(中國航空工業(yè)集團公司雷華電子技術(shù)研究所，江蘇無錫 214063)

0 引 言

先敵發(fā)現(xiàn)是對敵實施攻守行動的首要環(huán)節(jié)，也是信息化戰(zhàn)爭的關(guān)鍵階段之一。雷達作為戰(zhàn)場感知的主傳感器，實現(xiàn)雷達的快速搜索是先敵發(fā)現(xiàn)的必要條件之一；在現(xiàn)代中遠(yuǎn)程空戰(zhàn)中，預(yù)警機的引導(dǎo)與指揮發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，在預(yù)警機提供的先驗信息下，戰(zhàn)斗機能夠?qū)崿F(xiàn)快速準(zhǔn)確的發(fā)現(xiàn)目標(biāo)和打擊目標(biāo)；現(xiàn)代戰(zhàn)機所裝備的有源相控陣?yán)走_具有波束捷變的特點，在空域快速搜索方面潛力巨大。因此，如何有效利用預(yù)警機的先驗信息來實現(xiàn)相控陣?yán)走_的最優(yōu)搜索是一個值得研究的方向。

關(guān)于相控陣?yán)走_搜索問題，學(xué)術(shù)界已有較多的研究成果。文獻[1]對搜跟一體化情況下的搜索參數(shù)進行研究；文獻[2]對搜索駐留時間和幀周期進行研究；文獻[3-5]對搜索數(shù)據(jù)率進行了優(yōu)化；文獻[6-9]各自針對不同的搜索工作參數(shù)，研究了優(yōu)化算法。

現(xiàn)有的最優(yōu)搜索模型主要考慮雷達時間資源的約束，較少從實際作戰(zhàn)需求的角度進行約束條件的分析。對于雷達探測威力區(qū)內(nèi)已有目標(biāo)存在的情況，空域的初始搜索順序優(yōu)化要比搜索數(shù)據(jù)率的優(yōu)化更為重要，然而，現(xiàn)有搜索模型較少考慮這方面問題；對于最優(yōu)搜索過程中提出的多目標(biāo)優(yōu)化問題，現(xiàn)有文獻大都采用遺傳算法、粒子群算法等智能算法來進行模型的求解，雖然，這些算法能夠獲得有效解，但是，搜索速度較慢，相比于在實際作戰(zhàn)過程中需要實時在線優(yōu)化搜索參數(shù)的問題來說，上述算法更適用于離線優(yōu)化問題，工程應(yīng)用價值不高。

本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，從預(yù)警機引導(dǎo)戰(zhàn)斗機雷達搜索的角度出發(fā)，建立了一種更為全面、更符合實際作戰(zhàn)需求的雷達最優(yōu)搜索模型，并提出了一種適用于實際工程應(yīng)用的實時求解算法。

1 基于預(yù)警機引導(dǎo)信息的雷達搜索問題描述

在實際作戰(zhàn)過程中，預(yù)警機引導(dǎo)戰(zhàn)斗機到達作戰(zhàn)空域，為了不提前暴露，戰(zhàn)斗機會在預(yù)警機的指引下確認(rèn)敵機進入己方探測威力區(qū)后再打開雷達進行小范圍搜索，在打開雷達后，也有可能會有新的目標(biāo)進入雷達的探測威力區(qū)，此時，預(yù)警機同樣可以為戰(zhàn)斗機雷達提供新目標(biāo)的大概方位以及數(shù)量。

在不考慮射頻隱身性能的前提下，根據(jù)雷達搜索任務(wù)需求[6]，本文采用以下搜索優(yōu)化準(zhǔn)則：1)目標(biāo)累積發(fā)現(xiàn)概率最大準(zhǔn)則；2)目標(biāo)平均發(fā)現(xiàn)時間最小準(zhǔn)則。

針對預(yù)警機引導(dǎo)戰(zhàn)斗機雷達搜索過程，雷達的搜索目標(biāo)可以分為以下兩類：1)打開雷達時，探測威力區(qū)內(nèi)已存在的目標(biāo)(現(xiàn)有目標(biāo))；2)后續(xù)進入雷達探測威力區(qū)內(nèi)的目標(biāo)(后續(xù)目標(biāo))，本文假設(shè)后續(xù)目標(biāo)均從雷達扇形搜索區(qū)域的最大探測距離邊界進入。

