董文彬

摘要：通過前測(cè)調(diào)研，發(fā)現(xiàn)真正造成學(xué)生認(rèn)識(shí)體積含義的障礙有兩個(gè)：“空間”和“占空間”概念比體積本身更難感受和理解，會(huì)越說越糊涂;“表面積”和“質(zhì)量”是干擾體積概念表象建立和內(nèi)涵理解的兩個(gè)重要因素。此外，體積和容積這兩個(gè)概念有很多相似之處，容易混淆。由此，得到關(guān)于“體積與容積”教學(xué)的思考：圍繞“比較”，在問題解決中建構(gòu)概念本質(zhì);圍繞“偏差”，在障礙沖突中領(lǐng)悟概念內(nèi)涵;圍繞“關(guān)聯(lián)”，在猜測(cè)想象中透徹概念理解。

關(guān)鍵詞：體積與容積數(shù)學(xué)概念教學(xué)學(xué)情前測(cè)學(xué)習(xí)困難

“體積與容積”是小學(xué)數(shù)學(xué)中比較抽象的核心概念，也是小學(xué)階段研究物體體積度量的重要起始點(diǎn)。那么，學(xué)生在初次學(xué)習(xí)體積與容積時(shí)，認(rèn)知的難點(diǎn)是什么？對(duì)概念的本質(zhì)建構(gòu)與理解造成障礙與干擾的思維卡點(diǎn)是什么？如何在教學(xué)中設(shè)計(jì)更有效的學(xué)習(xí)路徑，幫助學(xué)生突破這些難點(diǎn)和障礙，進(jìn)而在概念的建構(gòu)中培養(yǎng)空間觀念，發(fā)展高階思維？為了分析與解決上述問題，筆者在教學(xué)北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《體積與容積》一課時(shí)，對(duì)執(zhí)教的一個(gè)班41名學(xué)生進(jìn)行了深入的前測(cè)調(diào)研。

一、前測(cè)調(diào)研

（一）調(diào)研題目及調(diào)研意圖

題目1什么是物體的體積？葵葵和園園各自給出了下面的理解。你同意他們的想法嗎？說明理由。

葵葵說：物體的體積就是指它的表面積。比如一個(gè)橘子的體積就是指外面一層橘子皮的面積大小。

園園說：物體的體積就是指它的占地面積。比如一個(gè)水杯放在桌子上，和桌面接觸的杯底的面積大小就是杯子的體積。

如果都不同意，你認(rèn)為什么是體積？可舉例說明。

這道題目的調(diào)研意圖有二：一是了解“表面積”“占地面積”等二維概念對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)與理解體積概念的具體干擾情況;二是探尋學(xué)生建立體積概念的最原初的認(rèn)知。

題目2如圖1，土豆和紅薯相比（目測(cè)無法分辨），誰的體積大？淘氣、笑笑、奇思、妙想分別給出了以下比較方法，哪些方法可行？在后面的（）里打“√”。

第①種：先把土豆和紅薯分別榨成土豆泥和紅薯泥，再把榨好的土豆泥和紅薯泥分別裝入兩個(gè)相同的透明的杯子里，均勻抹平，不留縫隙?？茨膫€(gè)在杯子里的高度高，哪個(gè)體積就大。（）

第②種：先在兩個(gè)相同的杯子里倒入同樣多的水，再把土豆和紅薯分別放入其中，保證水都不溢出，且沒過土豆和紅薯。看哪個(gè)水面上升得多，哪個(gè)體積就大。（）

第③種：先用塑料薄膜把土豆和紅薯沿著外表面分別包裹起來，再把塑料薄膜取下來?？茨膫€(gè)塑料薄膜的面積大，哪個(gè)體積就大。（）

第④種：分別稱一下土豆和紅薯的質(zhì)量，看哪個(gè)重，哪個(gè)體積就大。（）

這道題目的調(diào)研意圖是，在對(duì)土豆和紅薯這兩個(gè)目測(cè)無法分辨出誰占的空間大的物體的不同實(shí)驗(yàn)解決方案是否可行的思考中，一方面了解學(xué)生解決問題的正誤路徑，另一方面了解影響體積概念建立的兩個(gè)重要因素——表面積和質(zhì)量的具體干擾程度。

