田聰 鹿翔 張英杰2)? 夏云杰2)

1)(曲阜師范大學(xué)物理工程學(xué)院,曲阜 273165)

2)(山東省激光偏光與信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,曲阜師范大學(xué)物理系,曲阜 273165)

1 引 言

基于量子態(tài)間最短演化時(shí)間定義的量子速率極限時(shí)間引起了國(guó)內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注,并用來估量由給定量子態(tài)演化到期望目標(biāo)態(tài)的最大速率.對(duì)量子系統(tǒng)速率極限時(shí)間概念的研究主要針對(duì)閉合量子系統(tǒng)和開放量子系統(tǒng).到現(xiàn)在,對(duì)閉合系統(tǒng)幺正動(dòng)力學(xué)過程中量子速率極限的概念以及推廣應(yīng)用進(jìn)行了較為深入的研究[1?6],將Mandelstam-Tamm(M-T)型界[1]和 Margolus-Levitin(M-L)型界[3]結(jié)合在一起,給出了量子速率極限時(shí)間的定義表達(dá)式[4],用來描述在不顯含時(shí)間的系統(tǒng)哈密頓量幺正動(dòng)力學(xué)過程中兩正交態(tài)間演化速率.近年來,國(guó)內(nèi)外研究者將量子速率極限時(shí)間的研究從閉合系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到開放系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)上來.2013年,Deffner和Lutz[7]利用幾何辦法由布魯斯角出發(fā)分別推導(dǎo)出了開放系統(tǒng)量子速率極限的M-T型界和M-L型界,并將這兩種類型的界統(tǒng)一起來定義了量子速率極限時(shí)間.2018年,Campaioli等[8,9]用依賴于測(cè)量距離角度在廣義布洛赫球中狀態(tài)的方法推導(dǎo)了描述任意量子態(tài)在幺正或者非幺正動(dòng)力學(xué)過程中的量子速率極限時(shí)間.

一個(gè)快速演化的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)能夠起到保護(hù)量子關(guān)聯(lián)態(tài)的魯棒性,有利于量子態(tài)在量子模擬和量子計(jì)算中的應(yīng)用[10].在實(shí)際系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)過程中怎樣加快量子態(tài)演化的研究是一個(gè)重要方向,這不僅對(duì)理解量子速率極限的基本概念具有重要的理論意義,而且對(duì)基于實(shí)際系統(tǒng)的量子通信[11]、量子計(jì)算[12]、量子計(jì)量學(xué)[13]以及量子最優(yōu)調(diào)控[14]的發(fā)展很有裨益,近年來也引起了廣泛關(guān)注并報(bào)道了一些操控量子態(tài)演化速率的工作[15?20],利用文獻(xiàn)[7]中的量子速率極限時(shí)間,我們通過對(duì)量子比特實(shí)施一個(gè)連續(xù)的經(jīng)典場(chǎng)驅(qū)動(dòng),調(diào)節(jié)經(jīng)典場(chǎng)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度給出了一個(gè)加快量子系統(tǒng)演化速率的理論方案[21].美國(guó)的一個(gè)研究組基于腔量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),通過可控的原子系綜環(huán)境,實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了開放量子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)過程中量子態(tài)的加速演化[22].鑒于糾纏相干光場(chǎng)便于制備和操控[23,24],本文以雙模糾纏相干光場(chǎng)作為調(diào)節(jié)對(duì)象[25,26],利用一個(gè)二能級(jí)原子與其中一模式光場(chǎng)發(fā)生共振相互作用,探究如何通過雙模糾纏相干光場(chǎng)來操控二能級(jí)原子系統(tǒng)量子態(tài)的最大演化速率問題.但迄今為止,哪一種量子速率極限時(shí)間能更好地、普適地、嚴(yán)格地適用于任意系統(tǒng)量子態(tài)動(dòng)力學(xué)過程,還是值得繼續(xù)深入研究的重要問題.Deffner和Lutz[7]所給出的量子速率極限時(shí)間和Campaioli等[9]推導(dǎo)的量子速率極限時(shí)間得到了人們的廣泛關(guān)注.我們首先針對(duì)本文的二能級(jí)原子系統(tǒng)量子態(tài)的動(dòng)力學(xué)過程,比較上面兩種量子速率極限時(shí)間哪個(gè)能更好地表征量子態(tài)最大演化速率;基于較好的量子速率極限時(shí)間來分析雙模糾纏相干光場(chǎng)參數(shù)對(duì)原子系統(tǒng)量子態(tài)最大演化速率的操控.研究發(fā)現(xiàn):2018年Campaioli等[9]給出的量子速率極限時(shí)間能更好地分析二能級(jí)原子系統(tǒng)量子態(tài)最大演化速率的調(diào)控問題.與原子發(fā)生相互作用光場(chǎng)的相干參數(shù)在一定范圍內(nèi)能調(diào)控原子系統(tǒng)量子態(tài)動(dòng)力學(xué)過程中的最大演化速率.當(dāng)與原子發(fā)生相互作用光場(chǎng)的相干參數(shù)不能很好地利用該參數(shù)來操控量子態(tài)的最大演化速率時(shí),鑒于雙模糾纏相干光場(chǎng)的糾纏性,可以通過調(diào)節(jié)未與原子發(fā)生相互作用的另一光場(chǎng)的相干參數(shù)來遠(yuǎn)程操控原子系統(tǒng)量子態(tài)動(dòng)力學(xué)過程中所能達(dá)到的最大演化速率.

