摘要：受教科書(shū)上關(guān)于“方程”定義的影響，很多教師在教學(xué)“方程的意義”一課中讓學(xué)生理解方程時(shí)往往不夠全面。教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合求解未知數(shù)的過(guò)程，讓學(xué)生了解方程概念的本質(zhì)?？蓮慕炭茣?shū)上的定義出發(fā)，融入游戲精神，智性重構(gòu)課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)生在與算術(shù)方法的比較中，重歷小學(xué)一到四年級(jí)方程的學(xué)習(xí)過(guò)程，從而感悟方程的本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：方程;本質(zhì);過(guò)程;游戲精神;智性;課堂

“方程的意義”的教學(xué)內(nèi)容，人教版教科書(shū)和蘇教版教科書(shū)分別安排在五年級(jí)上學(xué)期和五年級(jí)下學(xué)期，這是基于學(xué)生已有“含有字母的式子”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)而定的。關(guān)于方程，教科書(shū)的定義是這樣的：“含有未知數(shù)的等式叫做方程。”教學(xué)中，教師通常會(huì)抓住“未知數(shù)”和“等式”這兩個(gè)詞語(yǔ)，引導(dǎo)學(xué)生去理解方程。事實(shí)上，這樣的定義是從英文equation翻譯過(guò)來(lái)的，equation的本意是“等式”。而在我國(guó)，“方程”一詞早在《九章算術(shù)》中就出現(xiàn)了?！胺健笔侵附忸}時(shí)把算籌擺得方方正正，“程” 是指程式，連起來(lái)就是把算籌擺得方方正正，用程式化的方法求出未知數(shù)的值。

英文表述重在形式上建立相等關(guān)系，我國(guó)古代重在求解未知數(shù)的過(guò)程，只有兩方面相結(jié)合才是方程概念的本質(zhì)所在?？梢?jiàn)，教科書(shū)上的定義具有明顯的不足，一是容易和字母公式及函數(shù)相混淆，字母公式和函數(shù)也是含有未知數(shù)的等式;二是沒(méi)有凸顯求未知數(shù)這一特征，導(dǎo)致出現(xiàn)諸如x=5、76-35=x等究竟是不是方程的困惑。據(jù)此，有專家從方程的本質(zhì)出發(fā)，提出了“方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立的等式關(guān)系”。

我們從教科書(shū)上的定義出發(fā)，融入數(shù)學(xué)游戲精神，智性重構(gòu)課堂教學(xué)，引導(dǎo)在于“把未知數(shù)用字母來(lái)表示，再把字母當(dāng)作已知數(shù)參與列式，這種含有未知數(shù)的等式就叫做方程”，從而使學(xué)生在愉悅的數(shù)學(xué)情境、深入的數(shù)學(xué)思考中思維能力得到不斷地提升。

一、先學(xué)交流，初識(shí)方程之形

師：出示先學(xué)單。

師：課前，同學(xué)們已經(jīng)圍繞先學(xué)單上問(wèn)題進(jìn)行了先學(xué)，接下來(lái)，請(qǐng)以小組為單位，交流先學(xué)單上的4個(gè)問(wèn)題。

（小組交流）

師：為了檢查大家學(xué)習(xí)的效果，我們直接進(jìn)入第4題。誰(shuí)愿意到黑板上寫(xiě)一道方程？

（學(xué)生上黑板板書(shū)：x-50=100）

師：想聽(tīng)聽(tīng)大家想法嗎？問(wèn)問(wèn)大家，你寫(xiě)的是不是方程？

生：我寫(xiě)的是方程嗎？為什么？

生：你寫(xiě)的是方程，因?yàn)檫@個(gè)式子是含有未知數(shù)的等式。

師：剛才那位同學(xué)的話，其實(shí)已經(jīng)回答了先學(xué)單上的哪一個(gè)問(wèn)題？

生：什么是方程？

師：對(duì)，我們把這句話記下來(lái)。（板書(shū)：含有未知數(shù)的等式）

師：關(guān)于這句話，什么問(wèn)題要問(wèn)的嗎？

生：什么是未知數(shù)？（板書(shū)：未知數(shù)）

生：就是不知道的數(shù)，比如說(shuō)老師的年齡我不知道，所以是個(gè)未知數(shù)。

師：這個(gè)世界上的未知數(shù)太多了，跟未知數(shù)相對(duì)的應(yīng)該還有一個(gè)。

生（異口同聲）：已知數(shù)。（板書(shū)：已知數(shù)）

師：誰(shuí)也來(lái)舉個(gè)例子。

生：我們班有45名同學(xué)，45就是一個(gè)已知數(shù)。

師：真棒，如果老師告訴你，老師今年40歲，那老師的年齡還是一個(gè)未知數(shù)嗎？

生：不是了，是一個(gè)已知數(shù)。

師：看來(lái)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間，是可以建立一種關(guān)系的。在已有板書(shū)“已知數(shù)”和“未知數(shù)”之間可以畫(huà)上“——”。

