黃德誠(chéng)

【摘 ?要】等比數(shù)列模型是初中階段的重要模型之一，尤其是在湘教版初中數(shù)學(xué)教材中占有重要地位。在核心素養(yǎng)成為當(dāng)前教學(xué)基本導(dǎo)向的新教育形勢(shì)下，一線教師應(yīng)重視等比數(shù)列模型在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，以有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展。本文先對(duì)初中數(shù)學(xué)等比數(shù)列模型的應(yīng)用進(jìn)行了簡(jiǎn)要概述，而后重點(diǎn)探討了兩個(gè)具有代表性的實(shí)際案例，希望對(duì)相關(guān)教學(xué)工作者有所助益。

【關(guān)鍵詞】等比數(shù)列模型;初中數(shù)學(xué);應(yīng)用

一、等比數(shù)列模型應(yīng)用概述

核心素養(yǎng)的提出是新一輪課改的最大亮點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展已成為當(dāng)前一線教師的核心教學(xué)指向。而作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基本要素之一，“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)對(duì)學(xué)生的發(fā)展尤其意義非凡，因?yàn)閿?shù)學(xué)建模是學(xué)以致用的基礎(chǔ)，是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的必由途徑，同時(shí)，它反過(guò)來(lái)又對(duì)學(xué)生鞏固和應(yīng)用相關(guān)知識(shí)起到顯著的促進(jìn)作用。就等比數(shù)列模型而言，其在實(shí)際的生產(chǎn)生活中有著廣泛而重要的應(yīng)用，從我省近年來(lái)的中考命題特點(diǎn)來(lái)看，涉及實(shí)際生活背景的等比數(shù)列題目亦非鮮見(jiàn)。這一方面是由于等比數(shù)列模型本身的重要性決定的，另一方面也受到新課標(biāo)以考查學(xué)生核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的基本命題原則的要求。故而一線教師應(yīng)等比數(shù)列中滲透模型思想從而培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)和能力，在潛移默化中促進(jìn)其核心素養(yǎng)的發(fā)展。可以說(shuō)，在核心素養(yǎng)背景下，實(shí)施等比數(shù)列建模教學(xué)既是課標(biāo)及基本要求，更是促進(jìn)知識(shí)應(yīng)用能力和解題應(yīng)試能力的必由途徑。

那么，關(guān)于等比數(shù)列的建模教學(xué)具體應(yīng)如何落實(shí)呢？對(duì)此，我認(rèn)為教師首先應(yīng)切實(shí)理解數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵及基本過(guò)程。課標(biāo)中在核心素養(yǎng)部分給出建模素養(yǎng)的定義是：數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)。根據(jù)這一表述彰顯的內(nèi)涵意義，通俗來(lái)說(shuō)數(shù)學(xué)建模就是對(duì)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題從而利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，這就是數(shù)學(xué)建模。

具體到實(shí)際教學(xué)中，就是讓學(xué)生在切實(shí)掌握等比數(shù)列基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，結(jié)合典型案例引導(dǎo)學(xué)生切實(shí)經(jīng)歷建立模型并用以解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，使其對(duì)建模過(guò)程形成深刻體驗(yàn)，直至學(xué)生能夠把握住具體情境的數(shù)學(xué)本質(zhì)而判斷出該用等比數(shù)列，其間的關(guān)鍵實(shí)際上是理解題意進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。當(dāng)然，這一目標(biāo)無(wú)疑要以足夠的案例演練為途徑。

實(shí)際上，所謂核心素養(yǎng)的發(fā)展和成熟本身就是一種基于長(zhǎng)期訓(xùn)練的潛移默化的過(guò)程，上述目標(biāo)的達(dá)成也意味著學(xué)生的建模素養(yǎng)獲得了顯著發(fā)展。以下我們就來(lái)重點(diǎn)探討兩個(gè)較為典型的案例，由于案例演練是建模教學(xué)的關(guān)鍵，故這也是本文重心之所在。

二、等比數(shù)列模型應(yīng)用案例

例1：某人欲于2024年年底以40萬(wàn)元購(gòu)置一輛電動(dòng)汽車(chē)，計(jì)劃從2018年開(kāi)始，每年年初存入銀行一筆購(gòu)車(chē)款項(xiàng)，到2024年底獲得本息共40萬(wàn)元。若每年存同樣數(shù)額的購(gòu)車(chē)款項(xiàng)，依照年利息2%并按復(fù)利計(jì)算，則每年的存款數(shù)額應(yīng)為多少？（已知：1.022≈1.1487）

解析：對(duì)于該題，首先是全面分析題意并找到題目中的關(guān)鍵信息，并理解其數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)而建立等比數(shù)列模型。不難看出，題目中關(guān)鍵信息即為“依照年年利息2%并按復(fù)利計(jì)算”，以此為突破口，結(jié)合題目情境，如果設(shè)每年應(yīng)存的購(gòu)車(chē)款項(xiàng)數(shù)目為x萬(wàn)元，則有：2024年年初存進(jìn)銀行的x萬(wàn)元到2018年底的本金加利息為x（1+2%），2023年年初存入銀行的x萬(wàn)元到該年年底是的金加利息為x（1+2%）2;2022年存入銀行的的x萬(wàn)元到該年年底的本金加利息為x+（1+2%）3……2018年年初存入銀行的x萬(wàn)元到該年年底的本金加利息為x（1+2%）7。

由此不難發(fā)現(xiàn)，所謂“依照年利息2%并按復(fù)利計(jì)算”的數(shù)學(xué)本質(zhì)即為[a]n+1/[a]n=1.02這一等比關(guān)系，即一系列式子構(gòu)成公比為1.02的的等比數(shù)列，到2024年底獲得所有本息40萬(wàn)元是其前n項(xiàng)和。這樣具體情境問(wèn)題轉(zhuǎn)為了數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而可以很容易利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式列方程而求出x的值。

