王田，于慎波，范季錚，梁贏東

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110870)

0 前言

機(jī)械加工中的顫振不僅會(huì)降低被加工表面質(zhì)量和加工精度，而且嚴(yán)重時(shí)還會(huì)損壞刀具與機(jī)床[1]。在銑削加工中，顫振是國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)。最早的機(jī)床顫振理論是由F.W.Taylor在20世紀(jì)初提出的，他認(rèn)為顫振是由于切削頻率與機(jī)床結(jié)構(gòu)中某一部分的固有頻率相同，產(chǎn)生共振所引起的[2]。1946年Arnold首次提出摩擦型顫振理論，他認(rèn)為摩擦型顫振是由于切削過(guò)程中刀具與工件之間在切削速度方向上摩擦作用引起的[3]。T.R.Sisson指出切削過(guò)程中切削力與切削速度成反比是產(chǎn)生摩擦型顫振主要原因之一[4]。Peter Stelter將車(chē)刀簡(jiǎn)化成懸臂梁模型，指出其在受到干摩擦力作用時(shí)會(huì)發(fā)生摩擦型顫振[5]。1954年J.Tlusty首次提出振型耦合型顫振，他指出振動(dòng)系統(tǒng)在兩個(gè)自由度方向上剛度接近時(shí)，產(chǎn)生耦合效應(yīng)從而導(dǎo)致振型耦合型顫振發(fā)生[6]。于俊一等通過(guò)考慮耦合效應(yīng)、耦合效應(yīng)與再生效應(yīng)的綜合作用，指出機(jī)床工藝系統(tǒng)剛度主軸的最佳方位與動(dòng)態(tài)切削力的構(gòu)成有關(guān)[7]。Gasparetto通過(guò)建立耦合型顫振模型，分析刀具在切削過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)軌跡，得出了切削的穩(wěn)定性條件[8]。R.S.Hahn在1954年提出再生型顫振理論，他指出在有振紋的工件表面上進(jìn)行切削從而引起振紋再生效應(yīng)，當(dāng)滿(mǎn)足顫振產(chǎn)生的條件時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生再生型顫振[9]。在此理論基礎(chǔ)上，J.Tlusty和S.A.Tobias在同年指出再生型顫振中的動(dòng)態(tài)切削深度與動(dòng)態(tài)切削力會(huì)相互影響,并通過(guò)繪制顫振穩(wěn)定性葉瓣圖分析了切削加工系統(tǒng)在某一切深下的穩(wěn)定性[10,11]。后來(lái)有實(shí)驗(yàn)表明，低速切削加工時(shí)，過(guò)程阻尼可提高切削穩(wěn)定性極限，即抑制了顫振。過(guò)程阻尼的分析和建模是近年國(guó)際學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)[12,13]。Altintas 等將其列為尚未解決的切削顫振中的難點(diǎn)[14]。

Sisson和Kegg等最早注意到低速下工件切削表面和刀具后刀面接觸是阻尼增加的主要原因[15]。李忠群等以考慮過(guò)程阻尼的單自由度車(chē)削和二自由度銑削穩(wěn)定性建模分析為基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)顫振穩(wěn)定性的預(yù)測(cè)[16]。Tyler等將表面法線(xiàn)方向的過(guò)程阻尼力描述為切削深度、切削速度、刀具進(jìn)給速度和單一經(jīng)驗(yàn)系數(shù)的函數(shù),獲得了多自由度的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)[17]。Li和Sun等在高階時(shí)域算法中把再生效應(yīng)、螺旋角和過(guò)程阻尼引入到銑削系統(tǒng)擴(kuò)展動(dòng)力學(xué)模型中，保證了計(jì)算效率和精度[18]。李鐘昀運(yùn)用柯西變換改進(jìn)了二階半離散法，采用該方法和不動(dòng)點(diǎn)理論預(yù)報(bào)了銑削穩(wěn)定性與表面位置誤差[19]。

