張 強(qiáng), 蔣 豹, 崔 巍,劉 巨保, 朱 昱

(東北石油大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,黑龍江大慶 163318)

隨著深井、超深井等鉆井技術(shù)不斷深入,受井筒約束的管柱,井底受壓段極易發(fā)生屈曲,管柱屈曲后與井壁進(jìn)行碰撞、摩擦,極易造成管柱的快速失效。Lubinski等[1]研究了鉆柱在垂直井眼中的穩(wěn)定性,給出了鉆柱正弦屈曲的臨界載荷。Lubinski等[2]利用能量法推導(dǎo)了等螺距和軸向壓力的關(guān)系式。Kwon等[3]采用非等螺距假設(shè),分析了自重作用下垂直管柱的螺旋屈曲。Hajianmaleki等[4]采用顯式有限元法,研究了垂直井有重管柱的屈曲問(wèn)題。Mitchell[5]、Lukasiewicz[6]、Thompson[7-8]和Gulyayev等[9]采用微分法、能量法、實(shí)驗(yàn)法和有限元等方法研究了管柱的屈曲問(wèn)題。國(guó)內(nèi)學(xué)者也對(duì)管柱屈曲進(jìn)行了研究,高國(guó)華等[10]給出了管柱正弦和螺旋屈曲方程的漸進(jìn)解。張永弘等[11]用三維光彈性應(yīng)力凍結(jié)法實(shí)驗(yàn)研究了管柱螺旋屈曲問(wèn)題。姜麗紅等[12]用DQ單元法分析了端部約束對(duì)鉆柱正弦屈曲的影響。黃文君等[13]用最小勢(shì)能原理研究了邊界條件對(duì)無(wú)重管柱螺旋屈曲的影響。孫友宏等[14]利用打靶法進(jìn)行了管柱的屈曲分析。岳欠杯等[15]用能量法與實(shí)驗(yàn)法研究了井筒內(nèi)受壓桿管后屈曲。尹飛等[16]研究了外壓作用下套管側(cè)向屈曲。Liu等[17]采用打靶法研究了有重管柱的后屈曲問(wèn)題,張強(qiáng)等[18]采用慢動(dòng)力法研究受壓扭管柱的靜力屈曲問(wèn)題,但均未考慮井筒的約束作用。王尊策等[19]基于梁-梁接觸理論對(duì)分層采油管柱進(jìn)行了屈曲分析。張強(qiáng)等[20]采用慢動(dòng)力法研究了懸掛管柱剛好發(fā)生螺旋屈曲的問(wèn)題。李子豐等[21]回顧了油氣井桿管柱力學(xué)研究進(jìn)展,Gao等[22]展望了懸掛管柱屈曲問(wèn)題的研究方法,提出連續(xù)接觸段采用微分方程的設(shè)想。黃文君等[23]根據(jù)這個(gè)設(shè)想將管柱屈曲問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性方程組。筆者摒棄常規(guī)方法中管柱屈曲撓曲線的假設(shè),施加初始擾動(dòng)力,虛擬較大的阻尼比,提出正向和逆向加載法,研究不同長(zhǎng)度管柱的屈曲過(guò)程。

1 模型建立

1.1 力學(xué)模型

正常作業(yè)的鉆柱,下入過(guò)程中的套管柱,起下過(guò)程中的油管柱等,管柱模型為上端懸掛,下端自由[24]。如果鉆壓過(guò)大或井下受阻,在管柱自重、摩擦力等載荷作用下,管柱下端受壓,易引起管柱自身屈曲。為此建立了如圖1所示的力學(xué)模型,管柱位移邊界取上下兩端鉸支,上端施加懸掛拉力FT,下端約束軸向位移,下端的約束反力即為井底受壓載荷FC。

(1)

式中,L為管柱總長(zhǎng)度,m;E為管柱的彈性模量,Pa;I為管柱橫截面對(duì)中性軸的慣性矩,m4;q為管柱的單位長(zhǎng)度重力,N/m。

同理,可得井底壓力FC和井口懸掛拉力FT,表示為

(2)

(3)

式中,FC為井底壓力,N;FT為井口懸掛拉力,N;LC為管柱受壓段長(zhǎng)度,m;LT為管柱受拉段長(zhǎng)度,m;ξC為受壓段無(wú)因次長(zhǎng)度;ξT為受拉段無(wú)因次長(zhǎng)度。

圖1 管柱屈曲力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model for buckling of suspended tubing

1.2 基本假設(shè)

