葉春萍

【摘要】 ?幾何直觀是學(xué)生必備的幾何素養(yǎng)，是誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造能力的潛在因素。如何提高學(xué)生的幾何直觀水平，使與現(xiàn)有知覺(jué)水平一致，是目前數(shù)學(xué)學(xué)科教育亟待突破的瓶頸。“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都發(fā)揮著重要的作用?！?/p>

【關(guān)鍵詞】 ?幾何直觀 識(shí)圖能力 邏輯推理 題組變圖

【中圖分類(lèi)號(hào)】 ?G633.6 ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 ?A ? 【文章編號(hào)】 ?1992-7711（2019）09-073-02

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幾何直觀是學(xué)生必備的幾何素養(yǎng)，是誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造能力的潛在因素。如何提高學(xué)生的幾何直觀水平，使與現(xiàn)有知覺(jué)水平一致，是目前數(shù)學(xué)學(xué)科教育亟待突破的瓶頸?！皫缀沃庇^主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都發(fā)揮著重要的作用。”

幾何直觀與邏輯、推理是不可分的。幾何直觀是由邏輯支撐的能力，不僅是看到什么，而且是通過(guò)看到的圖形思考了什么，想象了什么，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的思考方式。幾何直觀會(huì)把看到的與以前學(xué)到的結(jié)合起來(lái)，通過(guò)思考、想象，猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路，這就是歸納推理。

巧妙的構(gòu)造可以建立已知與未知、條件與結(jié)論、數(shù)與形的體系，構(gòu)造圖形解決問(wèn)題體現(xiàn)的幾何直觀能力，這種能力是學(xué)生需要具備的重要能力之一，幾何直觀能力的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)初等數(shù)學(xué)教學(xué)中。教學(xué)實(shí)踐表明，有效培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力可以從以下幾個(gè)方面入手：

一、借助幾何圖形，培養(yǎng)識(shí)圖能力

圖形是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要載體，培養(yǎng)識(shí)圖能力是培養(yǎng)幾何直觀的基礎(chǔ)。在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握各種數(shù)學(xué)符號(hào)所表示的數(shù)量關(guān)系及含義，能敏銳地從圖形中獲取相關(guān)信息。培養(yǎng)識(shí)圖能力，有助于學(xué)生借助圖形提高分析解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

例1：學(xué)習(xí)一次函數(shù)y=kx+b，應(yīng)先弄懂k、b的意義。在實(shí)際問(wèn)題中k代表汽車(chē)一小時(shí)行駛k千米，蠟燭一分鐘燃燒k厘米，摩托車(chē)一小時(shí)耗油k升等等。初中學(xué)生受年齡特點(diǎn)與認(rèn)知水平的影響，可理解為：k指x增長(zhǎng)1時(shí)y的變化;b在實(shí)際問(wèn)題中指汽車(chē)原來(lái)距出發(fā)點(diǎn)b千米，蠟燭原長(zhǎng)bcm，油箱里原有汽油b升等等，抽象出來(lái)的意義可理解為：x為0時(shí)y的值，其對(duì)應(yīng)到圖象上的幾何意義如下：

k、b的值是能“看”得見(jiàn)的，如圖1：當(dāng)k<0時(shí)，直線從左向右走“下坡路”，得性質(zhì)：當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小;如圖2：當(dāng)k>0時(shí)，直線從左向右走“上坡路”，得性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大。如果學(xué)生只是機(jī)械記憶函數(shù)的性質(zhì)，不但容易混淆，而且還不利于應(yīng)用。在教學(xué)過(guò)程中，我們可充分利于函數(shù)圖象，幫助學(xué)生把熟知的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言融合為一體，把抽象的字母直觀化，從而有利于函數(shù)性質(zhì)的探索和掌握。

教學(xué)中，教師應(yīng)充分利用數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由數(shù)到形，由形到數(shù)的思考活動(dòng)，提高識(shí)圖能力，為培養(yǎng)幾何直觀能力打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、由幾何直觀趨向邏輯化