本文在傳統(tǒng)的銑削動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)上，建立了一種考慮過(guò)程阻尼的銑削動(dòng)力學(xué)模型，得到了銑削加工的穩(wěn)定性葉瓣圖。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，利用考慮過(guò)程阻尼的銑削動(dòng)力學(xué)方程得到的穩(wěn)定性葉瓣圖，比未考慮過(guò)程阻尼得到的穩(wěn)定性葉瓣圖精度更高，在低速區(qū)，穩(wěn)定性區(qū)域顯著增加。

1 過(guò)程阻尼

在銑削加工中，如果顫振發(fā)生，振幅增大。當(dāng)銑削刀具后刀面和工件加工表面之間存在相互作用時(shí)，產(chǎn)生過(guò)程阻尼。該阻尼增加了銑削穩(wěn)定性，特別是在低切削速度下，會(huì)對(duì)顫振產(chǎn)生抑制作用。圖1描述了過(guò)程阻尼機(jī)理。

圖1 過(guò)程阻尼的描述示意圖

當(dāng)每個(gè)刀齒從被加工工件波紋表面移除切屑時(shí)，在1點(diǎn)和3點(diǎn)之間產(chǎn)生過(guò)程阻尼力。人們普遍認(rèn)為，過(guò)程阻尼取決于刀具后刀面與工件接觸壓力和刀具后刀面壓入工件的體積。例如2點(diǎn)，后刀面與工件表面切向夾角逐漸減小為負(fù)值，壓入體積逐漸增大，干涉作用逐漸增強(qiáng)，這直接導(dǎo)致過(guò)程阻尼力的產(chǎn)生。然而，在點(diǎn)4，當(dāng)?shù)毒咴诒患庸すぜy表面上向上移動(dòng)時(shí)，干涉消失。Ahmadi和Ismail等[8]指出過(guò)程阻尼可以用等效粘性阻尼表示為：

(1)

式中，Ksp為壓痕系數(shù)，W為刀具后刀面的磨損帶寬度，a為軸向切削深度，v為切向速度v=πDΩ/60，D表示刀具直徑。

2 考慮過(guò)程阻尼的銑削穩(wěn)定域預(yù)測(cè)

在二自由度銑削系統(tǒng)中，考慮過(guò)程阻尼的銑削動(dòng)力學(xué)模型方程表示為

式(2)中切削力系數(shù)表達(dá)式為

過(guò)程阻尼力表達(dá)式為

將式(2)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表達(dá)式為

(3)

其中，M、C、K、q、H和G分別表示矩陣。

(4)

式中，矩陣A0為系統(tǒng)中時(shí)不變的常數(shù)項(xiàng)，矩陣A(t)和B(t)由動(dòng)態(tài)切削力決定的周期性矩陣，滿(mǎn)足A(t)=A(t+T)、B(t)=B(t+T)，T為時(shí)間周期且與時(shí)滯量相等。

A(t)=

(5)

Xk+1=[I-Fk+1]-1[(F0+F0，k)Xk
+Fm-1Xk+1-m+FmXk-m]

(6)

其中

F0=φ0

根據(jù)式(6)構(gòu)造離散映射表達(dá)式

Yk+1=DkYk

(7)

其中Yk可表示為

Yk=[Xk,Xk-1,…,Xk+1-m,Xk-m]T

(8)

(9)

矩陣P、Pm-1和Pm分別為

P=[I-Fk+1]-1(F0+F0，k

Pm-1=[I-Fk+1]-1Fm-1

Pm=[I-Fk+1]-1Fm

一個(gè)完整周期的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以通過(guò)Dk構(gòu)造出來(lái)。即

φ=Dm-1Dm-2…D1D0

(10)

最后，由Floquet理論可知，如果狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣φ的所有特征值模均小于1，則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

3 試驗(yàn)分析與驗(yàn)證

銑削穩(wěn)定性驗(yàn)證試驗(yàn)在某機(jī)床有限公司的G7-龍門(mén)式加工中心進(jìn)行，測(cè)試系統(tǒng)如圖2所示。所用銑刀型號(hào)為400R16R1006B32和刀片型號(hào)為APMT1604PDER-H2。刀具直徑100 mm，刀具齒數(shù)為6。進(jìn)行刀具結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析時(shí)，采用B&K3050A型6通道數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)；沖擊力錘型號(hào)為B&K8207；加速度傳感器B&K4508B。加工方式為銑槽，工件材料為45#鋼，尺寸為400 mm×400mm×50mm。由槽銑快速標(biāo)定法獲得切向力系數(shù)Kt=827 MPa，徑向力系數(shù)Kr=576 MPa，壓痕系數(shù)Ksp=1.5×105N/mm3，庫(kù)侖摩擦系數(shù)μ=0.3[8]。測(cè)得刀具的頻響函數(shù)如圖3所示。刀具模態(tài)參數(shù)見(jiàn)表1。

