林麗娜

摘要：使用“高中數(shù)學(xué)研究型教學(xué)”的ADE設(shè)計模型和“五環(huán)十步”教學(xué)模式指導(dǎo)“計數(shù)原理”的教學(xué)設(shè)計。前期分析準(zhǔn)備包括知識產(chǎn)生的背景與固著點、知識生長的過程與階段、知識建構(gòu)的策略與方法、知識間的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)、知識的要點與本質(zhì)、知識的學(xué)科意義與教學(xué)價值等學(xué)習(xí)內(nèi)容的分析，以及學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)、學(xué)生認(rèn)知障礙及克服措施等學(xué)生認(rèn)知的分析。教學(xué)過程包括“呈現(xiàn)背景，提出問題”“聯(lián)想激活，尋求方法”“提出猜想，驗證猜想”“運用鞏固，內(nèi)化遷移”“回顧反思，拓展問題”等環(huán)節(jié)。

關(guān)鍵詞：研究型教學(xué)ADE設(shè)計模型“五環(huán)十步”教學(xué)模式計數(shù)原理

李昌官老師提出的“高中數(shù)學(xué)研究型教學(xué)”，讓學(xué)生親歷知識發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)的過程，有助于學(xué)生更好地學(xué)會“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”。其ADE設(shè)計模型與“五環(huán)十步”教學(xué)模式，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計提供了基本的思維框架。筆者使用它們指導(dǎo)了“計數(shù)原理”的教學(xué)設(shè)計，從實際情境入手，提出核心問題，指明研究方向;再通過學(xué)生已有的計數(shù)經(jīng)驗，尋求原理建構(gòu)的方法;然后，順勢創(chuàng)設(shè)一些簡單的計數(shù)情境，開啟原理建構(gòu)之旅。具體的教學(xué)設(shè)計如下：

一、前期分析準(zhǔn)備

（一）學(xué)習(xí)內(nèi)容分析

1.知識產(chǎn)生的背景與固著點分析。

數(shù)是數(shù)學(xué)的核心，數(shù)源于數(shù)（shǔ）。生產(chǎn)生活中，經(jīng)常會遇到大量繁雜的計數(shù)問題，并且，這些計數(shù)問題背后蘊藏著特定的規(guī)律。我們需要發(fā)現(xiàn)這些計數(shù)原理，并且運用它們簡化計數(shù)問題。學(xué)生已經(jīng)有數(shù)數(shù)和分類計數(shù)的生活經(jīng)驗，這些經(jīng)驗是計數(shù)原理產(chǎn)生的固著點。

2.知識生長的過程與階段分析。

計數(shù)原理的形成歷經(jīng)了以下幾個階段：一是認(rèn)識到生活中存在大量的計數(shù)問題，這些計數(shù)問題既繁雜又蘊含某種可簡化計數(shù)的規(guī)律;二是從已有的計數(shù)經(jīng)驗和生活實例中歸納、抽象出一般性的計數(shù)原理;三是理解計數(shù)原理的核心是“分類”與“分步”;四是運用計數(shù)原理解決一些簡單的計數(shù)問題。

3.知識建構(gòu)的策略與方法分析。

計數(shù)原理是對生活實際中的相關(guān)現(xiàn)象進(jìn)行分析、抽象并數(shù)學(xué)化的結(jié)果，它的主要建構(gòu)策略與方法有四個：一是分解與轉(zhuǎn)化，即將一個復(fù)雜的問題分解、轉(zhuǎn)化為多個簡單的問題;二是從特殊到一般，即從大量特殊的計數(shù)事實、經(jīng)驗與方法中抽象出一般性的計數(shù)原理;三是類比，即類比數(shù)的加法和乘法;四是分類、分步討論，這是把復(fù)雜問題分解、轉(zhuǎn)化為簡單問題的具體策略與方法。

