李太敏

（灌南縣教師發(fā)展中心，江蘇 灌南 222500）

數(shù)學(xué)教學(xué)有一條共識：利用問題尤其是問題串來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，更能促進學(xué)生發(fā)展，能較快地讓學(xué)生學(xué)會由已知走向未知，由淺顯走向深入，由感性走向理性。所謂問題串是指在一定的學(xué)習(xí)主題框架內(nèi)，圍繞一定目標(biāo)或重、難點，按照一定邏輯結(jié)構(gòu)精準(zhǔn)設(shè)計的一組問題，這組問題一般由三個或三個以上的問題連串而成，并通過這一個個問題指向數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗、方法、思想等發(fā)生與發(fā)展的過程，從而引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)。使用“問題串”進行數(shù)學(xué)教學(xué)能夠引導(dǎo)學(xué)生始終帶著問題進行積極自主思考，由外及內(nèi)、由表及里、由淺入深地進行自我建構(gòu)知識，并有利于將數(shù)學(xué)知識由簡單引向復(fù)雜，由知識理解等較淺層次引向分析、綜合、評價等較高層次。本文試以數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的引入片段為例來加以說明如何進行問題串設(shè)計。

一、遞進式問題串設(shè)計

遞進式問題串是指在設(shè)計問題串時依據(jù)一定的邏輯，按照淺深、輕重、緩急、本末等一定的次序?qū)訉油七M，前問是后問的基礎(chǔ)，后問是對前問的延伸，沒有前者就沒有后者，這樣的問題串連接的是有先后順序的且是連續(xù)發(fā)生的行為或思維過程等，后問比前問在意義上、范圍上更進一層或更擴大，即前后內(nèi)容有程度的加深或者范圍的擴大。

案例1《等差數(shù)列的前n項和》引入設(shè)計片段

師：今天學(xué)習(xí)的是等差數(shù)列的求和，最特殊的等差數(shù)列是什么？

生：首項與公差均為1。

師：不妨取著名的高斯求和——如何求1到100這100個數(shù)之和？

生：分組，得50（1+100）。

師(遞進式)：如何用高斯法求1到101這101個數(shù)之和？

生：50（1+101）+51。

師（遞進式）：如何用高斯法求1到n這n個數(shù)之和呢？

生：先用奇偶討論，再分組，但奇偶討論后計算出的結(jié)果相同。

師（遞進式）：既然是同一結(jié)果，能否避免討論，關(guān)鍵是什么？

生：利用平均數(shù)，關(guān)鍵是兩兩配對問題。首項、尾項配對，第二項與倒數(shù)第二項配對，第三項與倒數(shù)第三項配對……，即相當(dāng)于倒序相加。

師（遞進式）：再一般化，若公差為d，能否求出等差數(shù)列的前n項a1+a2+……an。

生：仍然是兩兩配對，倒序相加。

設(shè)計說明：上述案例通過設(shè)置遞進式問題串，以“項數(shù)、公差”這兩個基本量為問題串的連接線而引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，從而步步緊逼，層層推進，一環(huán)扣一環(huán)，以通過具體的數(shù)字背景抽象出一般的符號表示及其規(guī)律，使學(xué)生的思維也成跳躍式發(fā)展，多視角、多層次的思考，能讓學(xué)生對當(dāng)下存在的諸如“數(shù)列項數(shù)須按奇偶分類討論”等“非理性”行為、觀念進行及時覺察和完善，既讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“兩兩配對”的依據(jù)是“平均數(shù)”這一本質(zhì)特征，也滲透了從具體的背景中抽象出一般規(guī)律的過程，從而讓學(xué)生對數(shù)列的求和本質(zhì)有了更深一層的理解，也建構(gòu)了學(xué)生自己對倒序相加法的意義與運用的深刻理解。

