面積的過程。雖然40分鐘沒有完成傳統(tǒng)意義上所謂的“教學(xué)任務(wù)”，但在后面劉加霞教授介紹了她們的研究和思考時，基于單元整體研究設(shè)計教學(xué)的理念和視野給了我們深深的震撼。劉教授講到這節(jié)課為什么摒棄傳統(tǒng)的“割補、剪拼”法，只采用方格紙作為研究工具，她們除了大量的學(xué)生研究實證數(shù)據(jù)外，還基于對“度量”的本質(zhì)的深度思考；而平行四邊形、三角形面積公式的研究是否一定要按現(xiàn)行教材編寫的序來展開教學(xué)？他們通過比較古今中外各版本教材，發(fā)現(xiàn)其并不需要強調(diào)先后順序，可由學(xué)生自主選擇，先研究誰、后研究誰并不違背知識邏輯和認知邏輯……劉教授在報告中也特別提到：“單元教學(xué)”研究，其根本是把握“三邏輯”：數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯、學(xué)生認知的思維邏輯、教師教學(xué)的設(shè)計邏輯。而這三個邏輯作為數(shù)學(xué)教學(xué)研究的根本，在我們的日常教學(xué)中其實也應(yīng)該去關(guān)注，基于此，筆者對《烙餅問題》一課有了如下思考。

一、數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯（明確這節(jié)課究竟該教什么）

教學(xué)的邏輯首先是知識的邏輯。教學(xué)的展開都是以知識為載體的，而知識是有邏輯關(guān)系的。知識邏輯其實就是回答教學(xué)“教什么”的問題，它是教學(xué)活動中最具實質(zhì)性的要素?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011版）》中提出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經(jīng)驗?！睌?shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，也是一個人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本內(nèi)容。讓學(xué)生初步感受一些基本的數(shù)學(xué)思想方法是“數(shù)學(xué)廣角”的主要教學(xué)目標之一，而人教版教材就是通過“數(shù)學(xué)廣角”這個知識載體來更好地體現(xiàn)并達成目標。因此，數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)首先應(yīng)定位于通過數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的思想方法，學(xué)會運用數(shù)學(xué)思想方法嘗試解決問題，體驗解決問題的策略、方法。而烙餅問題一課作為其中的教學(xué)內(nèi)容之一，和這之前的沏茶問題一樣，就是讓學(xué)生體會在解決問題中優(yōu)化思想的應(yīng)用。在烙餅問題的教學(xué)中，教科書上的例題設(shè)計了兩個問題：“怎樣才能盡快吃上餅？”和“哪種方法比較合理？”，都是圍繞“優(yōu)化”在探究問題。所以本節(jié)課的教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的感悟才是它的本質(zhì)，而非只是解決“至少需要多少分鐘？”的問題。

二、學(xué)生認知的思維邏輯（明確這節(jié)課為什么這樣教）

小學(xué)生的思維是從具體形象思維逐步過渡到抽象邏輯思維，但他們的抽象邏輯思維在很大程度上仍是直接與感性經(jīng)驗相聯(lián)系的，具有很大成分的具體形象性。只有了解了學(xué)生認知的思維邏輯，才能讓我們清楚的知道“為什么要這樣去教”的道理。所以根據(jù)此特點，對本節(jié)課進行了如下分析：

“烙餅問題”在教材中的信息內(nèi)容一共包含了四點。

1.烙餅的條件：要烙3張餅，每次最多可以烙 2張，兩面都要烙，每面3分鐘。這些信息通過閱讀和后面演示、操作等方式學(xué)生還是容易理解。

2.通過為什么烙 2 張餅和烙 1 張餅都用6分鐘的問題，讓學(xué)生明白兩張餅是同時烙的，因此，鍋在沒閑下來的時候，就充分利用了資源，這樣時間就節(jié)省了。此環(huán)節(jié)烙餅1張和2張對學(xué)生來說并不太難，通過演示或操作都能達到目的。但本環(huán)節(jié)不能僅僅停留在操作層面，還需讓學(xué)生用符號、圖形或文字等表征形式將操作以及思維的過程記錄下來，為后面研究3張烙餅打好堅實的基礎(chǔ)。

3.烙3張餅怎樣烙最省時。教材中包含著烙3 張餅有多種方式的信息，學(xué)生思維會呈現(xiàn)不同的方式，體現(xiàn)多樣化，這也是本節(jié)課的認知難點。教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用烙2張餅的記錄方法記錄下自己烙3張餅的思維過程，然后進行小組交流后匯報展示，當然匯報時需注意學(xué)生認知的思維邏輯，即先匯報大部分學(xué)生都能理解的18或12分鐘的烙法，再匯報9分鐘的烙法，這樣尊重了孩子的認知起點，也有利于學(xué)生領(lǐng)悟“烙餅問題”的內(nèi)涵。強化難點突破的過程、揭示難點突破的思維合理性。

4.探索烙更多張餅（如4 張、5張、6張等）最節(jié)省時間的方法。此時學(xué)生還會停留在動手或利用符號化、圖形化的表征的方式來進行研究，為了提高學(xué)生的思維，所以教師需指導(dǎo)孩子利用剛才研究的烙2張和3張的時間這個已有的經(jīng)驗來解決后面這些新的問題，如果有時間的話還可以通過表格的方式將時間列出來，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