2 最優(yōu)搜索模型的建立

2.1 模型描述

根據(jù)預(yù)警機的引導(dǎo)信息將搜索的扇形空域劃分成如圖1所示的M×N個子空域，即M行、N列，其中，行以距離為單位進行劃分，列以角度(這里的角度具體指方位角)為單位進行劃分。圖1中空域Λij表示第j行、第i列子空域。

圖1 子空域劃分示意圖

2.2 優(yōu)化目標(biāo)分析

根據(jù)本文采用的兩個優(yōu)化準(zhǔn)則分別建立兩個性能評價函數(shù)，即目標(biāo)累積發(fā)現(xiàn)概率和目標(biāo)平均發(fā)現(xiàn)時間。

1) 目標(biāo)累積發(fā)現(xiàn)概率

由文獻[5]可知，目標(biāo)累積發(fā)現(xiàn)概率為

(1)

式中，pij為雷達在子空域Λij的平均探測概率，nij為更新時間Tg內(nèi)子空域Λij的照射次數(shù)，ωij為各子空域的權(quán)重。

2) 目標(biāo)平均發(fā)現(xiàn)時間

由文獻[5]可知，目標(biāo)被發(fā)現(xiàn)的平均時間為

t0i+Tsi·(1/pij-1)

(2)

式中，Tsi為第i列子空域的搜索間隔，t0i為第i列子空域中目標(biāo)從出現(xiàn)到緊接一幀搜索時刻的平均時間，k為目標(biāo)被發(fā)現(xiàn)前的等待周期。

考慮到各子空域的權(quán)重ωij后，整個空域內(nèi)目標(biāo)被發(fā)現(xiàn)的平均時間為

(3)

對于現(xiàn)有目標(biāo)，第i列子空域中目標(biāo)從出現(xiàn)到緊接一幀搜索時刻的平均時間為t0i即為該子空域的初始搜索時間，與子空域的初始搜索順序有關(guān)，假設(shè)第i列子空域的初始搜索順序為μi，則t0i的計算方法如下：

(4)

式中，Tk為搜索第k列子空域的時間。

對于后續(xù)目標(biāo)，t0i則與目標(biāo)出現(xiàn)的隨機過程有關(guān)，假設(shè)進入子空域的目標(biāo)流服從泊松流，則t0i的計算方法如下[5]：

(5)

2.3 約束條件分析

1) 雷達搜索時間約束分析

約束條件為搜索時間占雷達總時間資源的比例per(0≤per≤1)，因此，建立約束條件如下：

(6)

式中，Λ為所有列向子空域的集合，Λ=[1,2,…,N]，Ti為搜索第i列子空域的時間，ni為更新時間Tg內(nèi)第i列子空域的照射次數(shù)，ni=Tg/Tsi。

2) 照射次數(shù)ni約束分析

顯而易見，每個子空域在更新時間Tg內(nèi)的照射次數(shù)ni需滿足以下約束條件：

0

(7)

3) 目標(biāo)最晚發(fā)現(xiàn)時間約束分析

在某些情況下，雷達在對目標(biāo)進行搜索時對重點區(qū)域的目標(biāo)會提出最晚發(fā)現(xiàn)時間的要求，因此，建立約束條件如下：

(8)

第i列子空域現(xiàn)有目標(biāo)的最晚發(fā)現(xiàn)時間為t0i。

為了建立第i列子空域后續(xù)目標(biāo)最晚發(fā)現(xiàn)時間的數(shù)學(xué)模型，可以假設(shè)當(dāng)目標(biāo)累積發(fā)現(xiàn)概率超過一定閾值P0后一定會被檢測到。本文假設(shè)后續(xù)目標(biāo)均從雷達扇形搜索區(qū)域的最大探測距離邊界進入，并且在搜索更新時間Tg內(nèi)目標(biāo)還未進入其他子空域，因此，第i列子空域后續(xù)目標(biāo)在等待k個周期后被發(fā)現(xiàn)的概率為

Pki=piM·(1-piM)k

(9)

