張世超

【編者按】在推進(jìn)教育國際化的進(jìn)程中，雙語教育作為推進(jìn)教育國際化的課程實(shí)施載體越來越受到人們的重視。數(shù)學(xué)、音樂、美術(shù)、科學(xué)和體育這五門學(xué)科，是雙語教育專家們一致認(rèn)為最適合在小學(xué)階段實(shí)施雙語教育的學(xué)科。其中，雙語數(shù)學(xué)、雙語科學(xué)的教學(xué)質(zhì)量如何，已經(jīng)被專家們公認(rèn)為是判別雙語教育成敗的最重要的衡量指標(biāo)。開展雙語教育課程改革實(shí)驗(yàn)，離不開雙語教育教學(xué)的研究。只有加大對(duì)實(shí)施雙語教育學(xué)科的教學(xué)研究力度，才能發(fā)現(xiàn)和掌握雙語學(xué)科課堂教學(xué)的有效路徑和方法，從而提升雙語課程實(shí)施的有效性，保證其教學(xué)質(zhì)量。為了鼓勵(lì)更多雙語教師積極投身雙語學(xué)科的教學(xué)研究活動(dòng)之中，本刊特開辟專題，集中刊發(fā)兩篇雙語數(shù)學(xué)教學(xué)研究文章和一篇雙語美術(shù)教學(xué)研究文章。盡管這些文章較之于以中文作為教學(xué)語言的課堂教學(xué)研究而形成的文章在研究的深刻性方面還有較大提升空間，但是我們還是堅(jiān)信“良好的開端是成功的一半”。

【摘要】數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。在小學(xué)雙語數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)過程中，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用可以使數(shù)學(xué)問題的英文表述更加形象、直觀，更方便學(xué)生理解數(shù)學(xué)語言的英文表述，從而在較大程度上提高雙語數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 雙語課堂 數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)語言 應(yīng)用例談

雙語數(shù)學(xué)課程，在本質(zhì)上仍然是數(shù)學(xué)課程，只不過在雙語數(shù)學(xué)課堂上教師和學(xué)生使用的是英文版的數(shù)學(xué)教材，教師和學(xué)生使用的教與學(xué)的語言是英文而已。因此，在雙語數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》所倡導(dǎo)的“數(shù)形結(jié)合思想”等基本思想不僅依然適用于小學(xué)雙語數(shù)學(xué)教學(xué)，而且對(duì)小學(xué)雙語數(shù)學(xué)教學(xué)而言也是不可或缺的。

從某種意義上講，正是由于雙語數(shù)學(xué)課程教學(xué)的一個(gè)鮮明特征就是教材和教與學(xué)的活動(dòng)都是以英文作為語言載體的，數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)雙語數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用將極大地方便教師雙語數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的展開，也有助于學(xué)生更加生動(dòng)、形象和直觀地理解數(shù)學(xué)語言的英文表達(dá)。

但是，“數(shù)形結(jié)合思想”如何才能在小學(xué)雙語數(shù)學(xué)教學(xué)中得到恰到好處的運(yùn)用，尚需結(jié)合實(shí)例加以討論，畢竟在雙語數(shù)學(xué)課堂上，教師“教”的語言和學(xué)生“學(xué)”的語言都無一例外地是英文。

這里，通過列舉小學(xué)數(shù)學(xué)三個(gè)主題的例子，展開討論。

一、“數(shù)形結(jié)合思想”在數(shù)與代數(shù)教學(xué)中的運(yùn)用

在小學(xué)雙語數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，學(xué)生最早接觸的教學(xué)內(nèi)容與中文版數(shù)學(xué)教材是一致的，即“10以內(nèi)的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)”。對(duì)這一單元的教學(xué)，如果讓學(xué)生單純地靠死記硬背的方式去學(xué)習(xí)，則不僅會(huì)挫傷學(xué)生對(duì)雙語數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)熱情，而且不利于學(xué)生的數(shù)感（the sense of digits）的養(yǎng)成。因此，小學(xué)雙語數(shù)學(xué)教師可以根據(jù)小學(xué)生瞬時(shí)記憶的特點(diǎn)，把“數(shù)形結(jié)合思想”落實(shí)在雙語數(shù)學(xué)課堂，以增強(qiáng)雙語數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性和體現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)自身的學(xué)科特點(diǎn)。