力學(xué)模型做如下假設(shè):

(1)管柱在井筒內(nèi)的初始狀態(tài)是完全豎直的。管柱與井筒之間有初始環(huán)空間隙存在,管柱變形前軸線與井筒軸線完全重合。

(2)管柱屈曲后與井筒內(nèi)壁面接觸,考慮管柱與井筒之間摩擦力的影響。

(3)研究管柱屈曲的最終穩(wěn)定狀態(tài),忽略管柱上提或下放過(guò)程中的瞬態(tài)影響。

(4)忽略接頭等部件對(duì)屈曲的影響。

因此在不同的管柱總長(zhǎng)度條件下,利用新建立的力學(xué)模型,通過(guò)減小井口的懸掛拉力,將使管柱下端的壓力增大,使管柱發(fā)生屈曲。

2 計(jì)算方法

2.1 慢動(dòng)力法

慢動(dòng)力法是利用動(dòng)力學(xué)方法按照一定方式施加恒定外載荷,引入慣性力和阻尼力,考慮時(shí)間積分效應(yīng),設(shè)置較大的虛擬阻尼,計(jì)算一定的時(shí)間,求解動(dòng)力響應(yīng)直至穩(wěn)定。也就是利用動(dòng)力學(xué)方法解決靜力屈曲問(wèn)題[19]。

考慮懸掛管柱與井筒的非線性接觸,為了解決井筒內(nèi)管柱屈曲過(guò)程的收斂困難和算法不穩(wěn)定性問(wèn)題,利用無(wú)接觸管柱靜力屈曲的慢動(dòng)力法[18,20]進(jìn)行管柱非線性接觸的慢動(dòng)力分析。

2.2 動(dòng)力學(xué)方程

采用有限元法依據(jù)間隙元理論[25],經(jīng)過(guò)梁?jiǎn)卧烷g隙元的拼裝,管柱屈曲的動(dòng)力學(xué)方程為

(4)

其中

F(t)=Fw(t)+Fn(d)(t)+Fτ(d)(t),

C=αM.

取第1階的固有頻率f作為模態(tài)阻尼比,可得阻尼比ζ與質(zhì)量阻尼的關(guān)系式為

α=4πfζ.

(5)

不考慮預(yù)應(yīng)力的影響,兩端鉸支條件下管柱第1階的固有頻率為

(6)

式中，f為管柱頻率，Hz;ρ為管柱密度，kg/m3;A為管柱橫截面積,m2。

輸入較大的阻尼比ζ,采用Newmark直接積分法對(duì)式(4)進(jìn)行隱式有限元求解。若已知t時(shí)刻管柱的位移、速度和加速度,則可計(jì)算出t+Δt時(shí)刻管柱的動(dòng)力響應(yīng)。隨著計(jì)算時(shí)間延長(zhǎng)管柱屈曲構(gòu)型趨于穩(wěn)定,各節(jié)點(diǎn)無(wú)速度和加速度,方程(5)可退化成靜力屈曲問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)用慢動(dòng)力法對(duì)管柱靜力屈曲的求解。

2.3 載荷施加

外載荷包括井口懸掛拉力FT和管柱自重載荷qL,施加方式采用2種方法:正向加載法和逆向加載法。

(1)正向加載法。在一定時(shí)間內(nèi),按照正弦函數(shù)的方式,將外載荷施加到最大值,并一直保持。通過(guò)調(diào)整ξC值,進(jìn)行反復(fù)試算,觀察管柱撓度的計(jì)算結(jié)果是否屈曲。圖2給出了外載荷和擾動(dòng)力曲線。

管柱上端懸掛拉力FT(t)和管柱重力Fg(t)的施加函數(shù)分別為

(7)

(8)

其中

T=1/f,

mg=qL.

式中,m為管柱總質(zhì)量kg;g為自由落體加速度,m/s2;T為管柱固有周期,s。

圖2 正向加載法中的載荷施加Fig.2 Load applied in forward loading method

正向加載的最終懸掛拉力FT,end為

(9)

為了易于屈曲,施加了初始擾動(dòng),在管柱下端施加擾動(dòng)扭矩Mr(t),在管柱受壓段中部施加橫向擾動(dòng)力Fr(t),施加函數(shù)分別為

(10)

(11)