圖2 銑削試驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)

圖 3刀具的頻響函數(shù)

表1 刀具系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)

結(jié)合上述參數(shù)，利用Matlab編程計(jì)算，繪制出未考慮過(guò)程阻尼和考慮過(guò)程阻尼的穩(wěn)定性葉瓣圖，如圖4所示。對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)：與未考慮過(guò)程阻尼影響相比，考慮過(guò)程阻尼影響后低速區(qū)的穩(wěn)定切削區(qū)域增加顯著，在高度區(qū)穩(wěn)定性葉瓣圖幾乎是一致的，這意味著在高速切削條件下，過(guò)程阻尼對(duì)穩(wěn)定性葉瓣圖的影響不明顯。為了驗(yàn)證仿真結(jié)果的正確性，根據(jù)繪制的穩(wěn)定性葉瓣圖，選取考慮過(guò)程阻尼的穩(wěn)定性葉瓣曲線(xiàn)以下A點(diǎn)(主軸轉(zhuǎn)速為400 r/min、切削深度為1.5 mm)和以上B點(diǎn)(主軸轉(zhuǎn)速為400 r/min、切削深度為2 mm)的切削參數(shù)進(jìn)行測(cè)試分析，如圖5、圖6所示。通過(guò)對(duì)所采集加速度信號(hào)進(jìn)行FFT變換，觀察其時(shí)域信號(hào)及頻域信號(hào)的特征，判斷是否發(fā)生顫振。

圖4 考慮過(guò)程阻尼和不考慮過(guò)程阻尼的穩(wěn)定性葉瓣圖

圖5 A點(diǎn)加速度時(shí)域及頻域信號(hào)(n=400 r/min,a=1.5mm)

圖6 B點(diǎn)加速度時(shí)域及頻域信號(hào)(n=400 r/min,a=2mm)

從圖4可以看出A點(diǎn)時(shí)域信號(hào)平穩(wěn)可靠幅值較小，頻域信號(hào)所顯示的頻率主要發(fā)生在齒頻(400×6/60=40 Hz)及其倍頻處。此時(shí)，銑削加工過(guò)程穩(wěn)定，沒(méi)有出現(xiàn)顫振現(xiàn)象。而在觀察圖5時(shí)，可以看出B點(diǎn)的時(shí)域信號(hào)幅值明顯增大，并在頻域信號(hào)中出現(xiàn)了除齒頻及其倍頻以外的新的振動(dòng)頻率主要峰值頻率為592 Hz、1 184 Hz、1 776 Hz、2 368Hz、2 960 Hz，這些頻率均為592 Hz的倍頻。根據(jù)再生型顫振理論，倍周期分叉頻率fPD和準(zhǔn)周期分叉頻率fH表示兩種形式的再生型顫振頻率，其計(jì)算式分別為

(11)

(12)

4 結(jié)論

(1)在傳統(tǒng)的銑削動(dòng)力學(xué)模型基礎(chǔ)上建立了考慮過(guò)程阻尼的銑削動(dòng)力學(xué)方程，得出了穩(wěn)定性葉瓣圖。通過(guò)銑削試驗(yàn)驗(yàn)證了模型的正確性。

(2)研究結(jié)果表明，在低速區(qū)，過(guò)程阻尼對(duì)銑削穩(wěn)定性很大影響，穩(wěn)定性區(qū)域顯著增加。用考慮過(guò)程阻尼的銑削動(dòng)力學(xué)方程得到的穩(wěn)定性葉瓣圖，比用傳統(tǒng)的銑削動(dòng)力學(xué)方程得到的穩(wěn)定性葉瓣圖精度更高。為銑削參數(shù)的優(yōu)化提供了理論支撐和依據(jù)。