式中，piM為第M行、第i列子空域的平均探測概率。

根據(jù)假設(shè)：Pki≥P0時目標(biāo)一定會被檢測到，可計算出目標(biāo)最晚在等待Ki個周期后一定會被發(fā)現(xiàn)，因此，第i列子空域后續(xù)目標(biāo)最晚發(fā)現(xiàn)時間為

(10)

將式(10)代入式(8)可得

(11)

(12)

式中，ε∈R+，且ε→0，即ε為趨于0的正實數(shù)。

2.4 通用多目標(biāo)優(yōu)化模型建立

根據(jù)2.2節(jié)和2.3節(jié)建立通用優(yōu)化模型：

(13)

2.5 兩步優(yōu)化模型建立

對于現(xiàn)有目標(biāo)來說，上述建立的通用優(yōu)化模型的優(yōu)化參數(shù)包括子空域的初始搜索時間T0以及子空域的搜索數(shù)據(jù)率Tsi；對于后續(xù)目標(biāo)來說，優(yōu)化參數(shù)只包括子空域的搜索數(shù)據(jù)率Tsi。對于兩類目標(biāo)即對應(yīng)的兩個搜索階段無法同時進行參數(shù)的優(yōu)化。為了解決上述問題，本文采用一種兩步優(yōu)化的方法。

1) 一步優(yōu)化

在搜索的初始階段，對于雷達探測威力區(qū)內(nèi)現(xiàn)有目標(biāo)的發(fā)現(xiàn)時間，子空域的初始搜索時間遠(yuǎn)比搜索數(shù)據(jù)率重要。一般在預(yù)警機的指引之下，雷達會在比較有把握的區(qū)域開機，即此時的探測概率較高。從數(shù)學(xué)角度分析，此時優(yōu)化模型式(13)中的優(yōu)化目標(biāo)f1意義不大；另一方面，探測概率較高時，假設(shè)雷達可以一次探測到目標(biāo)，此時，可以不用考慮數(shù)據(jù)率的影響。因此，可以將優(yōu)化模型式(13)簡化為

(14)

由于上述優(yōu)化目標(biāo)只對子空域的初始搜索順序進行優(yōu)化，因此，不存在約束條件。

2) 二步優(yōu)化

在搜索的后續(xù)階段，基于目標(biāo)流服從泊松流、后續(xù)目標(biāo)均從雷達扇形搜索區(qū)域的最大探測距離邊界進入、在搜索更新時間Tg內(nèi)目標(biāo)還未進入其他子空域的假設(shè)，將式(5)代入式(13)后可得優(yōu)化模型如下：

(15)

式中，ωiM為第M行、第i列子空域的權(quán)重。

3 優(yōu)化問題求解

本文主要對二步優(yōu)化的求解方法進行研究。

為了使得分析過程更加簡潔，將優(yōu)化模型式(15)進行如下變形：

(16)

式中，k1i=ωiM，k2i=ωiM·(1/piM-0.5)·Tg，piL=1-piM。

(17)

式中：h′1和h′2分別為優(yōu)化函數(shù)h1和h2的歸一化參數(shù)；m1和m2分別為兩個優(yōu)化目標(biāo)的權(quán)值系數(shù)，m1+m2=1，可以通過調(diào)節(jié)m1和m2的大小來分配優(yōu)化目標(biāo)的重要程度。

3.1 嚴(yán)格凸函數(shù)證明

1) 優(yōu)化函數(shù)h1和h2在解空間上二階連續(xù)可微證明如下：

所以h1在解空間上二階連續(xù)可微。又因為

所以h2在解空間上二階連續(xù)可微。

2) 優(yōu)化函數(shù)h1和h2在定義域上每一點的Hessian矩陣都是正定的證明如下：

優(yōu)化函數(shù)h1的Hessian矩陣如下：

(18)

式中，β1i=k1i·(lnp2i)2。

(19)

式中，piL∈(0,1]，β1i>0。

同理，優(yōu)化函數(shù)h2的Hessian矩陣如下：

(20)

式中，β2i=2k2i。

(21)

3.2 拉格朗日結(jié)合障礙法求解

下面對具體的求解過程進行分析。

3.2.1 拉格朗日乘數(shù)法求最優(yōu)解

1) 拉格朗日函數(shù)

