薛林雀

摘 要：新一輪基礎(chǔ)教育課程改革實施以來，圍繞“一是素質(zhì)教育的口號，二是情感態(tài)度價值觀的培養(yǎng)”，各學(xué)科提出了學(xué)科核心素養(yǎng)以便將素質(zhì)教育和情感態(tài)度價值觀落到實處。就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)有數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等六個方面。“數(shù)學(xué)建?！北闶瞧渲兄弧Ｒ虼藬?shù)學(xué)建模的重要性不言而明，但學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中，學(xué)生很難從實際問題分析出所涉及的數(shù)學(xué)模型。本文從函數(shù)模型、方程模型、不等式模型、數(shù)列模型幾個類型入手，分析高中數(shù)學(xué)建模常見的幾種種類型的的教學(xué)過程中的教學(xué)路徑，旨在通過有益的探索和討論，提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);模型;歸類

1.高中數(shù)學(xué)與建模

高中階段是一個學(xué)生學(xué)習(xí)生涯中的關(guān)鍵階段，在這一階段開展有效的數(shù)學(xué)教學(xué)，有助學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣和學(xué)習(xí)習(xí)慣。從一個學(xué)生學(xué)習(xí)的整體發(fā)展上看來，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，幫助他們形成正確的數(shù)學(xué)思維方法顯然十分重要。

數(shù)學(xué)建模的思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中每一個階段都非常強調(diào)的思想，貫穿了高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程。數(shù)學(xué)建模是對實際問題的本質(zhì)進(jìn)行抽象而用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序或圖形簡潔刻畫某種客觀現(xiàn)象，或預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最佳策略或較好策略。而應(yīng)用各種知識從實際問題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程，稱之為數(shù)學(xué)建模。它的本質(zhì)是數(shù)學(xué)的運用，它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各方面無處不在，無處不用。學(xué)生在學(xué)習(xí)的不同階段，都能正確認(rèn)識到自己需要掌握的建模思維路徑，這對于學(xué)生正確理解和接受高中數(shù)學(xué)相關(guān)知識，提高他們把數(shù)學(xué)理論知識與實際生活結(jié)合的能力，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力具有重要作用;從宏觀上看來，學(xué)生在高中學(xué)習(xí)階段就掌握正確的建模思想和方法，對于他們進(jìn)入到大學(xué)等更高層之后從事高等數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的學(xué)習(xí)而言，也是非常有好處和幫助的。

在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的有關(guān)思想的時候，高中數(shù)學(xué)老師應(yīng)該占據(jù)主導(dǎo)地位。應(yīng)該從宏觀入手，給學(xué)生關(guān)鍵性的指導(dǎo)，指引明確的方向。為了達(dá)到這一目標(biāo)，老師應(yīng)該和學(xué)生密切配合，讓學(xué)生了解和領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模相關(guān)知識和技能為目標(biāo)，對學(xué)生開展卓有成效的數(shù)學(xué)教學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

2.高中數(shù)學(xué)建模中的幾種常見類型

（1）函數(shù)模型.函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括、提煉，是研究變量間關(guān)系所用的方法。首現(xiàn)，理清題意，理順變量間關(guān)系，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式或構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，其次研究所建立函數(shù)的性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖像等等），求解決數(shù)學(xué)模型，從而得出數(shù)學(xué)結(jié)論。

例如：某陶瓷廠為了適應(yīng)發(fā)展，制定了以下生產(chǎn)計劃，每天生產(chǎn)陶瓷的固定成本為14000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加210元.已知該產(chǎn)品的日銷售量（單位：件）與日產(chǎn)量

（單位：件）之間的關(guān)系式為每件產(chǎn)品的售價（單位：元）與日產(chǎn)量之間的關(guān)系式為

（1）寫出該陶瓷廠的日銷售利

潤（單位：元）與日產(chǎn)量之間的關(guān)系式;（2）若要使得日銷售利潤最大，該陶瓷廠每天應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？分析：上面題目非常清晰地體現(xiàn)了函數(shù)的思想。通過解析，可以設(shè)總成本，則日銷售利潤

然后利用以導(dǎo)數(shù)為工具對的單調(diào)性分析判斷，

在區(qū)間的，上單調(diào)遞減;在區(qū)間，上單調(diào)遞增;。所以可以得出結(jié)論，故時，日銷售利潤最大。

（2）方程模型.在整個高中階段，方程的思想貫穿了高中學(xué)段的始終，方程的思想就是通過分析問題中變量間的相等關(guān)系，建立或構(gòu)造方程（方程組），通過解方程（或方程組），或運用方程的性質(zhì)分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題易于解決，其關(guān)鍵是建立方程。而從高中數(shù)學(xué)建模的角度上看，方程模型也是一個重要的數(shù)學(xué)建模模型。從方程本身的思維邏輯路徑上來看，它是一種正向思維，就是利用本身題目描述的等量關(guān)系，也往往與函數(shù)關(guān)系緊密的聯(lián)系在一起。將所需要求解的未知數(shù)當(dāng)做一個等式中的已知情況進(jìn)行考慮，這樣做可以幫助學(xué)生跳過相對繁瑣的逆向思維路徑，盡量減輕解決問題過程中的思維負(fù)擔(dān)，這種方式能夠幫助學(xué)生用更加簡便的方法來解決更加復(fù)雜的問題。事實上，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)容難度的提高，很多學(xué)生和老師都不約而同的發(fā)現(xiàn)，他們在進(jìn)行有關(guān)數(shù)學(xué)問題的求解的時候，常常已經(jīng)離不開方程的方法和思想了，用傳統(tǒng)意義上的逆向思維求解已經(jīng)不能滿足有關(guān)需求了。