2 理論模型與體系的波函數(shù)

其中

為了更好地研究二能級(jí)原子系統(tǒng)量子態(tài)在動(dòng)力學(xué)過程中的演化速率,我們需要通過對(duì)光場(chǎng)a和b的自由度求跡,得到原子體系在動(dòng)力學(xué)過程中的約化密度矩陣,

其中

接下來可以根據(jù)近年來普遍關(guān)注的量子速率極限時(shí)間來表征二能級(jí)原子體系量子態(tài)在動(dòng)力學(xué)過程中的量子演化速率問題.

3 量子速度極限時(shí)間

量子體系演化過程中所能達(dá)到的最大演化速率通常可以用量子速率極限時(shí)間來表征,量子速率極限時(shí)間是兩量子態(tài)間演化所需的最短時(shí)間的一個(gè)緊的界.近年來,人們廣泛關(guān)注如何給出表征量子態(tài)最大演化速率的一個(gè)普適的、便于計(jì)算的、更緊的最短時(shí)間的界.基于不同的兩量子態(tài)間距離的度量方法以及不同的動(dòng)力學(xué)演化信道方式,已經(jīng)給出了很多種不同量子速率極限時(shí)間的定義.我們主要針對(duì)兩種便于計(jì)算并且經(jīng)常被用來表征不同體系量子態(tài)最大演化速率的量子速率極限時(shí)間來分析.考慮系統(tǒng)初始量子態(tài)和其目標(biāo)演化態(tài)ρs(τ),t為初始態(tài)到目標(biāo)態(tài)的實(shí)際演化時(shí)間,2013年,Deffner 和 Lutz[7]用幾何方法將 MT型界和M-L型界統(tǒng)一,并定義了描述量子系統(tǒng)初始量子態(tài)為純態(tài)情形的量子速率極限時(shí)間:

為了更準(zhǔn)確地表征二能級(jí)原子系統(tǒng)量子態(tài)在相干光場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)演化速率問題,首先需要比較上面兩種量子速率極限時(shí)間在本文動(dòng)力學(xué)過程的松緊性.考慮雙模糾纏相干光場(chǎng)的其一模式與二能級(jí)原子相互作用,利用(7)和(8)式分別計(jì)算出二能級(jí)原子初始量子態(tài)到目標(biāo)演化態(tài)動(dòng)力學(xué)過程的不同量子速率極限時(shí)間.兩種量子速率極限時(shí)間是初始量子態(tài)參數(shù)q、雙模糾纏相干光場(chǎng)參數(shù)(a,b)、光場(chǎng)與原子間耦合參數(shù)g和實(shí)際演化時(shí)間t等的復(fù)雜函數(shù),數(shù)值分析這些參數(shù)對(duì)兩種量子速率極限時(shí)間的影響.這里值得我們指出的是糾纏相干光場(chǎng)參數(shù)a和b的取值范圍,由于在時(shí)不正交,而在 |α|>2 和時(shí)近似正交;本文旨在利用雙模糾纏相干態(tài)的糾纏性來調(diào)控二能級(jí)原子量子態(tài)的演化速率,故下文中為方便起見,主要考慮雙模糾纏相干光場(chǎng)的參數(shù)為正實(shí)數(shù)且滿足