如式(22)所示的優(yōu)化問題的拉格朗日函數(shù)為

L(φ,λ)=H+λ·G

(22)

通過求解如式(23)所示的由N+1個方程構(gòu)成的非線性方程組在定義域上的解即可得到等式約束條件下優(yōu)化函數(shù)H的最優(yōu)解。

(23)

2) 牛頓迭代求解

由于式(23)所示的非線性方程組比較復(fù)雜，無法直接求出解析解，因此，需要采用牛頓迭代法進行求解。迭代方程如式(24)所示：

(24)

式中,

F(φk,λk)=

[F1(φk,λk)F2(φk,λk)…FN(φk,λk)]T

只有當(dāng)式(23)所示的非線性方程組的雅克比矩陣是非奇異的，該方程組才可以用牛頓迭代法進行正常求解。方程組的雅克比矩陣如式(25)所示：

(25)

經(jīng)過計算可得F′(φ,λ)的行列式：

(26)

在對ni進行約束的情況下，牛頓迭代有兩種結(jié)果：

1) 正常收斂，獲得迭代結(jié)果n*，判斷n*是否滿足定義域約束條件，如果滿足，則n*為式(17)的最優(yōu)解，如果不滿足，則需進行障礙法計算。

2) 無法收斂，采用障礙法進行次優(yōu)解的計算。

3.2.2 障礙法求次優(yōu)解

1) 障礙法

采用障礙法求解，可以將式(17)所示的帶有2N個不等式約束的優(yōu)化問題近似成如式(27)所示的等式約束問題[11]。

(27)

式中，Φ為對數(shù)障礙函數(shù)，t>0為確定近似精度的參數(shù)，在本文中Φ的具體表達式如式(28)所示：

(28)

式(28)所示的優(yōu)化問題與式(17)所示優(yōu)化問題的最優(yōu)解相差不超過2N/t，近似精度隨參數(shù)t的增加而不斷改進，然而，當(dāng)參數(shù)t很大時，很難用牛頓迭代法極小化函數(shù)tH+Φ，這是因為Hessian矩陣在靠近可行集邊界時會劇烈變動，因此，可以通過求解一系列形如問題(27)的優(yōu)化問題來規(guī)避上述困難，在這一系列問題中的參數(shù)t將逐漸增加，對于每個問題應(yīng)用牛頓方法求解時可以用上個t對應(yīng)問題的最優(yōu)解作為初始點開始迭代，具體方法可參考文獻[11]。本文主要對確定某一個t值后式(27)的求解方法進行描述。

對數(shù)障礙函數(shù)Φ的Hessian矩陣如式(29)所示：

(29)

(30)

2) 拉格朗日函數(shù)

針對式(27)建立的拉格朗日函數(shù)如下：

L(φ,λ)=(tH+Φ)+λ·G

(31)

對應(yīng)的最優(yōu)解需滿足如下方程：

(32)

3) 牛頓迭代求解

為了求解上述非線性方程組，同樣需要采用牛頓迭代法，此時，式(32)所對應(yīng)的雅克比矩陣為

(33)

式中，

對應(yīng)的行列式為

(34)

3.2.3 牛頓迭代初值的選取

由于牛頓迭代初值的選取對迭代算法的收斂性能有很大影響，本文分別采用以下3種方法確定迭代初值。

方法1：在解的范圍內(nèi)任意選取一組數(shù)值作為初值；

方法2： 選取優(yōu)化函數(shù)h1的最優(yōu)解作為初值；

方法3： 選取優(yōu)化函數(shù)h2的最優(yōu)解作為初值。

4 仿真分析

4.1 仿真場景設(shè)置

仿真場景設(shè)置如下：雷達方位角掃描范圍為[-60°,60°]，俯仰角掃描范圍為[-4.5°,4.5°]，最大探測距離為150 km，本文只考慮80～150 km范圍內(nèi)的空域；把搜索子空域按方位角和距離不同分為3×7個子空域，各子空域的重要程度和平均探測概率按目標(biāo)離雷達的距離進行設(shè)置，具體參數(shù)如表1所示；各子空域的搜索時間和目標(biāo)流強度按方位角進行設(shè)置，具體參數(shù)如表2所示；仿真時間為180 s。