擾動(dòng)扭矩Mr0和橫向擾動(dòng)力Fr0取單位載荷,計(jì)算總時(shí)間取2個(gè)周期,即tend=2T。外載荷按照正弦波施加能夠減小對(duì)管柱的沖擊,使管柱響應(yīng)更平穩(wěn)。微小擾動(dòng)力是在初始施加,在后續(xù)分析中撤銷,不會(huì)影響管柱屈曲的臨界載荷。本文中采用初始擾動(dòng)力方式,既保持了管柱結(jié)構(gòu)的完整性,又實(shí)現(xiàn)了初始缺陷的施加。采用此種加載方式通過(guò)調(diào)整ξC反復(fù)計(jì)算,便會(huì)計(jì)算出管柱穩(wěn)定的正弦和螺旋屈曲構(gòu)型。

(2)逆向加載法。首先按照正向加載法獲得超過(guò)一個(gè)多螺距的屈曲構(gòu)型,然后上提管柱,逐漸增大懸掛拉力,從而減小管柱下端壓力,使管柱依次經(jīng)歷螺旋屈曲和正弦屈曲構(gòu)型,計(jì)算對(duì)應(yīng)的臨界載荷。圖3給出了逆向加載法的懸掛拉力曲線。

圖3 逆向加載法中的載荷施加Fig.3 Load applied in backward loading method

3 計(jì)算結(jié)果分析

3.1 計(jì)算參數(shù)

3.2 正向加載法螺旋屈曲分析

提取管柱受壓段每1/4段長(zhǎng)度位置的橫向撓度v和u,位置從上到下依次記為1、2和3。圖4給出了這3個(gè)位置處撓度(u/rC和v/rC)隨時(shí)間變化曲線,圖5給出了各個(gè)計(jì)算時(shí)間點(diǎn)的螺旋屈曲穩(wěn)定過(guò)程的平面二維圖,圖6給出了各個(gè)計(jì)算時(shí)間點(diǎn)管柱的三維空間屈曲構(gòu)型。

圖4 撓度隨時(shí)間變化曲線Fig.4 Deflection curve with time

由圖4可見(jiàn),計(jì)算時(shí)間達(dá)到2個(gè)周期時(shí),各點(diǎn)的撓度保持常值,管柱不存在速度和加速度,解決了采用慢動(dòng)力方法計(jì)算管柱靜力螺旋屈曲問(wèn)題。

由圖5可見(jiàn),當(dāng)t<0.37T時(shí),管柱與井壁未產(chǎn)生接觸;當(dāng)t=0.37T時(shí),管柱與井壁剛好有一個(gè)接觸點(diǎn);當(dāng)t=0.47T時(shí),管柱與井壁正好產(chǎn)生兩處接觸,管柱撓度具有螺旋屈曲特征;當(dāng)t=0.65T時(shí),管柱與井壁產(chǎn)生三處接觸;然后隨著時(shí)間增加,中間的接觸點(diǎn)逐漸往兩側(cè)擴(kuò)展,形成連續(xù)段接觸;當(dāng)t=1.72T時(shí),連續(xù)接觸段形成了一個(gè)完整螺距,且不再隨時(shí)間變化。

圖5 正向加載法中螺旋屈曲的穩(wěn)定過(guò)程Fig.5 Stable process of helical buckling in forward loading method

圖6 三維空間屈曲構(gòu)型Fig.6 Buckling configuration in 3D space

從圖6可見(jiàn),當(dāng)t≤1.26T時(shí),屈曲構(gòu)型隨著時(shí)間增加變化較大;當(dāng)1.26T1.72T時(shí),管柱的三維空間屈曲構(gòu)型不再隨時(shí)間增加而產(chǎn)生變化,說(shuō)明已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

綜上所述,采用正向加載法,計(jì)算時(shí)間在2個(gè)周期內(nèi)能夠得到穩(wěn)定的螺旋屈曲構(gòu)型。

3.3 逆向加載法屈曲過(guò)程分析

取無(wú)因次長(zhǎng)度ξL=8,采用逆向加載法,圖7給出了螺旋角隨管柱下端受壓載荷變化曲線,螺旋角以第1接觸點(diǎn)之間的角度度量,第1接觸點(diǎn)的說(shuō)明如圖8所示。

圖8 各種臨界載荷對(duì)應(yīng)的屈曲構(gòu)型Fig.8 Buckling configuration corresponding to critical loads