以滬教版“雙語教育實(shí)驗(yàn)教材”Maths（數(shù)學(xué)）一年級(jí)第一學(xué)期數(shù)的Counting部分為例，其涉及的主要知識(shí)點(diǎn)是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解“10以內(nèi)的數(shù)”，在教數(shù)字1～10時(shí)，教師可以先出示一輛小汽車、兩艘輪船、三個(gè)蘋果、四個(gè)梨、五輛小汽車、六個(gè)梨、七個(gè)蘋果、八根香蕉、九根香蕉、十個(gè)櫻桃的圖片，讓學(xué)生用英語一一對(duì)應(yīng)地去數(shù)出其個(gè)數(shù)。然后，再用數(shù)模雪花片來代替相應(yīng)的物體及其數(shù)量，讓學(xué)生數(shù)出數(shù)模雪花片的個(gè)數(shù)，幫助學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)從實(shí)物發(fā)展到數(shù)模。

但是，數(shù)形結(jié)合思想在這里的運(yùn)用還只停留于最淺表層次的運(yùn)用。最后，教師應(yīng)將學(xué)生從數(shù)模再抽象過渡到數(shù)學(xué)符號(hào)，即通過呈現(xiàn)單詞one， two， three， four， five， six， seven， eight， nine， ten來實(shí)現(xiàn)。這其中的紅色小汽車、船、蘋果、梨、香蕉、櫻桃都是很直觀的實(shí)物或圖形，接著過渡到不同數(shù)量的數(shù)模雪花片，最后將數(shù)模雪花片以抽象的數(shù)字符號(hào)加以呈現(xiàn)，從而完成從具體物體的感知到形象認(rèn)知、再到符號(hào)運(yùn)用這樣一個(gè)循序漸進(jìn)的認(rèn)知過程（如圖所示）。

我們以滬教版“雙語教育實(shí)驗(yàn)教材”Maths（數(shù)學(xué)）一年級(jí)第二學(xué)期“Comparing numbers and addition”的教學(xué)為例，在教授“Add 42 and 6”時(shí)，“形”是以一個(gè)個(gè)小正方形來呈現(xiàn)的。在第一組圖形中，每10個(gè)小正方形為一列，有四列這樣的小正方形，就是4個(gè)10，第五列的兩個(gè)小正方形用來表示2;第二組圖形有6個(gè)小正方形，代表6。

這樣就能夠讓學(xué)生比較直觀地看出，第一個(gè)加數(shù)是42，第二個(gè)加數(shù)是6。那么，學(xué)生就不僅能很清楚地理解每一組圖所表示的數(shù)量，進(jìn)而能夠列出算式“42 + 6 = 48”，而且還方便學(xué)生用前面學(xué)過的Count forward的方法來驗(yàn)算其計(jì)算結(jié)果是否正確。

二、“數(shù)形結(jié)合思想”在圖形與幾何教學(xué)中的運(yùn)用

在“圖形與幾何”的教學(xué)中，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合思想”幫助學(xué)生形成對(duì)圖形與幾何的關(guān)系，探究小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)以及理解一些幾何的數(shù)學(xué)運(yùn)算公式究竟是怎么產(chǎn)生的有著重大的意義。

這里，以滬教版“雙語教育實(shí)驗(yàn)教材”Maths（數(shù)學(xué)）三年級(jí)第二學(xué)期Area的教學(xué)為例，在學(xué)習(xí)長方形面積計(jì)算方法時(shí)，雙語數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手?jǐn)[放小正方形進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其中的面積運(yùn)算規(guī)律。

例題：The length of a rectangle is 6 cm， and the width of it is 4 cm. What is the area of this rectangle？

在這道例題學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)知道了正方形面積的計(jì)算方法。那么，教師自然可以將一個(gè)邊長為6 cm、寬為4 cm的長方形加以分割，形成邊長為1 cm的多個(gè)正方形，然后讓學(xué)生數(shù)一數(shù)有多少個(gè)正方形。學(xué)生就能夠知道其總面積是多少平方厘米，但是，這么簡單地去處理，是不足以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的。

如果運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合思想”，那么教學(xué)效果則會(huì)大大提高。反之，如果讓學(xué)生動(dòng)手操作，通過擺放若干個(gè)小正方形，那么學(xué)生將能夠獲得親身體驗(yàn)，就會(huì)自然地將正方形面積計(jì)算方法遷移到長方形面積計(jì)算公式的探究活動(dòng)之中（如下圖所示）。

通過擺放邊長為1 cm的小正方形和觀察一個(gè)大的長方形中有許多個(gè)小正方形，每一行可以擺放6個(gè)小正方形，擺了4行，總共有24個(gè)小正方形被擺放到大長方形之中。那么，學(xué)生就能夠知道這個(gè)長方形的面積為24 cm2。

