王金隆 張紅

摘要：新課程改革后，中學(xué)教材以及高考題均增加微積分、幾何這類(lèi)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，所以中學(xué)教師和中學(xué)生都應(yīng)該具備更高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。以高觀(guān)點(diǎn)的視角去分析初等數(shù)學(xué)中的問(wèn)題，是可以提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的途徑之一。本研究選擇中學(xué)典型的代數(shù)問(wèn)題，對(duì)比初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)視角下的解答，以此為基礎(chǔ)分析高觀(guān)點(diǎn)在初等數(shù)學(xué)解題中的簡(jiǎn)潔性和一般性，從而更好的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，并以此分析為基礎(chǔ)，分別對(duì)中學(xué)教師和中學(xué)生給出適當(dāng)?shù)慕ㄗh。

關(guān)鍵詞：高觀(guān)點(diǎn);代數(shù);解題方法;數(shù)學(xué)素養(yǎng);

1 研究背景

“高觀(guān)點(diǎn)”是指使用高等數(shù)學(xué)（包括經(jīng)典高等數(shù)學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)）的知識(shí)、方法以及思想來(lái)解決和分析初等數(shù)學(xué)中的問(wèn)題。共包含3個(gè)方面的內(nèi)容：現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想和方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透;高等數(shù)學(xué)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的具體指導(dǎo);中學(xué)數(shù)學(xué)某些難以處理的問(wèn)題在高等數(shù)學(xué)里的背景分析[1]。

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，為了在大學(xué)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)，高中階段的學(xué)生應(yīng)該具備更高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。新課程改革之后，中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和高考題中均增加了高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容和問(wèn)題，主要包括分析、幾何等內(nèi)容[2]。

通過(guò)相關(guān)文獻(xiàn)的查閱發(fā)現(xiàn)，有160余篇文章研究高等數(shù)學(xué)與中等數(shù)學(xué)的關(guān)系。這些文章可分為三類(lèi)：高等數(shù)學(xué)對(duì)于中等數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示;高等數(shù)學(xué)對(duì)于高考題的編制與解答的應(yīng)用;中等數(shù)學(xué)教學(xué)中高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用現(xiàn)狀。如：2014年周瑪莉、張勁松在《高觀(guān)點(diǎn)的數(shù)學(xué)思想對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示》[3]一文中，對(duì)某市的中小學(xué)教師進(jìn)行了相關(guān)問(wèn)卷調(diào)查，而后統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn)，93.06%的老師對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)幾乎沒(méi)有了解，很少關(guān)注高觀(guān)點(diǎn)下初等數(shù)學(xué)的老師占總共的80. 56%。2014年閆李錚、李三平的《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用現(xiàn)狀及原因淺析》一文[]，對(duì)深圳多所學(xué)校進(jìn)行了相關(guān)的問(wèn)卷調(diào)查，通過(guò)回收問(wèn)卷中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，對(duì)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容遺忘較多占61%，并且大部分教師在課堂中不會(huì)使用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)和思想，偶爾會(huì)在課堂中運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的教師不足10%。這表明了很多老師對(duì)于高等數(shù)學(xué)的遺忘較多，了解太少，在教學(xué)中很少涉及高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，所以對(duì)于高觀(guān)點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)的研究很有必要。

已有的高觀(guān)點(diǎn)解題的研究，大都是較為寬泛。為了提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，需要對(duì)高觀(guān)點(diǎn)下的解題進(jìn)行詳細(xì)的研究。本研究選擇中學(xué)代數(shù)的典型試題，對(duì)初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的解題方法進(jìn)行比較，以此分析高觀(guān)點(diǎn)給初等數(shù)學(xué)解題帶來(lái)的簡(jiǎn)潔性和一般性，從而更好的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。

2 研究實(shí)例

2.1 數(shù)學(xué)分析對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)試題的作用

例題1：求實(shí)數(shù)x，y的值，使得（y-1）2+（x+y一3）2+（2x+y-6）2的最小值[5]