題目3（1）如圖2，這4個(gè)杯子都有容積嗎？如果哪個(gè)沒有，請(qǐng)指明序號(hào)。

（2）你認(rèn)為哪一杯大米能反映這個(gè)杯子的容積（忽略米粒間的縫隙）？（）

A. ①B. ②C. ③D. ④

E. 都不能

（3）你知道什么是容積嗎？可舉例說明。

這個(gè)題目的調(diào)研意圖是，了解學(xué)生在容積概念建立中的思維障礙以及對(duì)容積概念認(rèn)識(shí)的具體情況。

（二）統(tǒng)計(jì)結(jié)果及數(shù)據(jù)分析

1.關(guān)于體積概念建立的思維障礙。

題目1的作答情況見表1、表2。題目2的作答情況見表3、表4。

對(duì)于題目1，有19.5%的學(xué)生明確表示同意葵葵或園園的觀點(diǎn)——即體積就是表面積或占地面積?？梢姡缤J(rèn)識(shí)面積時(shí)，學(xué)生把一維概念的表象經(jīng)驗(yàn)遷移至二維概念的建立一樣，認(rèn)識(shí)體積時(shí)，學(xué)生會(huì)把二維概念的表象經(jīng)驗(yàn)遷移至三維概念的建立。在均不同意兩者觀點(diǎn)并對(duì)體積給出自己認(rèn)識(shí)的學(xué)生中，能夠用數(shù)學(xué)語言相對(duì)準(zhǔn)確描述的只占15.2%;有12.1%的學(xué)生用長(zhǎng)方體舉例量化計(jì)算，這說明學(xué)生對(duì)體積的認(rèn)識(shí)僅僅停留在長(zhǎng)方體“長(zhǎng)×寬×高”的“量化幾何”經(jīng)驗(yàn)層面;有18.2%的學(xué)生將體積與容積概念混淆;同樣有18.2%的學(xué)生對(duì)體積的理解完全錯(cuò)誤，比如認(rèn)為體積就是一個(gè)物體的質(zhì)量、重量、密度等;有36.4%的學(xué)生對(duì)體積的理解（特別是對(duì)“空間”和“占空間”的理解）描述含混不清或不知道什么是體積。

對(duì)于題目2，作答完全正確的學(xué)生僅占29.3%，錯(cuò)誤率高達(dá)70.7%。其中，選擇方案①、方案②的學(xué)生分別占80.5%和61.0%，可見無論是把土豆和紅薯“炸成泥”還是“水測(cè)法”，都與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)直接相關(guān)。但我們也發(fā)現(xiàn)，有26.8%的學(xué)生選擇方案③，認(rèn)同通過比較表面積的方式比較體積;還有34.1%的學(xué)生選擇方案④，認(rèn)為質(zhì)量大的物體體積就大。

由此可見，真正造成學(xué)生認(rèn)識(shí)體積含義的障礙有兩個(gè)：首先，“空間”和“占空間”概念比體積本身更難感受和理解，會(huì)越說越糊涂;其次，“表面積”和“質(zhì)量”是干擾體積概念表象建立和內(nèi)涵理解的兩個(gè)重要因素。

2.關(guān)于容積概念建立的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

題目3的作答情況見表5、表6、表7。

對(duì)于第（1）問，19.5%的學(xué)生認(rèn)為這四個(gè)杯子“不都有容積”，其中12.2%的學(xué)生認(rèn)為空杯子沒有容積，7.3%的學(xué)生認(rèn)為杯子在“裝滿”（包括超出）東西的狀態(tài)下沒有容積;另外，17.1%的學(xué)生不知道或不清楚這四個(gè)杯子是否都有容積。

對(duì)于第（2）問，作答正確率為80.5%。作答錯(cuò)誤的學(xué)生中，2.4%的學(xué)生將“所能容納”理解為“裝有”而不是“裝滿”，9.8%的學(xué)生認(rèn)為超出容器內(nèi)部空間的部分也是杯子的容積;還有7.3%的學(xué)生認(rèn)為“哪個(gè)都不是”，對(duì)這部分學(xué)生的追訪如下——