當(dāng)今數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決理論研究強(qiáng)調(diào)“信念系統(tǒng)”在問(wèn)題解決過(guò)程中的重大作用，即情感邏輯化作用。而積極的問(wèn)題情感來(lái)自于內(nèi)在動(dòng)機(jī)和美的直覺(jué)，直覺(jué)思維經(jīng)驗(yàn)與幾何直觀呈正相關(guān)，需要借助抽象的格式化的“形象”，在具體形象和概念抽象之間順應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)系，借助選擇組合重構(gòu)引發(fā)幾何直觀水平性“突變”，從而奠定無(wú)意識(shí)思維活動(dòng)背后的創(chuàng)造情感的潛能。數(shù)學(xué)家克萊茵認(rèn)為“數(shù)學(xué)的直觀就是對(duì)概念、證明的直接把握”。這里的“直接把握證明”就是幾何直觀突變作用具象的結(jié)果，這就要求問(wèn)題構(gòu)造必須具備“水平性”（橫向聯(lián)系）和“垂直性”（豎向拓遷）混搭特征，方能讓學(xué)生在順應(yīng)不確定的結(jié)構(gòu)關(guān)系中，產(chǎn)生直觀能力的躍進(jìn)。

例2：如圖3，每個(gè)圖形都是由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形按照某種規(guī)律排列組成的E型圖。

（2）在方格紙上按上述畫(huà)圖方式畫(huà)出第④個(gè)圖形、第⑤個(gè)圖形。

（3）第⑨個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

（4）按上述畫(huà)圖方式畫(huà)出E字圖形小正方形的個(gè)數(shù)是143個(gè)，應(yīng)是第幾個(gè)圖形？

（5）推測(cè)出第n個(gè)圖形中，小正方形的個(gè)數(shù)為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（含n的代數(shù)式表示）.

問(wèn)題（3）和（4），目的是落實(shí)“水平性聯(lián)系”的直觀要求，關(guān)乎逆向思考。這樣是讓學(xué)生觀察圖形向水平和豎直兩個(gè)方向的變化，進(jìn)而思考如何用數(shù)學(xué)式子表示規(guī)律，探索周長(zhǎng)規(guī)律旨在讓學(xué)生進(jìn)一步歸納總結(jié)。表格中既有小正方形數(shù)量關(guān)系（5n+3），也探得周長(zhǎng)關(guān)系（10n+8）

這能為復(fù)雜關(guān)系的符號(hào)化形成產(chǎn)生式系統(tǒng)。同時(shí)，為研究圖3中圖形排列規(guī)律：（（2n+1）2-1），讓學(xué)生在剪拼大正方形過(guò)程中提煉一般結(jié)論（8=32-1-1，15=42-1，24=52-1，…），降低了問(wèn)題抽象度。在由具體“看”“數(shù)”“算”“拼”的過(guò)程中提煉一般結(jié)論的行為，就是引動(dòng)幾何直觀突變作用的表現(xiàn)。而基于圖形排列“形象”提出問(wèn)題，則是審美情感發(fā)揮作用的邏輯性思維事件，“橫向成片、縱向成鏈”的問(wèn)題觀就是順應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)系的外在行為。

三、題組變圖提升思維

縱觀各地的中考試卷，以二次函數(shù)圖像為載體來(lái)探究滿(mǎn)足某種條件的特殊圖形（如等腰三角形，平行四邊形等）是否存在，是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)。解答時(shí)要挖掘特殊圖形的性質(zhì)，通過(guò)圖形的直觀性構(gòu)建關(guān)鍵“點(diǎn)”及“線”之間的位置與數(shù)量關(guān)系，從而達(dá)到以形助數(shù)的目的。著名的數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)過(guò)：“一個(gè)問(wèn)題的解決意味著一系列新的問(wèn)題的誕生，當(dāng)我們解題成功時(shí)，不要忘記提出新的問(wèn)題，因?yàn)檫€有許多寶藏尚未開(kāi)發(fā)出來(lái)?！?/p>