分析：對(duì)于中學(xué)生，解決此題有兩個(gè)方向，一是配方，二是均值不等式;但是配方如果展開(kāi)所有項(xiàng)數(shù)，那么項(xiàng)數(shù)過(guò)多，難度太大;如果使用均值不等式，那么從何人手？在哪里使用均值不等式又是難點(diǎn)。但是如果有數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，這道題就比較容易解決。以下對(duì)初等數(shù)學(xué)的解法和高等數(shù)學(xué)的解法進(jìn)行展示和比較。

法1：因?yàn)檎归_(kāi)所有項(xiàng)數(shù)，難度過(guò)大，所以思考通過(guò)換元法簡(jiǎn)化計(jì)算

令x+y-3=a，則有2x+y-6=2a-y

故原式就可以變?yōu)镕（x，y）=（y—1）2+a2+（2a-y）2，則可將F（x，y）展開(kāi)，然后配方得：

法1是首先使用換元法，然后將多項(xiàng)式展開(kāi)，最后配方。為了簡(jiǎn)算而使用換元，這較為容易想到，但是即使簡(jiǎn)算之后，配方的過(guò)程仍然很難。例如怎么選擇項(xiàng)數(shù)，怎么增添項(xiàng)數(shù)，學(xué)生在解答時(shí)仍然較為困難。又通過(guò)觀(guān)察后發(fā)現(xiàn)，每個(gè)括號(hào)都有平方，故就將所有括號(hào)項(xiàng)都進(jìn)行換元，由此產(chǎn)生第二種方法。

法2是通過(guò)法1得出，雖然與法1相比，簡(jiǎn)化了計(jì)算，但是如何分配a，b，c的值，這太過(guò)特殊，并不具有推廣性。這就意味著變換某個(gè)數(shù)據(jù)，這個(gè)方法中a，b，c的值需要重新分配，也就意味著即使是原題型，難度依然不會(huì)減少。如果配方難度太大，可否采用均值不等式？這也就產(chǎn)生了第三種方法。

法3使用了均值不等式，在什么位置構(gòu)造均值不等式，怎么構(gòu)造是這一解法的難點(diǎn)。并且這種解法可推廣性也不高，只適用于部分題目。

前三種解法可以歸類(lèi)為配方和均值不等式法，均為初等代數(shù)的方法，而這三種解法難度較大。如果學(xué)生具有高觀(guān)點(diǎn)的視野，例如數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，這種題目就較為簡(jiǎn)單。

法4使用了柯西不等式，方向非常明確，思路很清晰。與前三種初等代數(shù)的解法相比較，這種解法要簡(jiǎn)單、清晰許多，并且這個(gè)可推廣性也較大，前三種解法的構(gòu)造較難，學(xué)生比較難聯(lián)想到，需要大量的練習(xí)和積累。而解法4，只需要學(xué)生掌握柯西不等式的基礎(chǔ)，就能夠很快的解答，并且推廣性也較高，這就是高觀(guān)點(diǎn)的優(yōu)越性。

法5對(duì)原式分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)，得到一個(gè)微分方程，通過(guò)微分方程確定x，y的值。方向非常明確，思路很清晰，并且可推廣性也較大。

綜上所述，法1、法2、法3這三種屬于初等代數(shù)的方法，難點(diǎn)在于怎么構(gòu)造配方，怎么構(gòu)造均值不等式，這些構(gòu)造的方法都需要學(xué)生日積月累的練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)才有可能聯(lián)想到，所以對(duì)于中學(xué)學(xué)生來(lái)說(shuō)，難度較大。后兩種方法的思路非常清晰，更具有一般性。與前三種方法相比較而言，如果有了高觀(guān)點(diǎn)知識(shí)的視野，那么解答這種題就要簡(jiǎn)單許多，由此可以看出數(shù)學(xué)分析知識(shí)給中學(xué)數(shù)學(xué)試題解題帶來(lái)的便利性和簡(jiǎn)潔性。

分析：這種方法是初等代數(shù)的方法，首先設(shè)出兩個(gè)多項(xiàng)式，最后通過(guò)等式的性質(zhì)，公式法，因式分解，求出兩個(gè)多項(xiàng)式分別是什么？這個(gè)方法的難點(diǎn)在于公式的變形，這需要學(xué)生具備很強(qiáng)的數(shù)學(xué)功底，以及日積月累的練習(xí)，才能掌握。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，尋找這些思想的方向較難，故造成了初等代數(shù)方法過(guò)程簡(jiǎn)單，但是思維很難。這也是這種方法推廣性不強(qiáng)的原因之一。