4.知識間的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)分析。

計數(shù)原理是加法運算、乘法運算的延伸與推廣，是生活中分類、分步背后所蘊含的數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)刻畫。它與向量基本定理有異曲同工之處：都是通過分解、轉(zhuǎn)化解決問題;都是把復(fù)雜的事情分解、轉(zhuǎn)化為簡單的事情后，先把簡單的事情搞清楚，再解決復(fù)雜的問題。同時，計數(shù)原理是排列、組合、二項式定理等知識的基礎(chǔ)。

5.知識的要點與本質(zhì)分析。

計數(shù)原理的實質(zhì)是通過分類、分步來達(dá)到以簡馭繁的目的。其中分類、分步既是分解、轉(zhuǎn)化的具體策略與方法，也是具有根本性、一般性的思考和解決問題的策略與方法。分類的關(guān)鍵是依據(jù)清楚、不重不漏;分步的關(guān)鍵是步驟清楚、相互獨立、相互銜接、有效完成一件事。

6.知識的學(xué)科意義與教學(xué)價值分析。

組合數(shù)學(xué)不僅在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中具有極其重要的作用，而且奠定了計算機革命的基礎(chǔ)，而計數(shù)原理是組合數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一。分類、分步思想不僅是解決計數(shù)問題的基本思想和方法，也是解決很多其他問題的基本思想和方法。計數(shù)原理的建構(gòu)過程是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)研究能力的良好載體。

（二）學(xué)生認(rèn)知分析

1.學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)分析。

學(xué)生已經(jīng)有對簡單問題的計數(shù)經(jīng)驗和能力，熟練掌握加法和乘法運算，也會用列舉法和樹狀圖解決一些簡單的計數(shù)問題。

2.學(xué)生認(rèn)知障礙及克服措施分析。

學(xué)生的一個認(rèn)知障礙是計數(shù)原理的抽象過程，原因是不熟悉數(shù)學(xué)抽象的基本步驟和原則。對此，可以通過提問、追問等方式將抽象的過程逐步分解：第一步，思考如何分析計數(shù)問題的實例;第二步，小組合作討論這類計數(shù)問題存在怎樣的共同特征;第三步，思考如何去除這些問題的物理屬性;第四步，運用數(shù)學(xué)語言表示。

學(xué)生的另一個認(rèn)知障礙是對運用計數(shù)原理解決問題的本質(zhì)理解。運用計數(shù)原理解決計數(shù)問題的關(guān)鍵在于“如何完成一件事”，而“如何完成這件事”的本質(zhì)就是搞清楚“元素、位置、放置規(guī)則”。故而，可以在大量實例分析的過程中，有意識地利用框圖解決問題。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計

1.認(rèn)識計數(shù)原理建構(gòu)的背景與必要性，理解計數(shù)原理是刻畫事物數(shù)量的數(shù)學(xué)模型。

2.通過對實際問題的分析，經(jīng)歷把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體會其中蘊含的從特殊到一般、以簡馭繁、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。

3.通過計數(shù)原理在計數(shù)問題中的應(yīng)用，深入理解計數(shù)原理的本質(zhì)。

三、教學(xué)過程設(shè)計

（一）呈現(xiàn)背景，提出問題

背景1截至目前，臺州市城鄉(xiāng)機動車總數(shù)已超過170萬輛，今年平均每天新增300輛，成為近幾年來我市新增機動車數(shù)量最多的一年。臺州市機動車牌照形式為“浙J·”，其中“浙J”為地區(qū)代碼。如果現(xiàn)在要求“”為大寫英文字母T或Z，“□”為阿拉伯?dāng)?shù)字0～9之一，請想一想：按此方式編排，最多有多少個不同的牌照？