二、探尋式問題串設(shè)計

探尋式問題串是指在設(shè)計問題串時，設(shè)計的思路是邊設(shè)問、邊傾聽，邊探求、邊思考，邊調(diào)整、邊尋定，從而進行探本窮源、追根究底，教師成為一個細(xì)心的觀察者、詢問者，對內(nèi)容正確性的假定很慎重，通過一個個的探問，發(fā)掘更多可以使用的信息源，尋找正確結(jié)果的邏輯路徑，同時學(xué)生成為一個認(rèn)真的思考者與踐行者：在一個接著一個的問題運行中檢查、探路、思考，發(fā)現(xiàn)“非正常期望”的結(jié)果特征并進入清晰的改進狀態(tài)，同時逐漸將自己調(diào)整到正確路線的方向上。

案例2《零向量與單位向量》引入設(shè)計片段[1]

師：同學(xué)們能否舉出一些既有方向又有大小的量？

生：重力、浮力、作用力等物理中學(xué)過的量。

師（探尋式）：生活中有沒有只有大小沒有方向的量？請你舉例。

生：有年齡、身高、面積等。

師：由同學(xué)們的舉例可見，現(xiàn)實中有的量只有大小沒有方向，有的量既有大小又有方向。類似于從一支筆、一本書、一棵樹……中抽象出只有大小的數(shù)量1，數(shù)學(xué)中對位移、力……這些既有大小又有方向的量進行抽象，就形成一種新的量——向量（板書概念）。

師（探尋式）：現(xiàn)在，我們已經(jīng)建立了一個向量的集合，就像每個人都有名字一樣，這個集合中的每一個向量都有了名稱。那么你認(rèn)為在所有向量組成的集合中，哪些向量較特殊？

生：零向量、單位向量是特殊的。

師（探尋式）：大家為什么認(rèn)為它們最特殊？你們是怎么想的？

生：從長度這個角度來看，零向量的長度是0，單位向量的長度是1，最為特殊。

設(shè)計說明：概念抽象需要典型豐富的實例，讓學(xué)生舉例可以觀察到他們對概念屬性的領(lǐng)悟情況，形成對概念的初步認(rèn)識，也為進一步抽象概括做準(zhǔn)備：通過“生活中有沒有只有大小、沒有方向的量”“在所有向量組成的集合中，哪些向量較特殊”“為什么特殊，你們是怎么想的”這樣的探尋式問題串設(shè)計，既激活了學(xué)生的已有相關(guān)經(jīng)驗，也讓學(xué)生形成如何區(qū)別不同量及其必要性的意識，同時也引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會了如何觀察一組對象：面對一組對象，首先注意特殊對象是自然的，從實數(shù)集的認(rèn)知經(jīng)驗出發(fā)，自然會想到零向量、單位向量的特殊性。通過上述探尋式問題串設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生探尋出向量集合與實數(shù)集兩類對象之間可以確切表述的相似性或一致性，較好地挖掘結(jié)果背后的思維過程，培養(yǎng)了學(xué)生的類比推理能力，使學(xué)生明白，實數(shù)的研究經(jīng)驗告訴我們，“引進一個新的數(shù)就要研究它的運算；引進一種運算就要研究運算律”。學(xué)生可以預(yù)見，引進向量就要研究向量的運算，進而就要研究相應(yīng)的運算律或運算法則[2]，為向量的后續(xù)進一步學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。

三、操作式問題串設(shè)計

操作式問題串是指設(shè)計問題串時，通過教師展示或?qū)W生自行動手操作、實驗、演示，即在親手做做、畫畫的過程中進行操作程序式提問，通過觀察和研究這些操作程序變化而獲得豐富的感性材料，以引起對觀察對象的變化現(xiàn)象、特征及對應(yīng)的數(shù)學(xué)知識、思想方法進行研究，并獲得理性思考的結(jié)論，讓學(xué)生掌握相應(yīng)的操作技能的同時，也同步經(jīng)歷教學(xué)內(nèi)容或現(xiàn)象之間的本質(zhì)聯(lián)系、客觀規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程。

案例3《橢圓的幾何性質(zhì)》引入設(shè)計片段

師（操作式）：“如何畫橢圓的圖形？”