法2為高等代數(shù)中多項(xiàng)式的應(yīng)用，通過(guò)次數(shù)和首一多項(xiàng)式設(shè)出兩個(gè)多項(xiàng)式的形式，然后展開(kāi)，通過(guò)與原多項(xiàng)式系數(shù)的比較，確定出答案。這種方法思路很清晰，只要學(xué)生具備多項(xiàng)式次數(shù)和首一多項(xiàng)式的概念，基本就能解答。與初等代數(shù)的方法相比較，可推廣性大大增加，并且有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

對(duì)比高等代數(shù)與初等代數(shù)證明的方法，可以看出初等代數(shù)方法中的難點(diǎn)在于把握公式，對(duì)于公式的變形，構(gòu)造等式都需要一定量的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，需要學(xué)生日積月累的大量練習(xí)這種題，可能才會(huì)解答。因?yàn)槌醯却鷶?shù)中的解法較為特殊，構(gòu)造比較特殊，并不具有一般性。而高等代數(shù)的方法更嚴(yán)謹(jǐn)，并且方法具有一般性，如果學(xué)生儲(chǔ)備這些知識(shí)，解答中學(xué)代數(shù)試題就會(huì)感到比較容易。

3 研究啟示

通過(guò)分別以高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)進(jìn)行解答的比較，可以看到高等數(shù)學(xué)的方法明顯優(yōu)于初等代數(shù)的方法。高等數(shù)學(xué)的方法思路清晰，步驟簡(jiǎn)單明了，可推廣性強(qiáng)，具有一般性。從高觀(guān)點(diǎn)分析初等數(shù)學(xué)，對(duì)學(xué)生和教師有以下兩點(diǎn)幫助：

（1）提高數(shù)學(xué)教師與學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)知

教師只有清楚的了解高等數(shù)學(xué)之后，再研究初等數(shù)學(xué)，才能更深刻的把握初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)。學(xué)生只有了解高等數(shù)學(xué)的一定知識(shí)之后，才能把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。例如數(shù)學(xué)分析中極限的思想、辯證的觀(guān)點(diǎn)，都有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（2）提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力

初等數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題，如果僅僅采用初等數(shù)學(xué)的方法，解答起來(lái)難度較大。因?yàn)樵S多公式的應(yīng)用，公式的變形，等式的構(gòu)造等等，都需要學(xué)生具有許多的題量?jī)?chǔ)備，經(jīng)過(guò)大量的聯(lián)系才能解答。但是如果放在高觀(guān)點(diǎn)的背景之下，那么這些問(wèn)題解答較為容易。并且這種方法的可推廣性也較大。

故由此提出兩點(diǎn)建議：

（1）提高中學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

隨著新課程改革的推進(jìn)，微積分等高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容也下放至中學(xué)的教材中，數(shù)學(xué)教師面臨這一挑戰(zhàn)，更需要更新自己的認(rèn)知，研究高觀(guān)點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)，提高教師的專(zhuān)業(yè)水準(zhǔn)，拓展教師的視野。中學(xué)數(shù)學(xué)教師在授課中，對(duì)于數(shù)學(xué)的本質(zhì)有所欠缺，對(duì)于學(xué)生解題能力的訓(xùn)練重心有所偏移。應(yīng)該提高中學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)于高等數(shù)學(xué)的認(rèn)知水平，加強(qiáng)教師對(duì)于高等數(shù)學(xué)知識(shí)的又一次學(xué)習(xí)。這樣才能有助于在授課中把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

（2）促進(jìn)學(xué)生積極主動(dòng)了解高等數(shù)學(xué)知識(shí)

學(xué)生的解題能力并不是要通過(guò)題海戰(zhàn)術(shù)完成，而是通過(guò)了解更多、更深層次的數(shù)學(xué)知識(shí)。如果學(xué)生具備一定的高觀(guān)點(diǎn)下的數(shù)學(xué)視野，那么對(duì)于解答初等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)試題有所幫助。所以通過(guò)促進(jìn)學(xué)生了解高等數(shù)學(xué)的知識(shí)來(lái)提高學(xué)生的解題能力是最有效的辦法。

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