表1 各行子空域參數(shù)表

表2 各列子空域參數(shù)表

4.2 拉格朗日結(jié)合障礙法求解性能分析

4.2.1 不同牛頓迭代初值收斂速度對比分析

1) 拉格朗日法求最優(yōu)解

在進行牛頓迭代收斂性能仿真時將殘差設(shè)置為10-6，不考慮目標(biāo)最晚發(fā)現(xiàn)時間約束時，拉格朗日法求取的最優(yōu)解大致都在定義域范圍內(nèi)，此時，3種牛頓迭代初值選取方法的收斂速度仿真結(jié)果如表3所示。

表3 3種初值選取方法的收斂性能對比

表3給出了m1=0.5時3種初值選取方式下牛頓迭代收斂步數(shù)的對比結(jié)果，從表中可以看出，無論選取何種初值都能快速收斂，最大收斂步數(shù)不過11步，3種方法相比之下，選取優(yōu)化函數(shù)h2的最優(yōu)解作為初值時收斂速度最快，最大收斂步數(shù)不超過3步。

2) 障礙法求次優(yōu)解

加入目標(biāo)最晚發(fā)現(xiàn)時間約束時，部分情況下需要用到障礙法求取次優(yōu)解。這里設(shè)置次優(yōu)解與最優(yōu)解的相差的精度不超過10-4，即2N/t<10-4，內(nèi)迭代的殘差為10-6，假設(shè)第4列子空域為重點空域，式(11)右邊的式子滿足以下條件：

(35)

此時，3種牛頓迭代初值選取方法的收斂速度仿真結(jié)果如表4所示，從表中可以看出在使用障礙法求解時，3種初值的選取方式迭代步數(shù)相差不大。

表4 3種初值選取方法的收斂性能對比

3) 初值選取

從上述分析可知，采用拉格朗日求解時，優(yōu)化函數(shù)h2的最優(yōu)解作為初值時收斂速度最快，采用障礙法求解時，3種初值條件的收斂速度相當(dāng)，因此，選取優(yōu)化函數(shù)h2的最優(yōu)解作為拉格朗日結(jié)合障礙法的初值是最為合理的。

4.2.2 拉格朗日結(jié)合障礙法與遺傳算法求解性能對比分析

本文采用遺傳算法中的NSGA-Ⅱ算法與拉格朗日結(jié)合障礙法的求解性能進行對比研究。

圖2 拉格朗日法與NSGA-Ⅱ優(yōu)化結(jié)果的對比

從優(yōu)化性能分析：圖2給出了m1=0.7時拉格朗日法和NSGA-Ⅱ算法的優(yōu)化結(jié)果，從圖中可以看出兩種方法計算的目標(biāo)平均發(fā)現(xiàn)時間相差不大，拉格朗日法略微好一點，但是拉格朗日法的目標(biāo)累積發(fā)現(xiàn)概率優(yōu)化結(jié)果明顯比NSGA-Ⅱ算法好，從理論上講拉格朗日法可以獲得最優(yōu)解，而NSGA-Ⅱ算法未必可以獲得最優(yōu)解，因此，拉格朗日法的優(yōu)化結(jié)果肯定不會比NSGA-Ⅱ算法差，但實際在計算過程中由于無法獲得拉格朗日函數(shù)的解析解，而是采用牛頓迭代進行計算，因此，采用拉格朗日獲得解也是近似最優(yōu)解的一個次優(yōu)解。圖3給出了m1=0.7時障礙法和NSGA-Ⅱ算法的優(yōu)化結(jié)果對比圖，從圖中可以看出兩種方法的優(yōu)化結(jié)果相當(dāng)?；谏鲜龇治觯窭嗜战Y(jié)合障礙法的優(yōu)化結(jié)果要優(yōu)于NSGA-Ⅱ算法。

圖3 障礙法與NSGA-Ⅱ優(yōu)化結(jié)果的對比

從計算時間分析：本文采用MATLAB統(tǒng)計仿真時長，NSGA-Ⅱ算法平均一次計算時間約為53.8 s，拉格朗日結(jié)合障礙法平均一次計算時間約為3 ms。因此，采用拉格朗日結(jié)合障礙法的計算速度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于NSGA-Ⅱ算法，滿足實時性的要求。