“題組生長(zhǎng)”式教學(xué)是一種比較有效的方法，設(shè)計(jì)的問(wèn)題是各個(gè)引例（例題）、習(xí)題之間具有一定的內(nèi)在聯(lián)系（或條件（圖形）相似、或結(jié)論一致，或方法相同）。能加深學(xué)生對(duì)諸多知識(shí)和方法的理解，給學(xué)生營(yíng)造一個(gè)“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”的探究氛圍，變式教學(xué)給學(xué)生一種新鮮、生動(dòng)的感覺(jué)，能喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，能產(chǎn)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的動(dòng)力，保持對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)的興趣和熱情。

例3：直線y=-■x+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0），于y軸交于點(diǎn)B.拋物線y=-■x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B.點(diǎn)M（m，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P、N.

問(wèn)題1.若連接BM、BN，當(dāng)滿(mǎn)足SΔBPM：SΔBPN=1：4，求m的值。

問(wèn)題2.若連接BN，當(dāng)ΔBPN為直角三角形時(shí)，求m的值。

問(wèn)題3.若連接BN，當(dāng)以O(shè)、B、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求m的值。

問(wèn)題4.若連接BN，當(dāng)∠PBN=45°時(shí)，求m的值。

問(wèn)題5.若以PN為直徑作⊙R，當(dāng)⊙R與y軸相切時(shí)，求m的值。

鞏固題：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與直線y=x+1相交于A（-1，0）、B（4，m）

兩點(diǎn)，且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（5，0）.

（1）求拋物線的解析式。

（2）點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），過(guò)點(diǎn)P作直線PD⊥x軸于點(diǎn)D.交直線AB于點(diǎn)E.

①當(dāng)PE=2ED時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

②是否存在點(diǎn)P使ΔBEC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)出理由。

該題組是在原題的框架下，不斷“生長(zhǎng)”出新問(wèn)題，如拋物線與面積、特殊三角形、特殊四邊形、特殊角、圓的相切等。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師逐漸增加條件、變化圖形，讓學(xué)生主動(dòng)尋求解決問(wèn)題的方法并產(chǎn)生新的問(wèn)題，使問(wèn)題和思維層次逐漸深入。最后，將問(wèn)題像“鏈條”一樣串聯(lián)起來(lái)，多題歸一，環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)，深化思維，激發(fā)學(xué)生思維發(fā)展的內(nèi)驅(qū)力。教學(xué)中隨著對(duì)圖形的不斷“聯(lián)想”，學(xué)生能夠懂其原理，知其方法，通其變化。最后再設(shè)置一道鞏固題，讓學(xué)生在解題和思維的碰撞中提升思維能力，活化所學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生在探究中既掌握所學(xué)知識(shí)和技能，又感悟知識(shí)的本質(zhì)，積累思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)，助力培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，讓不同思維層次的學(xué)生更上一個(gè)思維臺(tái)階。

圖形是幾何直觀的載體，這里所說(shuō)的圖形具有廣泛的含義，不僅指幾何中的圖形，還泛指學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中畫(huà)出的所有有助于其觀察、思考、分析的圖形。

將幾何直觀運(yùn)用于教學(xué)可將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀的圖形語(yǔ)言有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，使抽象思維同直觀形象思維結(jié)合起來(lái)，充分展現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，突破數(shù)學(xué)理解上的難點(diǎn)，達(dá)到邏輯推理的目的。可以這樣說(shuō)，幾何直觀為我們研究和探求數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)辟了一條嶄新的途徑，并且貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。

課題編號(hào)：GDXKT18851

[ 參 ?考 ?文 ?獻(xiàn) ]

[1]蔣文蔚.幾何直觀思維在科學(xué)研究及數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的作用.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)1997（4）：43.

[2]陳為池.發(fā)展幾何直觀.《中小學(xué)數(shù)學(xué)》2018.4;41-45.

[3]馬敏.基于發(fā)展“幾何直觀”的數(shù)學(xué)教學(xué).初中數(shù)學(xué)教與學(xué)2018.7;13-14.