師：還能提出什么問(wèn)題？

生：什么是等式？

生：就是用等號(hào)連起來(lái)的式子，比如50+50=

100。

師：你們覺(jué)得，跟等式相對(duì)的還會(huì)有什么式子？請(qǐng)舉個(gè)例子。

生：不等式，比如50+x>100，50+40<100。

師：看來(lái)，要滿足是方程的話，必須符合幾個(gè)條件？

生：兩個(gè)條件，首先要是等式，還必須要含有未知數(shù)。

學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)含有字母的式子，而且通過(guò)許多途徑早就知道了方程這一常見(jiàn)的數(shù)學(xué)述語(yǔ)，教科書(shū)上的例題自學(xué)也不難，因此，教學(xué)中沒(méi)有必要遮遮掩掩。讓學(xué)生在先學(xué)中初步感知方程，并在小組交流、全班分享中，在比較中明確未知數(shù)和已知數(shù)、等式和不等式的概念，有利于加深對(duì)方程概念的認(rèn)識(shí)。從學(xué)生的反饋中可以看出，學(xué)生對(duì)于方程只是浮于表面的理解，所舉的例子也是教科書(shū)例子的翻版，因此，有必要在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生更為深入地理解方程本質(zhì)。

二、經(jīng)歷過(guò)程，深化方程內(nèi)涵

（一）算術(shù)列式，體會(huì)倒推解題方法

師：其實(shí)，從一年級(jí)起，方程就一直伴隨著我們。老師找了幾道1到4年級(jí)學(xué)過(guò)的題目，我們先用原來(lái)的方法很快地完成。

屏幕出示圖1：

（學(xué)生獨(dú)立完成，小組交流后，指名上黑板板書(shū)。）

生（板書(shū)）：（1）100-40=60（克）;

（2）20÷4=5（克）;

（3）（800-300）÷5=100（毫升）;

（4）（124+10）÷2-4=63（元）;（124+10-4）÷2=65（元）。

（二）比較擇優(yōu)，感悟方程核心價(jià)值

1.加法方程

師：先請(qǐng)做一年級(jí)題目的同學(xué)說(shuō)說(shuō)，你是怎么想的？

生：我是用鋼筆和鉛筆一共的克數(shù)100，減去一塊橡皮的克數(shù)40，就得到一支鋼筆的克數(shù)，列式是100-40=60（克）。

師：他不僅說(shuō)出了怎么算，還說(shuō)出了算理。如果一年級(jí)的一個(gè)小朋友，不會(huì)這樣列式，他就順著題目說(shuō)的順序列式。（板書(shū)： ?+ 40 =100）

師：他想到60跟40合起來(lái)是100，就寫(xiě)成了60+40=100，這樣列式可以嗎？

生：不可以，搞不清楚到底哪個(gè)數(shù)才是算出來(lái)的結(jié)果。

師：誰(shuí)能幫幫他？（根據(jù)學(xué)生回答，相機(jī)板書(shū)：橡皮、？、□、△……）

師：真了不起，想到了這么多符號(hào)表示未知數(shù)。不過(guò)，符號(hào)太多就亂套了，于是，數(shù)學(xué)家們想到了統(tǒng)一用字母x、y、z來(lái)表示未知數(shù)。在這里，我們就用x來(lái)表示，好嗎？（擦去其他符號(hào)，只留下x）

師：咦，這個(gè)方法不就是方程嗎？如果橡皮的重量也不知道，你還會(huì)列方程嗎？

生：x+y=100。

師：為什么不寫(xiě)成x+x=100呢？

生：因?yàn)殇摴P和橡皮不一樣，所以要用不同的字母表示。

2.乘法方程

師：請(qǐng)做二年級(jí)題目的同學(xué)說(shuō)說(shuō)他的想法。

生：4個(gè)U盤(pán)重20克，所以用20÷4=5（克）求出一個(gè)U盤(pán)的重量。

師：如果另一位二年級(jí)的同學(xué)還是不會(huì)倒著想，你覺(jué)得他會(huì)怎么列式？

生： 4x=20。

生：x+x+x+x=20。

師：這兩種你們更喜歡哪一種？

生：第一種，因?yàn)榈谝环N更加簡(jiǎn)潔。

生：我寫(xiě)的是20=4x，這樣可以嗎？

生：我覺(jué)得這也是可以的，而且這是順著題目意思寫(xiě)的最省力的式子了。

3.兩步方程

師：輪到做三年級(jí)題目的同學(xué)了。

生：我是這么想的，用800毫升減去一個(gè)大杯倒去的300毫升，剩下的毫升數(shù)除以5就得到每個(gè)小杯的毫升數(shù)了，列式是（800-300）÷5=100（毫升）。

師：思路很清晰。假如你是另一位同學(xué)，你會(huì)怎么列方程？

生：根據(jù)5個(gè)小杯和1個(gè)大杯一共裝800毫升果汁，列出方程5x+300=800。

生：我列的跟你不一樣，800-5x=300。

生：還可以列出800-300=5x。

師：同一個(gè)情境，列出了不同的方程，掌聲送給這三位同學(xué)。老師有兩個(gè)問(wèn)題，一是這里沒(méi)有天平，你們?cè)趺催€能列方程？

