翟愛國(guó)

解三角形問(wèn)題的考查主要體現(xiàn)在正弦、余弦定理的應(yīng)用.解三角形及其應(yīng)用的題目難度大、綜合性強(qiáng)，解題需要一定技巧.很多同學(xué)在解題時(shí)經(jīng)常因?yàn)閷忣}不細(xì)、考慮不周、方法不當(dāng)?shù)仍蚨д`.下面就同學(xué)們?cè)诮忸}中常出現(xiàn)的錯(cuò)誤分類辨析如下，供大家參考.

一、忽視三角形解的情況的討論

例1 在△ABC中，已知a=5，b=4，A= 120°，不解三角形，判斷三角形解的個(gè)數(shù).

錯(cuò)解 因?yàn)閎sin A=4sin 120°=2√3>a，所以△ABC有兩組解.

辨析事實(shí)上，A為鈍角，則角B只能是銳角，不可能有兩個(gè)解，只能有一個(gè)解.

正解 只有一個(gè)解.

點(diǎn)評(píng) 正弦定理能夠解決兩類問(wèn)題：（l）已知兩角及其一邊，求其他的邊和角，這時(shí)有且只有一解.（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角，由于正弦函數(shù)在區(qū)間（0，π）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，此時(shí)三角形解的情況可能是無(wú)解、一解、兩解.我們可通過(guò)幾何法來(lái)判斷三角形解的個(gè)數(shù).如：在△ABC中，已知a，b和A時(shí)解的情況如下：當(dāng)A為銳角時(shí)，見圖1;當(dāng)A為直角或鈍角時(shí)，見圖2.

辨析 由題意b>a，所以B>A.因此A=150°是不可能的.錯(cuò)解沒(méi)有認(rèn)真審題，未能利用好限制條件.所以在解題時(shí)，要善于應(yīng)用題中的條件，全面細(xì)致地分析問(wèn)題，避免錯(cuò)誤發(fā)生，

三、忽視邏輯聯(lián)結(jié)詞的理解

例4在△ABC中，acos A=bcos B，試判斷△ABC的形狀.

錯(cuò)解 在△ABC中，因?yàn)閍cos A=bcos B，由正弦定理得2Rsin A cos A=2Rsin B cos B，

所以sin 2A=sin 2B，所以2A=2B，且2A+2B=180。.

所以A=B且A+B=90°，故△ABC為等腰直角三角形.

辨析錯(cuò)解由于對(duì)三角公式不熟，不理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”的意義，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤.

正解 在△ABC中，因?yàn)閍cos A=bcos B，所以sin 2A=sin 2B，

所以A=B或A+B=90°，

故△ABC為等腰三角形或直角三角形.

四、忽視轉(zhuǎn)化過(guò)程的等價(jià)性

例5 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知c=2，c=π/3，若sin c+sin（B-A） =2sin 2A，求△ABC的面積.

錯(cuò)解由題得sin（B+A）+sin（B-A）=4sin Acos A，即sin Bcos A=2sin Acos A，得sin B=2sin A.

3，所以a的取值范圍為（1，3）.

以上列舉了在解三角形中常見的錯(cuò)誤，希望通過(guò)上面的總結(jié)能給同學(xué)們的學(xué)習(xí)帶來(lái)幫助.同時(shí)，面對(duì)自己的錯(cuò)誤，要認(rèn)真找出錯(cuò)的原因，分析思維的障礙，在思考中經(jīng)歷錯(cuò)誤矯正，反思構(gòu)建，借誤導(dǎo)悟，誤悟共舞，才能更好地感悟數(shù)學(xué)，形成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)，進(jìn)一步提升分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，才能跳出“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的怪圈。