生：取點。

師（操作式）：如何取點？

生：在第一象限內(nèi)取五個點。

師（操作式）：為啥在第一象限內(nèi)取五個點，其他象限怎么辦呢？

生：其他象限利用對稱點。

師：言外之意，橢圓具有對稱性，你的直覺非常好，你還能進行嚴(yán)密的推理嗎？

設(shè)計說明：“智慧起于動作”，向?qū)W生提供合適的操作式活動設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生在操作中去觀察、去嘗試、去體驗、去思考、去發(fā)現(xiàn)，去直觀感知，去直觀想象、去總結(jié)概況，學(xué)生通過直觀想象與操作思考來了解對象，能獲得生動、具體、直接的知識，這個操作式問題串設(shè)計從橢圓畫圖操作程序入手，學(xué)生能根據(jù)直觀想象感知對稱性、頂點等橢圓性質(zhì)，教師能夠較好地利用學(xué)生的直觀進行教學(xué)，教師同時引導(dǎo)學(xué)生進行嚴(yán)密推理，將直觀想象與演繹推理較好地融合在一起，而且在獲得感性知識的基礎(chǔ)上，進行了更復(fù)雜的思維活動，發(fā)展了學(xué)生對橢圓幾何性質(zhì)的想象力及直觀感知與分析概括能力，增強了對橢圓幾何性質(zhì)的理解效果。

四、選擇式問題串設(shè)計

選擇式問題串是指在設(shè)計問題串時將教師或?qū)W生的一方意見拋給另一方，讓另一方對問題的可能性結(jié)論，依其個人的自主思維所得進行選定。也可將問題的幾種可能結(jié)論一一列出，甚至把包含著兩種結(jié)局可能性的對立內(nèi)容展列出來，讓對方在一個規(guī)定的范圍內(nèi)進行選擇。這樣的問題串設(shè)計，學(xué)生既始終處于思考判斷選擇的境地，同時在思維發(fā)散性過程中也體驗選擇收放的平衡點。需要說明的是，在使用選擇式發(fā)問時，要盡量做到語意措辭得體，以免給對方留下強加于人的印象。

案例4《點到直線的距離》引入設(shè)計片段

師（選擇式）：在平面直角坐標(biāo)系中，如何求點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離，你能有哪些思考？是直接入手嗎？

生：不妨退一步，先從特殊的簡單的入手，如先求原點（0,0）到直線l：Ax+By+C=0的距離。

師：不錯，很有想法，如何求呢？

生：先過原點（0,0）做直線l：Ax+By+C=0的垂線，求出垂足的坐標(biāo)，再求兩點的距離。

師（選擇式）：你的意思是把點到直線的距離這個角色定位為垂線段的長，很好，還有其他的角色選擇與定位嗎？

生：點到直線的距離還可角色定位為原點（0,0）到l：Ax+By+C=0各點連線長最小值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。

師（選擇式）：哦，“垂線段最短，函數(shù)的最值”這些角色有道理，還有其他角色定位嗎？

生：還可當(dāng)成直角三角形的高，然后利用面積法來求。

生：還可過（0,0）做直線l：Ax+By+C=0的平行線，把角色定位為平行線間的距離。

…………

設(shè)計說明：為了讓學(xué)生明晰“點到直線距離公式推導(dǎo)”中的運算對象到底是什么，上述的設(shè)計是采用選擇角色定位的方法，通過不同角色的選擇，從“點到直線的距離這個角色定位為垂線段的長”，或“點到直線的距離這個角色選擇定位為點到直線上各點距離的最小值”，再到將它選擇定位為“平行線間的距離”，進而將它定位選擇為“三角形的高”……，學(xué)生的思緒如同行云流水般，能自然地發(fā)現(xiàn)與選擇運算思路、設(shè)計運算程序，比教師直接告知多種解法，也許會收到事半功倍之效，也較好地滲透了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)。