為了進(jìn)一步證實(shí)Campaioli等[9]的量子速率極限時(shí)間為最短演化時(shí)間更緊,圖2給出了二能級(jí)原子初始處于最大相干性為1的狀態(tài)θ=3π/4 時(shí),給定不同的實(shí)際演化時(shí)間τ=1 和τ=5,兩種量子速率極限時(shí)間與實(shí)際演化時(shí)間的比值τQSL/τ隨雙模糾纏相干光場(chǎng)參數(shù)a和b的變化規(guī)律.Campaioli等[9]的量子速率極限時(shí)間表達(dá)式(8)與Deffner和Lutz[7]提出的表達(dá)式(7)在糾纏相干光場(chǎng)參數(shù)a和b的變化范圍內(nèi)均為τQSL/τ<1,并且我們同樣可以得到Campaioli等[9]給出的量子速率極限時(shí)間表達(dá)式(8)更緊.并且通過比較圖2(a)和圖2(c),以及圖2(b)和圖2(d),實(shí)際演化時(shí)間τ=5 時(shí)Campaioli等[9]的量子速率極限的界仍然比Deffner和Lutz[7]提出的要緊,但是兩者量子速率極限時(shí)間的差別相對(duì)減小(與τ=1 情形相比較).通過進(jìn)一步數(shù)值模擬分析,發(fā)現(xiàn)在增大實(shí)際演化時(shí)間t時(shí),在τ>6 之后,兩種量子速率極限時(shí)間的圖形基本重合.也就是說,在二能級(jí)原子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)過程中,若考慮從原子初始態(tài)到經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間實(shí)際演化的目標(biāo)態(tài),Campaioli等[9]給出表達(dá)式(8)和Deffner和Lutz[7]提出的表達(dá)式(7)在表征原子體系動(dòng)力學(xué)過程的最大演化速率問題方面是等價(jià)的.根據(jù)上面的分析,我們采用2018年Campaioli等[9]給出的量子速率極限時(shí)間表達(dá)式(8)來分析二能級(jí)原子系統(tǒng)量子態(tài)演化速率的調(diào)控問題.

4 量子態(tài)最大演化速率的參數(shù)調(diào)控

基于量子速率極限時(shí)間概念,為了清晰地分析二能級(jí)原子系統(tǒng)與光場(chǎng)相互作用下量子態(tài)動(dòng)力學(xué)過程中所能達(dá)到的最大演化速率問題,首先考慮兩束處于糾纏相干光場(chǎng)中未參與相互作用光場(chǎng)b的相干參數(shù)β=0 的情形,這時(shí)整個(gè)系統(tǒng)描述為處于薛定諤貓態(tài)的光場(chǎng)a與二能級(jí)原子相互作用,光場(chǎng)b與原子系統(tǒng)量子態(tài)的動(dòng)力學(xué)行為無任何影響.下面研究光場(chǎng)a的相干參數(shù)a對(duì)原子初始態(tài)到目標(biāo)演化態(tài)ρs(τ)動(dòng)力學(xué)過程的量子速率極限時(shí)間的影響.圖3給出了對(duì)于不同實(shí)際演化目標(biāo)態(tài)ρs(τ)而言,原子系統(tǒng)量子態(tài)的量子速率極限時(shí)間與實(shí)際演化時(shí)間的比值τQSL/τ隨光場(chǎng)a的相干參數(shù)a的變化規(guī)律曲線.