背景2核糖核酸（RNA）分子由堿基按一定的順序排列而成。已知堿基有4種，由成百上千個堿基組成的RNA分子的種數(shù)非常巨大。你知道它是怎么算出來的嗎？

背景3（a+b）（a+b）…（a+b）n個展開式有多少項？

核心問題能否找出具有一般性、規(guī)律性的計數(shù)原理，用于解決計數(shù)問題？

[設(shè)計說明：背景1—3分別從生活實際、其他學(xué)科和數(shù)學(xué)內(nèi)部問題三個角度呈現(xiàn)計數(shù)問題，一是將本單元要研究的問題整體呈現(xiàn)，使學(xué)習(xí)內(nèi)容具有系統(tǒng)性，發(fā)揮單元起始課的作用;二是說明計數(shù)問題大量存在于生活實際以及各學(xué)科領(lǐng)域;三是說明大量計數(shù)問題的結(jié)果已經(jīng)不適合通過“一個一個地數(shù)”得到了。從而使學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)、研究計數(shù)原理的必要性，提出本節(jié)課學(xué)習(xí)的核心問題。]

（二）聯(lián)想激活，尋求方法

史料1上古結(jié)繩而計。

史料2古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派倡導(dǎo)“數(shù)而計之”。

[設(shè)計說明：讓學(xué)生體會計數(shù)問題和方法的研究由來已久，感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，初步體會計數(shù)思想。]

問題1大家回顧一下數(shù)數(shù)的過程，可以怎么數(shù)？存在什么數(shù)學(xué)模型？

[設(shè)計說明：不自覺、感性的計數(shù)是學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，是學(xué)生研究計數(shù)原理的出發(fā)點。這里，引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)數(shù)的過程，總結(jié)得出：（1）數(shù)數(shù)可以一個一個地數(shù)，也可以分類來數(shù)，分類可以簡化數(shù)數(shù)過程;（2）加法是事物數(shù)量增加的數(shù)學(xué)模型。由此，為計數(shù)原理的構(gòu)建奠定基礎(chǔ)。]

問題2上述復(fù)雜的計數(shù)問題是否也能建立一個數(shù)學(xué)計數(shù)的模型來解決呢？如何建立計數(shù)模型？

[設(shè)計說明：探索類似問題中存在的普遍規(guī)律是人類提高效率的有效手段。這里，引導(dǎo)學(xué)生類比數(shù)數(shù)中的數(shù)學(xué)模型，將復(fù)雜的問題退到最簡單的問題上探究規(guī)律，建立模型。一方面，讓學(xué)生從中學(xué)會研究問題的基本步驟和方法，另一方面，也給學(xué)生接下來的研究指明方向。]

（三）提出猜想，驗證猜想

情境嘗試完成下列計數(shù)問題，并從數(shù)學(xué)的角度對這些問題進(jìn)行分類，說明分類的依據(jù)。

（1）一件工作可以用2種方法完成，有2人只會用第一種方法完成，另有3人只會用第二種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同的選法有幾種？

（2）從A城去B城有3趟飛機，從B城到C城有2趟汽車，從A城經(jīng)B城去C城，不同的出行方式有幾種？

（3）用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？

（4）填報高考志愿時，一名高中畢業(yè)生了解到A、B兩所大學(xué)各有一些自己喜歡的專業(yè)，如表1所示。如果這名同學(xué)只能學(xué)一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇？

（5）用前6個大寫英文字母和1—9九個阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…，B9……F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)9的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？

（6）某班有男生30名、女生24名，現(xiàn)要從中選出男生、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？

問題3從“什么問題”“如何解決”“結(jié)果怎樣”三個方面對上述計數(shù)問題（1）（3）（4）進(jìn)行觀察分析，并指出它們的共同特征，抽象概括出一般結(jié)論。

（1）（3）（4）一般結(jié)論完成一件工作編座位號填報志愿完成一件事情2種方法。

第一種方法有2人，

第二種方法有3人英文字母或阿拉伯?dāng)?shù)字。

英文字母有26個，阿拉伯?dāng)?shù)字有10個A大學(xué)或B大學(xué)。

A大學(xué)有5個專業(yè)，B大學(xué)有4個專業(yè)2類方案。

第1類方案有m種方法，第2類方案有n種方法2+326+105+4m+n變式1在上述計數(shù)問題（4）中，將表1改為表3，這名同學(xué)共有多少種選擇？

A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)哲學(xué)化學(xué)會計學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)教育學(xué)物理學(xué)法學(xué)—工程學(xué)——變式2在上述問題中，將“教育學(xué)”改為“法學(xué)”，選擇種數(shù)還一樣嗎？