五、思辨式問題串設(shè)計

思辨式問題串是指在設(shè)計問題串時，對數(shù)學(xué)研究對象的情況、類別、事理等進行辯論分析，以辯證發(fā)展的視角認(rèn)識教學(xué)對象的客觀規(guī)律：在邏輯性思維中，判斷事物一般是非此即彼、非真即假的“線性關(guān)系”，而在思辨式問題串中給出的數(shù)學(xué)問題表面上看可能是亦此亦彼、或真或假，結(jié)論不一定唯一，甚至沒有固定結(jié)論，是“圓形關(guān)系”，通過在質(zhì)疑、批駁的思辨式過程中立意，不是為了證明而證明，這樣得來的觀點、結(jié)論自然合理，教學(xué)內(nèi)容不顯得模板化，學(xué)生能夠清楚地明白數(shù)學(xué)規(guī)律、結(jié)論的來龍去脈和相關(guān)效應(yīng)。

案例5《對數(shù)》引入設(shè)計片段

師：請同學(xué)們觀察表中的兩行數(shù)（參見表1）。

師（思辨式）：這個表里數(shù)有一定的特征，仁者見仁、智者見智，不同人會有不同的發(fā)現(xiàn)，你能發(fā)現(xiàn)這兩行數(shù)什么特征？

師（思辨式）：這的確是一個重要特征，你認(rèn)為還有別的特征或者你認(rèn)為更本質(zhì)的特征是什么？

生：相鄰兩數(shù)的差、比值具有等差、等比的定值特征。

生：設(shè)第一行的某個數(shù)為a，設(shè)第二行對應(yīng)的數(shù)為b，則a=2b。

……

師（思辨式）：不錯，發(fā)現(xiàn)了上下有這種對應(yīng)關(guān)系，還能發(fā)現(xiàn)其他對應(yīng)關(guān)系嗎？

…………

表1

師：發(fā)現(xiàn)了這么好的規(guī)律，非常不易，發(fā)現(xiàn)積（商）與和（差）的對應(yīng)關(guān)系，正如剛才這位同學(xué)所說的，要求32×1024的值，并不需直接計算，只需轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的和5+10，從而所求的值就是15相對應(yīng)的是32 768，由此表明通過表中相對應(yīng)的關(guān)系能起到簡化運算的作用，像表1中的利用“b是a相對的數(shù)”，實質(zhì)上就是我們今天所學(xué)習(xí)的對數(shù)，遺憾的是德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾雖然發(fā)現(xiàn)了上述規(guī)律，但最后功虧一簣沒有發(fā)現(xiàn)對數(shù)。

設(shè)計說明：道理不辯不清，方法不辯不明。上述設(shè)計通過歷史上德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾關(guān)于對數(shù)發(fā)現(xiàn)的一個典故，以“對應(yīng)”作為思辨的連接點，通過思辨式問題串的提出與引導(dǎo)，對于一些思維的關(guān)鍵處，讓學(xué)生去辨別、去辯答、去發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生對數(shù)據(jù)進行整體推斷，構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型，從而分析出所給數(shù)據(jù)的一般的與本質(zhì)的屬性，讓學(xué)生不僅能認(rèn)識到對數(shù)產(chǎn)生的實質(zhì)和對數(shù)產(chǎn)生的必要，也能對于對數(shù)的運算有著更先一步的認(rèn)識和理解，也提升了學(xué)生對數(shù)據(jù)的處理能力并提升了學(xué)生的抽象概括能力。

章建躍老師曾提出課堂教學(xué)要有貫穿始終的教學(xué)主線，而這個教學(xué)主線是基于對數(shù)學(xué)的理解和對學(xué)生的理解才得以形成的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)線索，并指出其基本表現(xiàn)形式就是“問題串”?！皢栴}串”不僅要問得好而且還講究串得好，只有這樣的具有較好的邏輯性的“問題串”才能揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而循序漸進、逐步深入地引導(dǎo)學(xué)生探究式參與課堂，進而達到用“問題串”拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維空間、引導(dǎo)學(xué)習(xí)向思維的深度有效發(fā)展，并能連續(xù)地發(fā)展下去的目標(biāo)?！?/p>