最后,當(dāng)目標(biāo)態(tài)對(duì)應(yīng)的實(shí)際演化時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)(τ=15 ),在β=0 時(shí),光場(chǎng)a的相干參數(shù)a對(duì)量子速率極限時(shí)間的影響較小,不能很好地利用參數(shù)a來操控量子態(tài)的演化速率(如圖3中τ=15對(duì)應(yīng)曲線).通過引入雙模糾纏光場(chǎng)中未參與相互作用光場(chǎng)b的相干參數(shù)b來操控經(jīng)過較長(zhǎng)演化時(shí)間后原子系統(tǒng)量子態(tài)的演化速率.對(duì)于雙模糾纏相干光場(chǎng)初態(tài)為的情形,由圖5(a)可知,隨著b的增加τQSL/τ增大;對(duì)于雙模糾纏相干光場(chǎng)初態(tài)為時(shí),圖5(b)給出隨著b的增加τQSL/τ同樣也是增大的.可見對(duì)于所考慮的目標(biāo)態(tài)對(duì)應(yīng)的實(shí)際演化時(shí)間較長(zhǎng)時(shí),原子系統(tǒng)量子態(tài)演化過程中所能達(dá)到的最大演化速率被減小,減小了量子態(tài)動(dòng)力學(xué)過程中演化速率被加速提升的空間.綜上所述,當(dāng)原子與單模相干光場(chǎng)a相互作用時(shí),光場(chǎng)參數(shù)不能很好地來操控量子態(tài)的演化速率時(shí),我們可以引入另外一個(gè)單模相干光場(chǎng)b形成雙模糾纏相干光場(chǎng),這時(shí)兩光場(chǎng)模式間的糾纏可以實(shí)現(xiàn)光場(chǎng)b遠(yuǎn)程調(diào)控原子系統(tǒng)量子態(tài)的動(dòng)力學(xué)過程所能達(dá)到的最大演化速率.

5 結(jié) 論

基于腔量子電動(dòng)力學(xué)理論,考慮將雙模糾纏相干光場(chǎng)中某一光場(chǎng)模式與一個(gè)二能級(jí)原子發(fā)生共振相互作用的理論模型,利用量子速率極限時(shí)間概念我們主要探究如何操控原子系統(tǒng)量子態(tài)動(dòng)力學(xué)過程中所能達(dá)到的最大演化速率問題.鑒于Deffner和Lutz[7]所給出的量子速率極限時(shí)間和Campaioli等[9]推導(dǎo)的量子速率極限時(shí)間得到了人們的廣泛關(guān)注,本文首先比較了兩種量子速率極限時(shí)間表征量子態(tài)最大演化速率的優(yōu)越性,得到2018年Campaioli等[9]給出的量子速率極限時(shí)間表達(dá)式(8)在描述二能級(jí)原子系統(tǒng)量子態(tài)演化所需的最短時(shí)間的界時(shí)更緊.本文主要基于Campaioli等[9]給出的量子速率極限時(shí)間分析了雙模糾纏相干光場(chǎng)的參數(shù)對(duì)原子系統(tǒng)量子態(tài)最大演化速率的操控,得到了一些有意義的結(jié)論:與原子發(fā)生相互作用光場(chǎng)的相干參數(shù)在一定范圍內(nèi)能調(diào)控原子系統(tǒng)量子態(tài)動(dòng)力學(xué)過程中的最大演化速率;當(dāng)與原子發(fā)生相互作用光場(chǎng)的相干參數(shù)不能很好地利用該參數(shù)來操控量子態(tài)的最大演化速率時(shí),鑒于雙模糾纏相干光場(chǎng)奇妙的糾纏性,可以通過調(diào)節(jié)未與原子發(fā)生相互作用的另一模式光場(chǎng)的相干參數(shù)來遠(yuǎn)程操控原子系統(tǒng)量子態(tài)動(dòng)力學(xué)過程中所能達(dá)到的最大演化速率.