[設(shè)計說明：通過問題變式，加強對分類加法計數(shù)原理的理解，一方面推廣分類加法計數(shù)原理，另一方面說明分類中要注意“每一種方法”不重復(fù)。]

問題4能推廣到一般的情況嗎？

[設(shè)計說明：學(xué)生之前有過多次推廣的經(jīng)驗，如從平面向量到空間向量。所以，分類加法計數(shù)原理從2類推廣到n類對于學(xué)生來說沒有太大障礙。但是，推廣的結(jié)論是否成立，是需要驗證的，因此，先鋪墊3類的情況，再通過歸納推理得出n類的結(jié)論。]

問題5類比分類加法計數(shù)原理的得出過程，請嘗試概括上述計數(shù)問題（2）（5）（6）的一般結(jié)論。

[設(shè)計說明：教是為了不教。這里，類比分類加法計數(shù)原理得出的過程，讓學(xué)生自主建構(gòu)分步乘法計數(shù)原理，經(jīng)歷抽象建模的過程，進(jìn)一步落實數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。]

問題6兩個計數(shù)原理有何聯(lián)系和區(qū)別？

[設(shè)計說明：讓學(xué)生辨析兩個計數(shù)原理的聯(lián)系和區(qū)別，進(jìn)一步理解兩個計數(shù)原理的本質(zhì)，為應(yīng)用計數(shù)原理解決計數(shù)問題做鋪墊。]

（四）運用鞏固，內(nèi)化遷移

問題7思考解決背景1中的計數(shù)問題。

[設(shè)計說明：首尾呼應(yīng)，運用構(gòu)建的計數(shù)原理，解決最初提出的計數(shù)問題，體現(xiàn)了從特殊到一般，再從一般到特殊的思想，即從特殊的問題出發(fā)，抽象構(gòu)建一般的計數(shù)模型——兩個計數(shù)原理，再應(yīng)用計數(shù)原理，解決特殊的問題。此外，解決這個問題時，可以利用框圖加強學(xué)生對“元素、位置、放置規(guī)則”的理解，即對運用計數(shù)原理解決問題的本質(zhì)理解。]

問題8通過這些計數(shù)問題的解決，總結(jié)一下解決計數(shù)問題的一般步驟。最關(guān)鍵的是哪幾步？

[設(shè)計說明：通過討論、歸納，明確解決計數(shù)問題的一般步驟：第一步，思考完成一件什么事;第二步，思考如何完成這件事;第三步：思考是分類完成還是分步完成;第四步，思考運用哪個計數(shù)原理;第五步，進(jìn)行計算。明確最關(guān)鍵的幾步：搞清楚這是一件什么事，搞清楚這件事是怎樣通過分類、分步來完成的。由此，深化對計數(shù)原理的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。]

問題9書架第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書。

（1）設(shè)計一個用分類加法計數(shù)原理解決的問題;

（2）設(shè)計一個用分步乘法計數(shù)原理解決的問題;

（3）設(shè)計一個用兩個原理解決的問題。

[設(shè)計說明：讓學(xué)生編制題目，經(jīng)歷從解決問題到提出問題的過程，更能讓學(xué)生融會貫通地應(yīng)用兩個計數(shù)原理。]

（五）回顧反思，拓展問題

問題10為什么要構(gòu)建計數(shù)原理？怎么構(gòu)建計數(shù)原理？嘗試概括這節(jié)課的所學(xué)、所感。

問題11有規(guī)律的加法，我們可以用乘法表示。那么，有規(guī)律的乘法，我們是否能用另一種數(shù)學(xué)模型來表示呢？

[設(shè)計說明：回顧既是學(xué)習(xí)的終點，也是學(xué)習(xí)的起點;回顧的不只是知識，還有研究問題的思路、方法，讓學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)的眼光看世界”。]

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