為超出容器內(nèi)部空間的部分也是杯子的容積;還有7.3%的學(xué)生認(rèn)為“哪個(gè)都不是”，對(duì)這部分學(xué)生的追訪如下——

師你知道什么是容積嗎？可以舉例說明。

生容積就是在杯子里裝滿水。

師杯子里只能裝水？

生可以裝液體。

師氣體可以嗎？

生不行。

師固體可以嗎？

生也不行。

師那如果是細(xì)沙呢？

生可以，但不能有縫隙，必須填滿整個(gè)杯子。

對(duì)于第（3）問，有14.6%的學(xué)生從容量的角度給出了解釋，認(rèn)為“容積就是一個(gè)容器的容量”，他們選擇了較為直觀的方式和貼近生活的語句來刻畫容積;同樣有14.6%的學(xué)生對(duì)容積的認(rèn)識(shí)相對(duì)準(zhǔn)確，認(rèn)為“容積就是一個(gè)可容納物體的物體能裝多少東西，東西的體積就是物體的容積”;而有44%的學(xué)生對(duì)容積的描述含混不清或不知道怎樣解釋;有12.2%的學(xué)生對(duì)容積的理解完全錯(cuò)誤，主要是與重量（質(zhì)量）相混淆;此外，有14.6%的學(xué)生將容積與體積混淆，認(rèn)為“容積就是一個(gè)物體的體積”。舉例說明“什么是容積”時(shí)，70%的學(xué)生只舉出“杯子裝水”的例子。

二、基于前測(cè)調(diào)研的教學(xué)思考

（一）圍繞“比較”，在問題解決中建構(gòu)概念本質(zhì)

在“圖形與幾何”中，無論是周長(zhǎng)、面積還是體積，都屬于求“積”問題。而一切求“積”問題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)都源于比較。因此，在認(rèn)識(shí)體積和容積概念時(shí)，學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)圍繞“比較”展開。

幫助學(xué)生建構(gòu)體積概念一般分三個(gè)層次：感知物體都各自占有一定的空間;感知所占空間有大有小;感知所占空間大小是可以分辨和確定的。比如，把桌斗清空，伸出雙手去摸一摸桌斗，感受一下桌斗的空間;把一摞書放進(jìn)去，再摸一摸桌斗的空間，體會(huì)其變化。借助這樣的想象、知覺活動(dòng)，讓學(xué)生初步清晰地感受“空間”以及“物體是占空間的”。

接下來，需要對(duì)物體所占空間的大小進(jìn)行比較，這里的比較一般分兩個(gè)層次：一是直接通過目測(cè)觀察就可以分辨出來的，比如，比較空調(diào)、水杯、乒乓球這三個(gè)物體所占的空間。通過看、找、想、說的活動(dòng)，學(xué)生經(jīng)歷目測(cè)觀察與數(shù)學(xué)描述的過程，初步感知物體不僅是占空間的，而且它們所占的空間還有大小之分。比如吹氣球的演示，讓學(xué)生感悟不僅固體占空間，而且氣體也占空間且占的空間會(huì)不斷發(fā)生變化，有利于學(xué)生感悟和理解體積概念的豐富內(nèi)涵。二是直接通過目測(cè)觀察無法分辨出來的，比如，比較土豆和紅薯這兩個(gè)物體所占的空間（如前測(cè)題目2）。這時(shí)需要設(shè)計(jì)一些實(shí)驗(yàn)方案進(jìn)行比較，這也是課堂教學(xué)的核心活動(dòng)。對(duì)于土豆和紅薯這樣兩個(gè)目測(cè)無法分辨出誰所占空間大的物體，啟發(fā)學(xué)生思考設(shè)計(jì)不同的實(shí)驗(yàn)方案，或榨成泥后比、或水測(cè)（溢測(cè)）、或比表面積、或比質(zhì)量等，在對(duì)實(shí)驗(yàn)方案是否可行的質(zhì)疑交流中，對(duì)表面積、質(zhì)量這兩個(gè)干擾因素進(jìn)行層層剝繭、深入認(rèn)識(shí)。最后通過現(xiàn)場(chǎng)演示水測(cè)法實(shí)驗(yàn)，對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀察與描述，進(jìn)一步感知：物體都占一定的空間、所占空間有大有小、所占空間大小可以確定。至此，體積概念的建立變得豐滿、水到渠成。