例如：某村計劃建造面積為800m2的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m的空地，當(dāng)蔬菜的種植面積為648m2時，求溫室的長和寬各式多少？分析：上述題目非常完備的體現(xiàn)了方程的思想，已知的條件不足以幫助學(xué)生逆向思維推出結(jié)論，因此老師在教學(xué)的過程中為了讓學(xué)生更好的理解題意，也為了能夠更加順利的講解題目，應(yīng)該著重考慮引入方程的思想，讓學(xué)生借助方程建模中的正向思維來理解有關(guān)知識。具體而言，應(yīng)該充分認(rèn)識到，上面題目中提到的已知條件可以構(gòu)成二個關(guān)系式子：溫室的面積（800m2）及種植面積是給定（648m2），其中涉及到兩類4個變量，第一類是溫室的長，溫室的寬;另一類是種植面積的長，溫室的寬。

（3）不等式模型.與以往階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不同的是，高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)往往不單純一種相等的關(guān)系，而是要通過一些數(shù)字和邏輯關(guān)系來構(gòu)建一種或者幾種數(shù)量之間的關(guān)聯(lián)，并且通過已知的等量關(guān)系來計算并選擇真正符合實際需要的計算結(jié)果。不等式思想的建立，是一個高中生本身數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維形成過程中所不能繞開的一個階段。數(shù)學(xué)這門學(xué)科描述的是數(shù)量的關(guān)系，以此為邏輯起點可以認(rèn)為，在數(shù)學(xué)的世界，既然存在等量關(guān)系，就一定有不等關(guān)系，學(xué)生們?nèi)绻陬^腦中建立起這樣的思維的話，就會從更高的程度和層次上認(rèn)識數(shù)學(xué)，在面對和解決數(shù)學(xué)問題的時候，思路就會更加開闊.也就是在建模過程中，教師引入不等式關(guān)系，知道學(xué)生從不等式中尋找問題的答案。

例如：某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，每次運費為6萬元，一年的總存儲費用為次萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，求的值.分析：上面題目非常清晰地體現(xiàn)了不等式的思想，題目中給出的已知條件并不是完全意義上的等量關(guān)系，在建模過程中，需要引入不等式的概念，教會學(xué)生從不等式中要結(jié)果。通過解析，可以得出一年購買次，則總運費與總存儲費用之和，然后運用基本不等式;另外考慮到基本不等式等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立。所以可以得出結(jié)論，故時，一年的總運費與總存儲費用之和最小。

（4）數(shù)列模型數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要組成部分，在高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的過程當(dāng)中，數(shù)列建模的有關(guān)理念不應(yīng)該被繞開。數(shù)列本身描述的是一組前后相繼的數(shù)字之間的邏輯遞推關(guān)系。數(shù)列理念的學(xué)習(xí)，是為了幫助學(xué)生拓寬看待和解決問題的思路，為了幫助學(xué)生能夠從更高的層次和角度上看待和解決缺乏等量關(guān)系必要條件的數(shù)學(xué)問題。應(yīng)該認(rèn)識到，很多時候，在解決數(shù)學(xué)問題上，學(xué)生們無法獲得必要的等量條件，而數(shù)字之間的邏輯關(guān)系——例如數(shù)列，事實上提供的是一種數(shù)字之間的非等量關(guān)系，非等量關(guān)系的建立，事實上是為學(xué)生提供一種或者幾種已知條件，已知條件的獲得，最終能夠幫助學(xué)生解決題目中的問題。

例如：王師傅在2018年年底花120萬元買了一套住房，其中首付50萬元，剩余的70萬元采用貸款.貸款的月利率為5‰，按復(fù)利計算，從貸款后的次月開始還貸，且每月等額還貸，10年還清.試求每月應(yīng)還貸約多少元？

以上題目是非常典型的等比數(shù)列建模案例，要解答這個題目，只需要求要還款的次數(shù)次，設(shè)每月應(yīng)還貸元，則，因此每月應(yīng)還貸7875元。

3.結(jié)語

數(shù)學(xué)建模是一個不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高的過程。讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)理論和方法去分析和解決數(shù)學(xué)問題的過程就是提高他們分析問題和解決問題的能力過程。高中數(shù)學(xué)老師應(yīng)該沿著這個方向下功夫、做工作，應(yīng)重視建模思想的具體運用，激發(fā)學(xué)生的潛力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率和學(xué)習(xí)效率。

參考文獻(xiàn)

[1]李卓林.推進(jìn)高中數(shù)學(xué)課程科學(xué)化開展的策略[J].武漢教育學(xué)院學(xué)報，2013（8）

[2]史守林.新形勢下高中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的問題與對策研究[J].科教文匯，2013，（5）

（作者單位：寶雞中學(xué)）