由圖7可知,隨著管柱上端拉力增加,管柱下端壓力逐漸減小,管柱的螺旋角θ也線性減小,但在圖中放大位置處,曲線表現(xiàn)出非線性特性,表明發(fā)生了剛螺旋的屈曲構(gòu)型。最后螺旋角突然消失,管柱呈直線狀態(tài)。阻尼比對(duì)剛發(fā)生螺旋屈曲有一定的影響,如圖中放大部分所示。但整體來(lái)看,阻尼比對(duì)管柱的螺旋角影響較小,隨著阻尼比減小影響也逐漸減小,表明逆向加載法對(duì)分析管柱屈曲是可行的。

取阻尼比為1,根據(jù)圖7的計(jì)算結(jié)果,圖8給出了各種臨界載荷對(duì)應(yīng)的屈曲構(gòu)型圖。圖8中圓點(diǎn)代表第1接觸點(diǎn),三角代表第2接觸點(diǎn),管柱下端部與第1接觸點(diǎn)之間為第1非接觸段,第1接觸點(diǎn)和第2接觸點(diǎn)之間為第2非接觸段,管柱上下端的第2接觸點(diǎn)之間為連續(xù)接觸段。

由圖8可見(jiàn),當(dāng)ξL=8.67時(shí),俯視圖的屈曲構(gòu)型中第2接觸點(diǎn)重合,螺旋角正好360°,管柱發(fā)生了以第2接觸點(diǎn)度量螺距的螺旋屈曲,此時(shí)第1接觸點(diǎn)之間的螺旋角為467.8°,見(jiàn)圖8(b);當(dāng)ξL=7.38時(shí),俯視圖的屈曲構(gòu)型中第1接觸點(diǎn)重合,螺旋角正好360°,管柱發(fā)生了以第1接觸點(diǎn)度量螺距的螺旋屈曲,此時(shí)第2接觸點(diǎn)之間的螺旋角為262.9°,見(jiàn)圖8(c);當(dāng)ξL=4.06時(shí),管柱剛發(fā)生螺旋屈曲,管柱撓曲線為空間三維曲線,與井筒存在2處接觸,接觸點(diǎn)之間的螺旋角為82.7°,見(jiàn)圖8(d);當(dāng)ξL=1.91時(shí),管柱發(fā)生正弦屈曲,管柱撓曲線為平面曲線,與井筒存在1個(gè)接觸點(diǎn),見(jiàn)圖8(e)。

取不同的阻尼比,各階屈曲模態(tài)的無(wú)因次臨界載荷見(jiàn)表1。由表1可知,阻尼比0.75≤ζ≤24.0時(shí),阻尼比對(duì)各個(gè)臨界載荷的影響甚微,逆向加載法得到的臨界載荷與正向加載法結(jié)果的最大誤差為1.55%,而與黃文君等[23]理論解的最大誤差為2.77%。另一方面,正弦屈曲臨界載荷與Lubinski等[1]的解析解1.94更接近,說(shuō)明逆向加載法的方法是合理的,同時(shí)表明計(jì)算精確度較高。

表1 屈曲無(wú)因次臨界載荷對(duì)比

3.4 管柱長(zhǎng)度對(duì)臨界載荷影響

圖9給出了不同管柱長(zhǎng)度條件下螺旋角隨受壓載荷變化曲線。在正弦屈曲、剛螺旋屈曲、以第1接觸點(diǎn)和第2接觸點(diǎn)度量一個(gè)完整螺距的屈曲條件下,圖10給出了隨管柱長(zhǎng)度變化的撓曲線。

由圖9可見(jiàn),在同一個(gè)受壓載荷作用下,管柱越長(zhǎng),對(duì)應(yīng)的螺旋角越大,表明達(dá)到同一個(gè)螺旋屈曲狀態(tài)時(shí),對(duì)應(yīng)的臨界載荷也越小,例如以第1和第2接觸段度量螺距便是這種情況。剛螺旋屈曲和正弦屈曲時(shí),管柱越長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的臨界載荷也越小。其中螺旋向正弦屈曲構(gòu)型轉(zhuǎn)變是一個(gè)突變的過(guò)程。

由圖10可見(jiàn),在同一種屈曲構(gòu)型中管柱下端的撓曲線基本一致。隨著管柱長(zhǎng)度增加,從受壓段到受拉段,管柱撓度逐漸趨于0,表明受拉段對(duì)螺旋屈曲的構(gòu)型有影響;但是,隨著管柱長(zhǎng)度增加,受壓段屈曲后的撓度趨于相同,也表明受拉段對(duì)螺旋屈曲受壓段長(zhǎng)度的影響是有一定限度的。