在認(rèn)識(shí)容積概念時(shí)也是一樣，可以圍繞“比較”來設(shè)計(jì)活動(dòng)。比如，設(shè)疑：兩個(gè)目測(cè)無法分辨出誰的內(nèi)部空間大的杯子，誰裝的水多呢？同樣激發(fā)學(xué)生通過設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案來解決問題。在實(shí)驗(yàn)演示、求證、比較、描述的過程中，幫助學(xué)生感知容器不止能容納物體，而且所能容納的物體還有多有少，感知容積的含義，建立容積的概念。

（二）圍繞“偏差”，在障礙沖突中領(lǐng)悟概念內(nèi)涵

小學(xué)階段有些數(shù)學(xué)概念的表述是比較抽象和難以理解的。比如，教材是采用體積來定義、刻畫容積的：“容器所能容納物體的體積，是容器的容積?！睂?duì)于“所能容納”，學(xué)生很容易產(chǎn)生認(rèn)識(shí)上的偏差和誤解。

為此，在通過“杯子倒水”初步認(rèn)識(shí)容積的基礎(chǔ)上，再采用“杯子裝米”（如前測(cè)題目3）的漸進(jìn)方式，幫助學(xué)生在質(zhì)疑交流中，矯正認(rèn)識(shí)上的偏差和誤解。讓學(xué)生在真切感受中進(jìn)行比較，在比較中產(chǎn)生認(rèn)識(shí)沖突，在辨析沖突中達(dá)成平衡和一致，從而準(zhǔn)確理解“所能容納”是指杯子中的米正好裝滿，沒有縫隙，也沒有超出;而且能很直觀地遷移：杯子里即使沒有裝東西，也是有容積的;杯子里米的量在變化，但杯子的容積沒有發(fā)生改變，相同杯子的容積是相等的。通過這樣的問題串設(shè)計(jì)，能夠幫助學(xué)生更透徹地理解容積概念的本質(zhì)。

（三）圍繞“關(guān)聯(lián)”，在猜測(cè)想象中透徹概念理解

在建立體積和容積概念的基礎(chǔ)上，還需要幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)這兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，讓學(xué)生將體積和容積內(nèi)化為自己的概念。這里，重在明晰兩種情況：

一是同體積的物體容積未必相同。呈現(xiàn)兩個(gè)外觀大小相同的紙箱，提問：這兩個(gè)紙箱誰的體積大？在學(xué)生得出體積相同的回答后，進(jìn)一步讓學(xué)生猜一猜：它們的容積是否也相同？有學(xué)生認(rèn)為容積也一樣;有學(xué)生認(rèn)為如果兩個(gè)紙箱里面的構(gòu)造一樣，它們的容積就相同，如果里面的構(gòu)造不一樣，容積就不同。教師適時(shí)打開兩個(gè)紙箱，呈現(xiàn)內(nèi)部的不同構(gòu)造，學(xué)生觀察到紙箱壁的厚度不一樣，這種情況下容積是不相同的（如圖3）。從而讓學(xué)生明確：容器容積的大小不能只看外表，體積相同的兩個(gè)物體（容器）容積不一定相同。

二是同一個(gè)物體（容器）的體積大于容積。還是以紙箱為例，漸次呈現(xiàn)三個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生在想象中思考：如果紙箱的外壁不斷加厚，體積和容積有什么變化？如果紙箱的內(nèi)壁不斷加厚，體積和容積有什么變化？如果紙箱的內(nèi)壁不斷變薄，體積和容積又有什么變化？在這樣充滿挑戰(zhàn)的漸進(jìn)式問題情境中，學(xué)生邊想象邊體會(huì)體積和容積隨著壁厚的變化而變化。特別是對(duì)第三個(gè)問題，學(xué)生逐漸想象到“零厚度”，此時(shí)容積即等于體積，滲透了極限思想。這個(gè)過程在培養(yǎng)空間想象力的同時(shí)，發(fā)展了學(xué)生的高階思維，進(jìn)而讓核心概念的建構(gòu)與理解走向深刻。