基于學(xué)生這樣的思維邏輯，筆者對本節(jié)課進行了如下設(shè)計。

三、教師教學(xué)的設(shè)計邏輯（明確這節(jié)課到底該怎樣教）

1.創(chuàng)設(shè)情境

創(chuàng)設(shè)廚師爭霸賽的情境，明確比賽的規(guī)則：烙相同張數(shù)的餅，最省時間者為勝！比賽要求：每次最多只能烙2張餅；兩面都要烙，每面3分鐘。

通過有趣情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，了解烙餅的條件。

2.烙1張餅和2張餅

因為1張餅的烙法對于學(xué)生來說很容易，所以采用視頻播放兩位選手烙1張餅的情況直接演示。而2張餅因有2種不同的烙法，這時教師可選擇一個采用一張一張烙方法的學(xué)生先上臺來借助學(xué)具進行操作，引發(fā)爭議，再通過為什么烙 2 張餅和烙 1 張餅都用6分鐘的問題從而得出2張同時烙會更省時。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用文字表征的方法記錄操作及思維的過程，如，①1正2正②1反2反，為后面記錄3張餅的操作過程打好基礎(chǔ)。最后為加強印象，用課件演示兩位選手同時烙2張餅的過程，也呼應(yīng)了教學(xué)情境。

3.烙3張餅

對于學(xué)生來說，3張餅的省時烙法是很難理解的，而且在實際生活中并不采用這種方法，沒有足夠的生活經(jīng)驗來支撐整個思路。所以這一環(huán)節(jié)利用“烙3張餅，怎樣烙最省時間？”這一大問題讓學(xué)生同桌為一組借助學(xué)具分工烙，一人烙一人記錄，如有不同想法時再進行交換的方式來處理這個環(huán)節(jié)。此時教師應(yīng)該及時巡視各組烙餅的實際情況，便于匯報時有序的展示孩子的思維過程：第一個展示的應(yīng)該是烙了18分鐘的，如果沒有出現(xiàn)這種情況那就讓烙12分鐘的情況進行匯報，等到這些情況匯報完自然就會有孩子對9分鐘的情況進行補充。通過孩子的匯報以及文字的表征①1正2正②1反3正③2反3反之后，再一次操作來強化這一過程然后利用課件演示兩位選手烙3張餅的兩種不同過程，通過這幾次的強化幫助全體學(xué)生打開思路，學(xué)生的思維也得以激烈的碰撞，有效的突破了難點。這時順勢提出“9分鐘的方法時間省在哪了，關(guān)鍵是在哪一步？”這一問題，通過對兩種烙法的比較，不僅讓學(xué)生得出省時的方法就是每次總烙2張餅，別讓鍋有空余；而且讓學(xué)生明確省時關(guān)鍵是在第二步，只有在這一步采用了交替烙，才能讓鍋不閑著，最終才能省時，以此來培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)化意識。

4.探索烙更多張數(shù)餅最省時間的方法

在接下來烙其它張數(shù)的餅的教學(xué)中，不再停留在動手操作和文字表征的方式來進行研究，而是讓學(xué)生思考“什么情況下可以仿照烙 2 個餅的方法來烙餅?zāi)?？”，從而得出烙雙數(shù)個餅時可以使用此方法。而單數(shù)餅的烙法通過推理得出先分出3張一組的情況，再用2張餅的烙法來烙，充分借助烙2張和3張餅的方法這個已有的經(jīng)驗來解決后面這些新的問題，最后還可以通過表格的方式將時間列出來，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這樣充分體現(xiàn)了從特殊到一般的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗，類比遷移得出的結(jié)論——這里既有數(shù)學(xué)抽象，也有推理。

鄭毓信教授曾談到：“優(yōu)化問題”的教學(xué)，主要涉及了這樣三個問題：第一，什么？（如何）即什么是所謂的“最佳方案”？第二，為什么？即這為什么可以說是“最佳方案”？第三，怎么樣？就是我們?nèi)绾文軐Υ俗鬟M一步的發(fā)展？包括對于相應(yīng)的普遍性規(guī)律的探究，以及如何能夠達到更深層次的理解，等等。很多時候，我們往往都只關(guān)注學(xué)生“可以怎樣優(yōu)化”，而很少會讓學(xué)生思考“為什么可以這樣優(yōu)化，優(yōu)化的根本原因是什么，這里有什么規(guī)律?！边@一做法顯然是與我們所一貫提倡的“理解學(xué)習(xí)”直接相違背的。所以，我們教師完全可以通過把握“三邏輯”：數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯、學(xué)生認知的思維邏輯、教師教學(xué)的設(shè)計邏輯，進一步調(diào)整自己的教學(xué)，讓我們的學(xué)生去尋求數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

參考文獻：

[1] 張鶴.數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯.http：//www.sohu.com/a/77727978_387173？qq-pf-to=pcqq.c2c.

[2] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3] 鄭毓信.“優(yōu)化問題”與“優(yōu)化思想” [J].教學(xué)月刊小學(xué)版，2013（7-8）：4-6.