圖9 螺旋角隨受壓載荷變化曲線Fig.9 Change of helix angle with compression load

圖10 隨管柱長(zhǎng)度變化的撓曲線Fig.10 Deflection curve with tubing length changing

圖11 不同摩擦系數(shù)下管柱摩擦力隨受壓載荷曲線Fig.11 Change of friction force with compression load at different friction coefficient

在正弦屈曲、剛螺旋屈曲、以第1接觸點(diǎn)和第2接觸點(diǎn)度量一個(gè)完整螺距條件下,圖12給出了臨界載荷隨管柱無(wú)因次長(zhǎng)度曲線。由圖12可見(jiàn),隨著管柱無(wú)因次總長(zhǎng)度增加,無(wú)因次臨界載荷均逐漸減小并趨于常值。管柱無(wú)因次總長(zhǎng)度8≤ξL≤50時(shí),正弦屈曲無(wú)因次臨界載荷ξC從1.92減小到1.65,見(jiàn)圖12(a);剛螺旋屈曲的無(wú)因次臨界載荷ξC從4.06減小到3.84,見(jiàn)圖12(b);以第1接觸點(diǎn)度量螺距的無(wú)因次臨界載荷ξC從7.37減小到6.75,見(jiàn)圖12(c);以第2接觸點(diǎn)度量螺距的無(wú)因次臨界載荷ξC從8.65減小到7.48,見(jiàn)圖12(d)。

無(wú)因次總長(zhǎng)度ξL從8增加到30時(shí),這4種屈曲構(gòu)型的無(wú)因次臨界載荷分別減小了13.02%、5.17%、7.19%和12.14%,無(wú)因次總長(zhǎng)度ξL從30增加到50時(shí),對(duì)應(yīng)的臨界載荷分別減小了1.20%、0.26%、1.32%和1.58%,進(jìn)一步表明隨著管柱總長(zhǎng)度增加,其臨界載荷逐漸減小并趨于常值。

根據(jù)圖12的載荷曲線,利用Origin軟件中的Logistic函數(shù),進(jìn)行多項(xiàng)式曲線擬合,擬合具有較高的吻合度。得到的無(wú)因次臨界載荷的擬合公式為

ξC=A+(B-A)/[1+(ξL/E)F], 8≤ξL≤50.

(12)

式中,A、B、E和F為擬合系數(shù),表2給出了擬合公式及其各項(xiàng)系數(shù)。

圖12 管柱長(zhǎng)度對(duì)臨界載荷影響Fig.12 Effect of tubing length on critical load

表2 無(wú)因次臨界載荷的擬合公式

在工程應(yīng)用中,根據(jù)式(1)將管柱的總長(zhǎng)度L進(jìn)行無(wú)因次化,由于臨界載荷隨管柱長(zhǎng)度的增加而逐漸減小,并趨于常值,如果無(wú)因次總長(zhǎng)度ξL大于50,取ξL=50時(shí)的ξC。按照式(12)進(jìn)而得到管柱正弦屈曲、剛螺旋屈曲、以第1接觸點(diǎn)和第2接觸點(diǎn)度量一個(gè)完整螺距條件下的無(wú)因次臨界載荷ξC。

由于摩擦力對(duì)臨界載荷影響甚微,qL?FT+FC,可求出臨界載荷對(duì)應(yīng)的井口懸掛拉力FT,表示為

(12)

當(dāng)井口懸掛拉力大于FT時(shí),管柱在井底受壓段不會(huì)發(fā)生相應(yīng)的屈曲變形。

4 結(jié) 論

(1)提出的逆向加載法中,根據(jù)正向加載得到的穩(wěn)定螺旋屈曲構(gòu)型,逐漸增大懸掛拉力,從而減小了管柱的井底壓力,得到了相繼發(fā)生以第2接觸點(diǎn)和第1接觸點(diǎn)度量一個(gè)完整螺距的屈曲、剛螺旋屈曲和正弦屈曲的各階屈曲模態(tài)構(gòu)型。其中形成完整螺距的屈曲和正弦屈曲過(guò)程的螺旋角與井底壓力為線性關(guān)系,只有2接觸點(diǎn)的剛螺旋構(gòu)型的螺旋角與井底壓力呈現(xiàn)出非線性特性,螺旋屈曲構(gòu)型向正弦屈曲構(gòu)型轉(zhuǎn)變是一個(gè)突變的過(guò)程。

(2)摩擦力對(duì)臨界載荷的影響甚微。隨著管柱無(wú)因次總長(zhǎng)度增加,各階屈曲模態(tài)的無(wú)因次臨界載荷均逐漸減小并趨于常值。