這時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察：小正方形的邊長是1 cm，那么長方形的長是多少厘米，寬是多少厘米，這個(gè)長方形的長為6 cm、寬為4 cm與面積為24 cm2之間的數(shù)量關(guān)系是什么，從而最終發(fā)現(xiàn)長乘以寬，得到的就是長方形的面積。學(xué)生只有做到了把直觀的平面圖形變成簡練的計(jì)算公式，才算是做到了“形”中有“數(shù)”。

在滬教版“雙語教育實(shí)驗(yàn)教材”Maths（數(shù)學(xué)）三年級(jí)第一學(xué)期Fractions這一單元中，例題通過分享一個(gè)蛋糕來進(jìn)行分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)，即2 children share a cake equally. How much does each child get？ 教師不妨與學(xué)生展開下列交流活動(dòng)。

師：Now look at this picture. It is a cake. Now 2 children share a cake equally. How much does each child get？

生：One half.

師：Yes， one half. Each child gets one half of h cake.（板書和one half）Well， look at the cake again. How many halves are there in this cake？

生：There are 2 halves.

師：Yes， you' re right. So what number do 2 halves make？

生：2 halves make 1.

師：Wonderful！ And how many halves can 1 be divided into equally？

生：1 can be divided into 2 halves equally.

這樣，即便在這部分內(nèi)容中并沒有分?jǐn)?shù)的加法或除法運(yùn)算教學(xué)的要求，學(xué)生也能夠在教師的引導(dǎo)下初步感知分?jǐn)?shù)的加法和除法運(yùn)算的方法，從而為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的知識(shí)做好了鋪墊。這種從圖形的直觀特征出發(fā)，來發(fā)現(xiàn)圖形中的數(shù)量之間存在的聯(lián)系，以達(dá)到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的，就能夠更便捷地解決各類問題。

三、“數(shù)形結(jié)合思想”在問題解決策略教學(xué)中的運(yùn)用

隨著雙語教育年級(jí)的升高，在雙語數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題解決中的各種數(shù)量之間的關(guān)系越來越復(fù)雜。借助數(shù)形結(jié)合，可以逐步培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件，畫出直觀的圖形，尋找解題思路，把問題化難為易。在這里，數(shù)形結(jié)合實(shí)際上充當(dāng)了學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)際問題與解決問題之間的“橋”，而分析和轉(zhuǎn)化的這個(gè)搭建“橋”的過程便是提升學(xué)生邏輯思維能力的過程。

在滬教版“雙語教育實(shí)驗(yàn)教材”Maths（數(shù)學(xué)）三年級(jí)第二學(xué)期Problem solving strategies這一單元中有這么一道題：

At a “Keep Fit Club”， 35 people swim， 24 people play badminton， and 27 people go hiking. Of these people， 12 swim and play badminton，19 play badminton and go hiking， and 13 swim and go hiking. 9 people do all the three sports. How many people are there in the club altogether？

面對(duì)這種復(fù)雜、煩瑣的難題，學(xué)生利用“數(shù)形結(jié)合”的方式，輔之以簡單的邏輯思維活動(dòng)，則能使這一難題迎刃而解（如下圖所示）。

通過閱讀題干，首先畫出有9人共同喜歡swim， badminton， hiking;12人喜歡swim and play badminton，但在這12人中，9人同時(shí)喜歡三種運(yùn)動(dòng)，那么12-9=3。通過數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用，學(xué)生就能夠清楚地發(fā)現(xiàn)在這12個(gè)喜歡swim and play badminton的人當(dāng)中，僅有3人是喜歡swim， badminton的。從而使學(xué)生理解求俱樂部的總?cè)藬?shù)并不是用游泳的人數(shù)、打羽毛球的人數(shù)和遠(yuǎn)足人數(shù)簡單相加就能解決的。

以此類推，通過層層剝筍，學(xué)生就可以逐步完成以下各圖，進(jìn)而找出正確答案（如下圖所示）。

在小學(xué)雙語數(shù)學(xué)教學(xué)中，落實(shí)、滲透數(shù)形結(jié)合這一重要思想必不可少。把這一重要的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用好，能夠大大減輕學(xué)生因數(shù)學(xué)語言的英文表述的理解障礙而帶來的學(xué)習(xí)難度，有利于數(shù)學(xué)課程的教學(xué)目標(biāo)更好地達(dá)成。