從上述分析可知，拉格朗日結(jié)合障礙法即凸優(yōu)化的方法明顯比NSGA-Ⅱ算法有優(yōu)勢，在實際工程中也具有更高的應(yīng)用價值。

4.3 最優(yōu)搜索算法性能分析

仿真場景如4.1節(jié)所述，為了與順序搜索進行對比分析，暫不考慮目標(biāo)最晚發(fā)現(xiàn)時間的約束。按照上述仿真場景采用遺傳算法計算子空域初始搜索順序，采用拉格朗日結(jié)合障礙法計算各子空域的最優(yōu)搜索數(shù)據(jù)率，并采用蒙特卡洛仿真對最優(yōu)搜索算法的有效性進行驗證，在蒙特卡洛仿真過程中，現(xiàn)有目標(biāo)根據(jù)各子空域的目標(biāo)存在概率隨機生成，后續(xù)目標(biāo)根據(jù)各子空域的目標(biāo)流強度隨機產(chǎn)生。

圖4～圖7給出了不同搜索資源占用率下的蒙特卡洛仿真結(jié)果。圖4～圖6分別為現(xiàn)有目標(biāo)、后續(xù)目標(biāo)以及所有目標(biāo)按照子空域重要程度進行加權(quán)的平均發(fā)現(xiàn)時間，從圖中可以看出，無論對于何種目標(biāo)最優(yōu)搜索的平均發(fā)現(xiàn)時間都要小于順序搜索。圖7給出了不同搜索資源占用率條件下，仿真時長內(nèi)所有目標(biāo)的發(fā)現(xiàn)概率對比圖，從圖中可以看出，最優(yōu)搜索的發(fā)現(xiàn)概率要優(yōu)于順序搜索，特別是在搜索資源占用率較小的時候，最優(yōu)搜索的發(fā)現(xiàn)概率明顯優(yōu)于順序搜索，當(dāng)搜索資源占用率較大時，發(fā)現(xiàn)概率接近于飽和，二者差別并不明顯。

圖4 兩種搜索方式的現(xiàn)有目標(biāo)加權(quán)平均發(fā)現(xiàn)時間對比

圖5 兩種搜索方式的后續(xù)目標(biāo)加權(quán)平均發(fā)現(xiàn)時間對比

圖6 兩種搜索方式的所有目標(biāo)加權(quán)平均發(fā)現(xiàn)時間對比

圖7 兩種搜索方式的發(fā)現(xiàn)概率對比

從上述分析可知，最優(yōu)搜索的搜索性能要優(yōu)于順序搜索，特別是在搜索資源占用率較小的情況下，最優(yōu)搜索的優(yōu)勢更為明顯。

5 結(jié)束語

本文主要針對基于預(yù)警機引導(dǎo)信息的雷達搜索問題進行分析，將雷達的搜索目標(biāo)分為現(xiàn)有目標(biāo)和后續(xù)目標(biāo)兩類，并提出了通用的最優(yōu)搜索模型，針對現(xiàn)有目標(biāo)和后續(xù)目標(biāo)的特點和差異，提出了兩步優(yōu)化的策略；針對遺傳算法、粒子群算法等智能算法搜索速度慢，不適用于實際作戰(zhàn)的問題，將最優(yōu)搜索多目標(biāo)優(yōu)化模型轉(zhuǎn)換成單目標(biāo)凸優(yōu)化問題，并提出拉格朗日結(jié)合障礙法實現(xiàn)搜索數(shù)據(jù)率的快速優(yōu)化。通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)驗證了該方法的合理性，并對牛頓迭代初值的選取方法進行研究。最后對本文提出的最優(yōu)搜索模型和求解方法的合理性進行仿真驗證。

通過仿真結(jié)果可以看出：1)從優(yōu)化性能和計算速度兩個方面來說，拉格朗日結(jié)合障礙法都優(yōu)于遺傳算法；2)最優(yōu)搜索算法的搜索性能優(yōu)于順序搜索，尤其在搜索資源占用率較小的情況下，最優(yōu)搜索的優(yōu)勢更為明顯。