生：從下面的大括號(hào)上可以看出，小杯容量和大杯容量合起來(lái)是800毫升，它們之間是相等關(guān)系，所以能列成方程。

師：說(shuō)得很到位！可見(jiàn)，列方程最關(guān)鍵的是找什么？

生：關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，“正好”兩個(gè)字也說(shuō)明它們之間是相等的。

師：很好！第二個(gè)問(wèn)題是，能不能把方程列成x+300=800？

生：不可以，5個(gè)小杯的容量要用5個(gè)x，而1個(gè)x只能表示1個(gè)小杯的容量。

生：可以的，用x表示全部小杯的容量，它和大杯的300毫升合起來(lái)就是800毫升。

生：x+300=800一會(huì)兒錯(cuò)，一會(huì)兒又對(duì)，這個(gè)x是不是很亂呀？

師：那怎么做才能讓其他人一看就明白你這個(gè)x表示的是什么？

生：列方程前要先寫(xiě)說(shuō)清楚x表示的是什么就不亂了。

4.稍復(fù)雜方程

師：一起看四年級(jí)的題目，同一道題怎么出現(xiàn)兩個(gè)不同答案了？到底哪一種是正確的呢？

生：（124+10-4）÷2=65（元）是對(duì)的。

師：這里的條件比較多，要一步一步倒著想，的確是有點(diǎn)難度的。我看到還有好幾位都不知道從哪里入手。我們?cè)僭囋囉昧硪晃煌瑢W(xué)的方法列式，看看行不行？

生：把一張兒童票的價(jià)格看作x元，兒童票價(jià)格的2倍多4元用2x+4表示，一張成人票的價(jià)格124再加10元用124+10表示，列式是2x+4=124+10。

師：現(xiàn)在，我們?cè)侔言瓉?lái)學(xué)的方法和方程比一比，你有什么想說(shuō)的？

生：當(dāng)數(shù)量關(guān)系比較多時(shí)，用方程列式比較簡(jiǎn)單。

布魯納認(rèn)為，學(xué)習(xí)一門(mén)學(xué)科，就是掌握這門(mén)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)本身就是結(jié)構(gòu)性很強(qiáng)的學(xué)科，通過(guò)創(chuàng)設(shè)豐富的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生置身于解決四個(gè)不同年級(jí)具體問(wèn)題的過(guò)程中，在代數(shù)思維與算術(shù)思維的大碰撞中，學(xué)生原有的思維方式不斷受到挑戰(zhàn)。漸漸地，學(xué)生感悟到：原來(lái)，未知數(shù)也可以看作已知數(shù)參與到列式中來(lái)，兩者可以平等地參與運(yùn)算;在比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)情境中，有時(shí)方程思想因?yàn)槭琼樦耄炊人阈g(shù)方法更為簡(jiǎn)單。在四次對(duì)比建構(gòu)、在變與不變、未知與已知、倒推與順著想之間，原有的思維定式被打破，方程的思想悄悄融入了學(xué)生的思維。

三、歸納提煉，把握建模本質(zhì)

（一）比較歸納，提煉特征

師：學(xué)到這里，我們不妨回過(guò)頭來(lái)理一理，剛才我們都是怎么發(fā)現(xiàn)方程的？

生：先把題目里的未知數(shù)用字母表示，看作已知數(shù)，再順著題目的意思找出等量關(guān)系，最后根據(jù)等量關(guān)系列出方程。（板書(shū)：等量）

師：說(shuō)得多好呀，掌聲送給他。以四年級(jí)的題目為例，說(shuō)說(shuō)相比于以前的算術(shù)方法，方程有什么好處？

生：對(duì)那些原來(lái)倒著想的題目，學(xué)會(huì)了方程后，只要順著想就行，列式不用多想，簡(jiǎn)單又不容易錯(cuò)。

師：列方程的目的是什么呀？

生：是為了求出這個(gè)未知數(shù)到底是多少。（板書(shū)：為了尋求未知數(shù)）

（二）深化模型，拓展提升

屏幕依次出示圖2中的三個(gè)題目：

學(xué)生口答，均列出方程4x=240。

師：三個(gè)問(wèn)題各不相同，卻列出了相同的方程，這是為什么呢？

生：它們的等量關(guān)系是一樣的。

師：其實(shí)，這三道題我們可以用同一個(gè)線段圖表示。

出示線段圖（如圖3）：

師：日常生活中，還有哪些情況也可以用4x=240這個(gè)方程表示。

通過(guò)比較歸納，引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握方程的本質(zhì)——方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立的等式關(guān)系，從而幫助學(xué)生深刻把握方程的核心價(jià)值，突出方程是對(duì)周圍事物間同一種等量關(guān)系的概括，凸顯方程的建模本質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

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[2]劉愛(ài)東.基于小學(xué)數(shù)學(xué)教材的智性學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)策略[J].遼寧教育，2014（3）.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）