該題具體解答過(guò)程為：設(shè)每年應(yīng)存存入銀行x萬(wàn)元，則由題目可得x（1+2%）+x（1+2%）2+x+（1+2%）3+……+x（1+2%）7=40，結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式有[x（1+2%）（1-1.027）]/（1-1.02）=40，解得x≈5.275萬(wàn)元，即從2018～2024年該人每年應(yīng)存入銀行大約5.275萬(wàn)元。

例2：若某市2018年新建住房面積400萬(wàn)平方米，其中中低價(jià)房面積為250萬(wàn)平方米，計(jì)劃從次年開(kāi)始，若干年內(nèi)每年的新建住房面積平均比前一年增長(zhǎng)8%。此外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積比前一年增加50萬(wàn)平方米。試求：

①到哪一年的年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬(wàn)平方米？

②到哪一年年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占總建造面積的比例首次超過(guò)85%？（已知：1.084=1.36，1.085=1.47，1.086=1.59）

解析：該題有兩問(wèn)，分析題意不難發(fā)現(xiàn)，第一問(wèn)需要建立等差數(shù)列模型，第二問(wèn)則在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上通過(guò)建立等比數(shù)列模型求解。這道題的難度并不大，但綜合考察了等差數(shù)列和等比數(shù)列，從而更深刻地體現(xiàn)了模型思想的應(yīng)用，屬于較為典型的案例。

就第一問(wèn)而言，關(guān)鍵性的條件是“每年新建住房中，中低價(jià)房的面積比前一年增加50萬(wàn)平方米”，其數(shù)學(xué)本質(zhì)即為[a]n+1-[a]n=50這一等差關(guān)系，即歷年的中低價(jià)房建造面積構(gòu)成等差數(shù)列，其首項(xiàng)為250，公差為50，根據(jù)“歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬(wàn)平方米”這一條件可列不等式前n項(xiàng)和Sn≥4750，由此即可求得答案。該文具體解答過(guò)程如下：

設(shè)第n年中低價(jià)房的面積為[a]n，則根據(jù)題意易知數(shù)列[an]為首項(xiàng)為250，公差為50的等差數(shù)列表，即[a]n=250+（n-1）×50=50n+200，該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=250n+[n（n-1）]/2×50=25n2+225n，根據(jù)題意有25n2+225n≥4750，化簡(jiǎn)得n2+9n-190≥0，n為正整數(shù)，得到n≥10，即到2017年年底，該市歷年所建造的中低價(jià)房累計(jì)面積首次超過(guò)4750平方米。

再來(lái)看第二問(wèn)，首先需要將“若干年內(nèi)每年的新建住房面積平均比前一年增長(zhǎng)8%”這一關(guān)鍵條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言bn+1/bn=1+8%。即歷年新建住房面積構(gòu)成首項(xiàng)為400，公比為1.08的等比數(shù)列，再根據(jù)“中低價(jià)房的面積占總建造面積的比例超過(guò)85%”這一條件列出不等式[an]>0.85bn，由此得到最終答案。其具體解答過(guò)程如下：

設(shè)第n年新建住房面積為bn，則根據(jù)題意易知數(shù)列{bn}為首項(xiàng)為400、公比為1.08的等比數(shù)列，即bn=400×1.81n-1，根據(jù)題意有[an]>0.85bn，即50n+200>400×1.81n-1×0.85，化簡(jiǎn)得到n+4>6.8×1.81n-1，此式說(shuō)明當(dāng)n=5時(shí)，[an]<0.85bn，當(dāng)n=6時(shí)，[an]>0.85bn，由此可知到2013年年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占建造住房總面積的比例首次大于85%。

通過(guò)以上兩個(gè)可以看出，應(yīng)用等比數(shù)列模型解題的關(guān)鍵就在于理解清題意，尤其是隱含等比關(guān)系的關(guān)鍵性條件，進(jìn)而將情境語(yǔ)言轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，構(gòu)建等比數(shù)列最終解得答案。等比數(shù)列模型的應(yīng)用通常與方程或不等式知識(shí)結(jié)合在一起，通過(guò)題意中包含的數(shù)量關(guān)系列出方程或不等式，進(jìn)而求取相關(guān)量的值或范圍。

上面案例一是與方式知識(shí)結(jié)合，求取的量包含在數(shù)列項(xiàng)的表達(dá)式中，案例二是與不等式知識(shí)結(jié)合，求n的取值范圍，代表了兩種基本的情形。一般來(lái)說(shuō)，初中階段等比數(shù)列模型的應(yīng)用較為簡(jiǎn)單，上述的兩個(gè)案例具有較強(qiáng)的代表性。

三、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，本文首先對(duì)核心素養(yǎng)背景下初中數(shù)學(xué)等比數(shù)列模型的應(yīng)用進(jìn)行了簡(jiǎn)要概述，而后重點(diǎn)探討了兩個(gè)具有代表性的實(shí)際案例。作為初中數(shù)學(xué)中的重要模型之一，等比數(shù)列模型的應(yīng)用是一個(gè)兼具深度和廣度的課題，一線教師應(yīng)給予其足夠重視，并在日常教學(xué)中積極滲透模型思想，使學(xué)生在應(yīng)用等比數(shù)列模型的過(guò)程中促進(jìn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展。

注：本文為廣西區(qū)級(jí)A類(lèi)課題“基于核心素養(yǎng)背景下模型思想的初中數(shù)學(xué)課例研究”研究成果。

（責(zé)任編輯 ?李 芳）